第一章 直线和平面 平行直线   教学目标 1．了解公理4的内容及其初步应用； 2．初步了解空间四边形概念的定义及其画法． 教学重点和难点 空间四边形是立体几何中很重要的一个概念，它与第二章中所讲的三棱锥、四面体这两个概念是相互联系、相互转化但是又有区别的三个不同的概念，所以使学生了解并掌握空间四边形的概念是本节课的重点，而掌握空间四边形的画法是它的难点． 教学设计过程 师：在平面几何我们讲过定理：平行于同一条直线的两直线平行．这定理在立体几何中还成立不成立？我们可先观察教室中与此有关的模型，再看一看用三根小棍所组成的模型． 生：这定理在立体几何中仍成立． 师：对，这定理在立体几何中是可以证明的，但为了减少学习立体几何的难度，所以我们不再作为定理要去证明，而把它作为公理，这就是我们今天所要讲的公理4．（板书）

公理4  平行于同一条直线的两条直线互相平行． 师：下面我们应用公理4来判断下列两直线的位置关系． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中．（如图1） （1）AB与C1D1是什么位置关系？为什么？ 生：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以它的每一个面都是正方形．所以A1B1∥AB，A1B1∥C1D1，所以AB∥C1D1，平行于同一直线的两直线平行． 师：

（2）A1D1与BC是什么样的位置关系？为什么？ 生：因为A1D1与BC同平行于B1C1，所以AlD1∥BC． 师： （3）如果M、N分别为B1B、C1C的中点，问A1D1与MN是什么样的位置关系？ 生：由平面几何可知MN∥B1C1，A1D1∥B1C1，所以MN∥A1D1． （4）AC与A1C1是什么位置关系？为什么？ 生：因为AA1 BB1，CC1 BB1， 所以AA1 CC1，所以四边形A1ACC1是平行四边形，故AC∥A1C1． （5）AD1与BC1是什么位置关系？为什么？ 生：与（4）同理可知四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1∥BC1． 师：在正方体中ABCD－A1B1C1D1中，相对两个面的对角线如AC∥A1C1，BC1∥AD1，A1B∥D1C等，今后在证有关题时可做结论来用，不要求再证明． 师：下面我们来看课本第12页例．（抄题）

例  已知：四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的四边形），E，H分别是边AB，AD中点，F，G分别是CB，CD上的点，且 师：括号内“四个顶点不共面的四边形”就是空间四边形这个概念的定义．（同时拿出四根小棍组成首尾相连接的空间四边形的模型让学生观察）这就是空间四边形的模型． 师：对这空间四边形的模型，我们从各个不同的角度来观察，从什么位置的视角来画出空间四边形的直观图，才能使这直观图有较强的立体感．当我们从正面来看模型时，这时直观图是什么形状呢？上黑板上来画． 生：是这样的形状．（如图2）

师：当我们从俯视这个视角来看这个模型，所画出的直观图又是什么样的形状呢？ 生：可能是这样两种形状．（如图3） 师：对．所以从正面这个视角和俯视这个视角来画空间四边形这个模型的直观图时，它们的立体感都不强．而当我们从正侧和后侧这两个视角来画这空间四边形模型的直观图时，立体感才比较强．（如图4）

图（2）是高考试卷中出现过的空间四边形的直观图，对空间四边形的直观图的这两种不同视角所得出的两个不同的直观图相比较而言，立体感较强．一般来说，以后画空间四边形时，我们经常采用图（1）所画的直观图． 对于最简单的一个空间四边形，由于视角的不同可以画出不同的直观图．关于这点我国宋代有名的诗人苏东坡在他一首哲理诗中就曾经表述过．“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”所以今后在从立体模型画出它的直观图时，一定要注意选择好视角，选择好视角的标准就是所画出的直观图既富有立体感，又能表达出模型中各主要部分的位置关系和度量关系． 下面我们就以图4的（1），（2）为基础把第12页中的例题的条件在图中标出，并给予证明．（如图6）

师：要证四边形EFGH为梯形，就是要证什么呢？ 生：要证EH∥HG且EH≠FG． 师：怎样证EH∥FG． 生：连BD． 师：为什么想到连BD？ 生：因为连BD后，空间四边形ABCD就可以转化为有一公共边的两个三角形，即△ABD和△CBD． 师：很好！连BD看起来很简单，但它的思想很重要，就是把所要解的立体几何问题转化归结为平面几何问题．这种把立体几何问题化归为平面几何问题是我们在解立体几何时最主要，最常用的一种方法，所以从今天起我们就要逐步理解、掌握这种化归方法．

现在，我提出一个思考题． 在梯形EFGH中，EH＜FG，所以当我们延长FE，GH后，它们一定相交，假设这交点为P．问P点在哪一条直线上？为什么？（这里也可以根据学生水平的情况，直接问P点和直线AC是什么样的关系？为什么？）（这时教师把FE， GH延长后的交点P画出来，让学生观察直观图） 生：P点可能在直线AC上． 师：对．P点是在直线AC上，我们怎样证明呢？我们首先要想一想P点是如何产生的？ 生：P点是FE和GH延长后的交点，即FE∩GH=P． 师：既然FE∩GH=P，那么我们可知P点在哪一条直线上？ 生：P∈FE上． 师：FE又在哪一个平面内？ 生：FE 平面ABC． 师：所以P点一定在哪一个平面内？

生：P∈平面ABC． 师：P点又应该在哪一个平面内？ 生：因为P∈GH，GH 平面ADC，所以P∈平面ADC． 师：所以P点是平面ABC和平面ADC的公共点．两个平面的公共点应该在哪一条直线上？ 生：根据公理2，两个平面的公共点应该在这两个平面的交线上．平面ABC∩平面ACD=AC，所以P∈AC． 师：对，这种证明的方法比较特殊，实际是应用了元素与集合、集合与集合之间关系来证明的．这种证明方法具有一般性，即要证一个点在一条直线上，只要证这个点是某两个平面的公共点，而这条直线是这两个平面的交线即可，因为由公理2保证两个平面的公共点一定在一条直线上．同样，当我们要证三点共线时，我们只要证明这三个点都是某两个平面的公共点，那么这三个点一定在一条直线上． 师：今天我们讲了公理4及其应用，讲了空间四边形这个概念及其画法．特别要理解在解有关立体几何问题时把它化归为平面几何问题的主要方法． 作业 课本第17页，第4，5，6，7题．