第三章 货币时间价值

货币的时间价值，是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，也称资金的时间价值。 第一节 复利、未来值与现值 货币时间价值的概念 货币的时间价值，是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，也称资金的时间价值。 例如，将现在的1元钱存入银行，1年后可得1.1元（假定存款利率为10%）。这1元钱经过1年时间的投资增加了0.1元，这就是货币时间价值。

有两种表现形式： 绝对数形式：即时间价值额，以价值增值额表示。货币的时间价值为0.1元。 相对数形式：即增加价值占投入货币的百分数表示。货币的时间价值为10%。 一般可以以没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率或通胀率很低时的政府债券利率来度量。

企业在投资某项目时，至少要获得社会平均的利润率，否则不如投资于其他项目。货币时间价值是项目估价的基本原则。 例，已探明一个由工业价值的油田，目前立即开发可获利100亿元，若5年后开发，由于价格上涨可获利160亿元。 不考虑货币时间价值，选择5年后开发。 考虑货币时间价值。现在获得的100亿元可用于其他项目，假定每年获利15%。5年后可获得100（1+15%）5 =201.14亿。选择现在开发。

货币随着时间的推移而增值，不同时间单位货币的价值不同，必须换算到相同的时间基础，才能进行比较。 货币的增值与复利的计算过程在数学上相似，所以采用复利的各种计算方法。

将来值和现值的计算 所谓复利，是指不仅本金要计算利息，利息也要计算利息，即通常所说的“利滚利”。 将来值，又称复利终值，是指把今天的一笔资金按复利利率计算至将来某一时刻的价值。终值的一般计算公式为：

F V n: 复利终值 PV：复利现值 i：利息率 n：计息期数 例，将100元存入银行，利息率为10％，5年后的终值应为： F V 5 = PV（1+10%）5 =100 （1+10%）5 =161 (1+i)n叫复利终值系数，可写成F V I F i , n 为了简化和加速计算，可编制复利终值系数表，见附录一。

现值 现值是把将来的资金按一定的利率折算到现在的价值，这一折算过程称为折现，折算时采用的利率称为折现率。

在上述公式中， 称为复利现值系数或贴现系 数，也可以写为PVIF i ,n 为了简化计算，也可编制现值系数表。见附录二。 例，若计划在3年以后得到400元，利息率为8％，现在应存金额可计算如下：

或查复利现值系数表计算： PV=FV n ×PVIF 8% ,3 =400×0.794 =317.6

第二节 年金 年金的定义 年金是指一定时期内每期相等金额的收付款项。折旧、利息、租金、保险费等通常表现为年金的形式。 年金按付款方式可分为： 后付年金（或称普通年金）：期末 先付年金（或称即付年金）：期初 延期年金：延迟支付 永续年金：无限期支付

年金现值与终值的计算 后付年金 后付年金是指每期期末有等额的收付款项的年金。在现实经济生活中这种年金最为常见，又称为普通年金。 后付年金终值 后付年金终值犹如零存整取的本利和，它是一定时期内每期期未等额收付款项的复利终值之和。

A A A A A A(1+i)0 A(1+i)1 A(1+i)2 A(1+i)n-2 A(1+i)n-1 0 1 2 n-2 n-1 n 后付年金终值的计算示意图

假设：A—年金数额； i—利息率； n—计算期数 FVA n—年金终值 后付年金终值的计算公式：

FVA5=A·FVIFA 8%,5 上式中的 称为年金终值系数。 上式中的 称为年金终值系数。 可写成FVIFA i ,n 或ACF i, n ，为简化工作，事先编制年金终值系数表。见附录三。 例，5年中每年年底存入银行100元，存款利率为8％,求第5年末年金终值。 FVA5=A·FVIFA 8%,5 =100×5.867 =586.7

后付年金现值系数 一定期间内每期期末等额的系列收付款项的现值之和，叫后付年金现值。年金现值的符号为PVA n 。 年金现值的计算公式为：

1 2 n-1 n A A A A A(1+i)-1 A(1+i)-2 A(1+i) -（n-1） A(1+i) -n 后付年金现值示意图

式中 称为年金现值系数，可记为PVIFA i,n 为了简化计算，可事先编制年金现值系数表。 例，现在存入一笔钱，准备在以后5年中每年末得到100元，如果利息率为10％，现在应存入多少钱？ PVA 5 =A. PVIFA 10%, 5 =100×3.791 =379.1

先付年金 先付年金是指在一定时期内，各期期初等额的系列收付款项。 先付年金与后付年金的区别仅在于付款时间的不同。 由于后付年金是最常用的，年金终值和现值系数表是按后付年金编制的。利用后付年金系数表计算先付年金的终值和现值时，可在后付年金的基础上用终值和现值的计算公式进行调整。

先付年金终值： n期先付年金与n期后付年金的付款次数相同，但由于付款时间的不同。n期先付年金终值比n期后付年金终值多计算一期利息。所以 可以先求出n期后付年金终值，然后再乘以（1+i）便可求出n期先付年金的终值。其计算公式为:

0 1 2 n-1 n A A A A n期先付年金终值 0 1 2 n-1 n A A A A n期后付年金终值

此外,还可根据n期先付年金与n+1期后付年金的关系推导出另一公式。n期先付年金与n＋1期后付年金的计息期数相同，但比 n + l期后付年金少付一次款，因此，只要将n+1期后付年金的终值减去一期付款额A ,便可求出n期先付年金终值。其计算公式为：

例，某人每年年初存入银行1000元，银行存款年利率为8％，问第10年末的本利和应为多少？ V10=1000×FVIFA 8%,10×(1+8%) =1000×14.487×1.08 =15645 或 V10=1000×(FVIFA 8%,11 -1) =1000×(16.645-1)

先付年金现值：n 期后付年金现值与n期先付年金现值的付款期数相同,但由于n期后付年金是期末付款，n期先付年金是期初付款，在计算现值时，n期后付年金现值比n期先付年金现值多贴现一期。所以，可先求出n期后付年金现值,然后再乘以（1+i），便可求出n期先付年金的现值。其计算公式为:

0 1 2 n-1 n A A A A n期先付年金现值 0 1 2 n-1 n A A A A n 期后付年金现值

根据n期先付年金与n-1期后付年金现值的关系，可推导出计算n期先付年金现值的另一公式。 n期先付年金现值与n-1期后付年金现值的贴现期数相同，但n期先付年金比n-1期后付年金多一期不用贴现的付款A，因此，先计算n-1期后付年金的现值，然后再加上一期不需贴现的付款A,便可求出n期先付年金的现值。其计算公式为：

例，某企业租用一设备，在10年中每年年初要支付租金5000元，年利息率为8％，问这些租金的现值是多少？ V0=5000×PVIFA 8%,10×(1+8%) =5000××6.71×1.08 =36234 或 V0=5000×(PVIFA 8%,9 +1) =5000×(6.247+1) =36235

通常先求出延期年金在n期期初（m期期末）的现值，再将它作为终值贴现至m期期初，便可求出延期年金的现值。 延期年金是指在最初若干期没有收付款项的情况下 ，后面若干期等额的系列收付款项。假设最初有m期没有收付款项,后面n期有等额的收付款项，则延期年金的现值即为后n期年金贴现至m期期初的现值。 通常先求出延期年金在n期期初（m期期末）的现值，再将它作为终值贴现至m期期初，便可求出延期年金的现值。 0 1 2 n 0 1 2 m m+1 m+2 m +n A A A A

延期年金现值还可以用另外一种方法计算。先求出m +n期后付年金现值减去没有付款的前m期后付年金现值，二者之差便是延期m期的n期后付年金现值。其计算公式为：

例，某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利息率为8％，银行规定前10年不用还本付息，但从第 11年至第 20年每年年末偿还本息 1000元。这笔款项的现值应为多少？ V0=1000×PVIFA 8%,10 ×PVIF 8%,10 =1000×6.710×0.463 =3107 或 V0=1000×(PVIFA 8%,20 –PVIFA 8%,10) =1000×(9.818-6.710) =3108

永续年金 永续年金是指无限期支付的年金。西方有些债券为无期限债券，可视为永续年金;优先股有固定的股利，无到期日， 有时可以看做是永续年金。另外，期限长、利率高的年金现值，可按计算永续年金的公式，计算其近似值。

例，某永续年金每年年末的收入为 800元，利息率为 8％，求该项永续年金的现值。

时间价值计算中的几个特殊问题 不等额现金流量的现值计算 假设：A0 —第0年末的付款 A1 —第1年末的付款 A2 —第2年末的付款 … An —第n年末的付款

例，有一笔现金流量如下表所示，贴现率为5%，求这笔不等额现金流量的现值。 年 1 2 3 4 现金流量 1000 2000 100 3000 4000

年金和不等额现金流量混合情况下的现值 例， 某系列现金流量表，如左图所示： 年 现金流量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1000 2000 3000

PV0=1000×PVIFA 9%,4 +2000×(PVIFA 9%,9 -PVIFA 9%,4) +3000×PVIF 9%,10 =1000×3.240+2000×(5.995-3.240)+3000×0.422 =10016

前述计算均假定利率为年利率，每年复利一次。但实际上，复利的计息期间不一定是1年，有可能是季度、月份、每日。 第三节 名义利率与实际利率 名义利率与实际利率的定义 前述计算均假定利率为年利率，每年复利一次。但实际上，复利的计息期间不一定是1年，有可能是季度、月份、每日。 当利息在1年内要复利几次时，给出的年利率称为名义利率。实际得到的利息要比按名义利率计算的利息高，称为实际利率。

例，本金1000元，投资5年，年利率为8%，每季度复利一次。 名义利率：8% 复利终值=1000*（1+8%）5=1000*1.469=1469 实际利率： 季度利率=8%/4=2% 复利次数=4*5=20 复利终值=1000*（1+2%）20=1000*1.486=1486 实际利率大于名义利率。

1486=1000（1+i）5 1.486=（1+i）5 查表PVIF 8% ,5=1.469 PVIF 9% ,5=1.538 利用插值法 1.538-1.469 = 1.486-1.469 9%-8% i%-8% i=8.25%

名义利率与实际利率的换算 按计算公式调整 i=（1+r/m）m-1 式中：r —名义利率 i —实际利率 m —每年的计息次数

例，某企业于年初存入10万元，年利率为10%，假定半年复利1次，第10年末，该企业能得到多少本利和。 计算实际利率=（1+10%/2）2-1=10.25% 本利和=10（1+10.25%）10=26.53 方法二，调整有关指标 本利和=10（1+5%）20=26.53

习题 1 假设利民工厂有1笔123600元的资金，准备存入银行，希望在7年后利用这笔款项的本利和购买1套生产设备，当时银行存款的利率为10%，按复利计算。该设备的预计价格为240000元。试用数据说明7年后，利民工厂能否用这笔款项的本利和购买设备。 2某合营企业于年初向银行借款500000元购买设备，第1年末，开始还款，每年还款1次，等额偿还，分5年还清，银行借款利率为12%。试计算每年应还款多少。 3某人现在准备存入1笔钱，以便在以后的20年中每年年底得到3000元，设银行存款利率为10%。计算此人目前应存入多少钱。

4时代公司需用1台设备，买价为160000元，可用10年。如果租用，则每年年初须付租金200元。假设其他情况相同。利率为6%。用数据说明购买与租用何者为优。 5某公司发行1种债券，年利率为12%，按季计息，1年后还本付息，每张债券还本付息100元。计算该种债券的现值。