第 4 章 正弦稳电路分析 4.1 正 弦 量 的 基 本 概 念 4.2 正弦量的相量表示法 4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳 第 4 章 正弦稳电路分析 4.1 正 弦 量 的 基 本 概 念 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 基本元件VAR相量形式 和KCL、KVL相量形式 4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳 4.5 正 弦 稳 态 电 路 分 析 4.6 正弦稳态电路中的功 率 返回 4.7 谐 振 电 路 4.84.8 三 相 电 路

学 习 目 标 正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素,学会比较相位。 正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。 学 习 目 标 正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素,学会比较相位。 正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。 深刻理解正弦量的相量表示法。 深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感 元件上的电压、电流之间的有效值和相位关系；KVL、KCL的相量形式，并能对正弦稳态电路进行相关的分析、计算。

正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率，并会进行计算。 掌握提高功率因数的方法。 理解谐振现象，并掌握串联谐振和 并联谐振的特点。 能进行对称三相电路的计算

4.1 正弦量的基本概念 4.1.1 正弦量的三要素 若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交流电。 图 4-1 正弦量的波形 4.1 正弦量的基本概念 4.1.1 正弦量的三要素 若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交流电。 以电流为例，正弦量的一般解析式为： 波形如图4-1所示 图 4-1 正弦量的波形

图中Im 叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度 叫正弦量的相位，当t=0时的相位 叫初相位，简称初相； ω叫正弦量的角频率。 因为正弦量每经历一个周期的时间T，相位增加2π，则角频率ω、周期T和频率ƒ之间关系为： ω、T、ƒ反映的都是正弦量变化的快慢，ω越大，即ƒ越大或T越小，正弦量变化越快；ω越小，即ƒ越小或T越大，正弦量变化越慢。 把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。 只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。

由图可见，初相为正值的正弦量，在t=0时的值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值后正弦量，在t=0时的值为负，起点在坐标原点之右。 如图4-2 所示，初相分别为0、 由图可见，初相为正值的正弦量，在t=0时的值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值后正弦量，在t=0时的值为负，起点在坐标原点之右。

图 4-2

叫做它们的相位差。正弦量的相位是随时间变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等于它们的初相之差。 4.1.2、同频率正弦量的相位差 设有两个同频率的正弦量为 叫做它们的相位差。正弦量的相位是随时间变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等于它们的初相之差。 初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫做同相。同相的正弦量同时达到零值，同时达到最大值，步调一致。两个正弦量的初相不等，相位差就不为零，不同时达到最大值，步调不一致，

如图4-3（a）、（b）、（c）、（d）分别表示两个正弦量同相、超前、正交、反相。 如果 ，则表示i1超前i2 ;如果 ，则表示i1滞后i2 ，如果 ，则两个正弦量正交；如果 ，则两个正弦量反相。 同频率正弦量的相位差，不随时间变化，与计时起点的选择无关。为了分析问题的方便，在一些有关的同频率正弦量中，可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考，其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较，即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差。在n个正弦量中，只能选择一个为参考正弦量。 如图4-3（a）、（b）、（c）、（d）分别表示两个正弦量同相、超前、正交、反相。

图 4 -3 i1与i2同相、超前、正交、反相

4.1.3 正弦电流、电压的有效值 1、有效值 周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效值用大写字母I、U表示。 根据有效值的定义，则有 则周期电流的有效值为

2、正弦量的有效值 对于正弦电流，设 同理

4.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法 4.2.1 复数的运算规律 相加、减的结果为： 4.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法 4.2.1 复数的运算规律 复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减）时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。如： 相加、减的结果为： A1±A2=（a1+jb1）±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2) 复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐角相加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。 如：

因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复数相除相当于顺时针旋转矢量。 特别地，复数 的模为1，辐角为 。把一个复数乘以 就相当于把此复数对应的矢量反时针方向旋转 角。

它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为 4.2.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 设有一复数 它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为 由于 可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。

式中 同理 把这个复数 分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。 例 已知 u1=141sin(ωt+60o)V ，u 2 =70.7sin(ωt-45o)V 。 求：⑴ 求相量 ；(2) 求两电压之和的瞬时值 u(t) （3） 画出相量图 解（1）

（2） （3） 相量图如图4-4所示 图 4-4

4.3 基本元件VAR相量形式 和KCL、KVL相量形式 4.3.1 基本元件VAR的相量形式   在交流电路中，电压和电流是变动的，是时间的函数。电路元件不仅有耗能元件的电阻，而且有储能元件电感和电容。下面分别讨论它们的伏安关系式（即VAR）的相量形式。 1 、 电阻元件 根据欧姆定律得到 上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的，相量、波形图如图4-5所示。

图 4-5 电阻元件的电压、电流相量及波形图 其相量关系为：

电容元件上电压、电流之间的相量关系式为： 2、 电容元件 电容元件上电压、电流之间的相量关系式为： 将上式改写为： 通常把 XC= 定义为电容的容抗。 在直流情况下，频率为零， ，电容相当于开路。

以上表明电容电流超前电容电压90°，可以用相量图或波形图清楚地说明。如图4-6所示。 图 4-6 电容元件的波形、相量图

3、电感元件 电感元件上电压、电流之间的相量关系式为： 由上式可得 U= ωLI =XLI 上式表明电感上电流滞后电压为90°。 通常把XL=ωL定义为电感元件的感抗，它是电压有效值与电流有效值的比值即 XL=ωL。对于一定的电感L，当频率越高时，其所呈现的抗感越大，反之越小。在直流情况下，频率为零，XL=0，电感相当于短路。

电感元件的波形、相量图如图4-7所示。可以看出，电感上电流滞后电压为90°。 图 4-7 电感元件的波形、相量图

4.3.2 的相量形式 在正弦稳态电路中，在任一瞬间，由任一节点流出（或流入）的各支路电流相量的代数和为零: 4.3.2 的相量形式 在正弦稳态电路中，在任一瞬间，由任一节点流出（或流入）的各支路电流相量的代数和为零: 在正弦稳态电路中的任一回路，在任一瞬间，沿回路各支路电压相量的代数和为零：

4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳 4.4.1 复阻抗 设由R、L、C串联组成无源二端电路。如图4-8所示，流过各元件的电流都为I， 各元件上电压分别为uR(t)、uL(t)、uC(t)，端口电压为 u (t)。 图 4-8

因为 u (t)= uR(t)+u L(t)+ uC(t) 即 所以

上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律。Z为该无源二端电路的复阻抗（或阻抗），它等于端口电压相量与端口电流相量之比，当频率一定时，阻抗Z是一个复常数，可表示为指数型或代数型，即： 式中∣Z∣称为阻抗的模，其中X=XL-XC称为电抗，电抗和阻抗的单位都是欧姆。 称为阻抗角，它等于电压超前电流的相位角，即

对于如图4-9所示R、L、C并联电路，根据相量形式KCL，得到： 4.4.2 复导纳 对于如图4-9所示R、L、C并联电路，根据相量形式KCL，得到： 图 4-9 RLC并联电路

Y为无源二端电路的复导纳（或导纳），对于同一电路，导纳与阻抗互为倒数。 称为导纳角，导纳角等于电流与电压的相位差，它也等于负的阻抗角。

4.5 正弦稳态电路分析 对于线性正弦稳态电路有 所以线性电阻电路的各种分析方法和电路定理可以推广用于线性电路的正弦稳态分析。具体方法是所有电压、电流用相量形式，元件用阻抗或导纳，画出电路的相量模型，从而建立相量形式的代数方程。

4.6 正 弦 稳 态 中 的 功 率 4.6.1 R、L、C元件的功率和能量 1 .电阻元件的功率 设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬 4.6 正 弦 稳 态 中 的 功 率 4.6.1 R、L、C元件的功率和能量 1 .电阻元件的功率 设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬 时功率为 pR(t)= u(t) i(t) 设流过电阻元件的电流为 iR (t)=Im sinωt A 其电阻两端电压为 uR(t)=Im R sinωt =Um sinωt V 则瞬时功率为

pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2ωt =URIR（1-cos2ωt）W 由于cos2ωt≤1,故此 pR（t）=URIR（1-cos2ωt）≥0 其瞬时功率的波形图如4-10所示。由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且pR（t）≥0，说明电阻元件是耗能元件。 图 4-10 电阻元件的瞬时功率

电阻的平均功率 可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。 2. 电感元件的功率 在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为 则电感电压为：

其瞬时功率为 上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且pL(t)的值可正可负，其波形图如图4-11所示。 图4-11 电感元件的瞬时功率

电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。 从图上看出，当uL(t)、iL(t)都为正值时或都为负值时，pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当pL(t) 为负时，电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替，说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。 电感消耗的平均功率为： 电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。

在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流为: 3．电容元件的功率 在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流为: 则电容电压为 ： 其瞬时功率为：

uc (t)、Ic(t)、pc(t)的波形如图4-12所示。 图 4-12 电容元件的瞬时功率

从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。 电容的平均功率也为零，即： 电感元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。

在图4-13所示二端电路中，设电流i(t)及端口电压u(t)在关联参考方向下，分别为： 4.6.2 二端电路的功率 1.瞬时功率 在图4-13所示二端电路中，设电流i(t)及端口电压u(t)在关联参考方向下，分别为： 图 4-13 则二端电路的瞬时功率为：

上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成，第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变化的正弦量。瞬时功率如图4-14所示。 图 4-14 二端RLC电路的瞬时功率

从图上看出，u(t)或i(t)为零时，p(t)为零；当二者同号时，p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时，p(t)为负，电路放出功率，图上阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量多，说明电路有能量的消耗。 2. 有功功率（也叫平均功率）和功率因素

式中 称为二端电路的功率因素，功率因素 的值取决于电压与电流之间的相位差 ， 也叫功率因素角。 4.6.3 无功功率、视在功率和复功率 无功功率用Q表示，定义 通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率，用S表示，即 S=UI

P、Q、S之间存在如下关系 工程上为了计算方便，把有功功率作为实部，无功功率作为虚部，组成复数，称为复功率，用 表示复功率，即

如图4-15所示，交流电源的电压为 ，其内阻抗为Zs=Rs+jxs，负载阻抗ZL=RL+jXL ,电路中电流为： 4.6.4 正弦稳态电路的最大功率传输 如图4-15所示，交流电源的电压为 ，其内阻抗为Zs=Rs+jxs，负载阻抗ZL=RL+jXL ,电路中电流为： 图 5-15 电流有效值为：

负载吸收的功率为： 要求出PL的最大值为此需求出PL对RL的导数，并使之为零，即： 由上式得到：（RS+RL)2-2RL(RS+RL）=0 解得： RL=RS

负载获取最大功率的条件为： 上式表明，当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载能获得最大功率，称为最大功率匹配或共轭匹配。此时最大功率为：

4.7 谐振电路 4.7.1 串联谐振电路 如图4-16电路中，回路在外加电压us=USm sinωt作用下，电路中的复阻抗为： Z= 4.7 谐振电路 4.7.1 串联谐振电路 如图4-16电路中，回路在外加电压us=USm sinωt作用下，电路中的复阻抗为： Z= 当改变电源频率，或者改变L、C的值时都会使回路中电流达到最大值，使电抗 =0， 电路呈电阻性，此时我们就说电路发生谐振。由于是R、L、C元件串联，所以又叫串联谐振。 图4-16 串联谐振电路

发生串联谐振的条件： 即当串联回路中容抗等于感抗时，称回路发生了串联谐振。这时频率称为串联谐振频率，用fo 表示，相应的角频率用ωo 表示，发生串联谐振的角频率ωo和频率fo分别为：

（3）电感及电容两端电压模值相等，且等于外加电压的Q倍。   串联谐振电路具有如下特性： （1）谐振时，回路电抗X=0，阻抗Z=R为最小值, 且为纯电阻。而在其他频率时，回路电抗X≠0，当外加电压的频率ω>ω0时，ωL> ，回路呈感性，当ω<ω0时，回路呈容性。 （2）谐振时，回路电流最大，即 ,且电流 与外加电压 同相。 （3）电感及电容两端电压模值相等，且等于外加电压的Q倍。

串联揩振时， 、 、 、 与 的相位关系如图4-17所示。 串联揩振时， 、 、 、 与 的相位关系如图4-17所示。 通常，回路的Q值可达几十到几百，谐振时电感线圈和电容两端的电压可以比信号源电压大几十到几百倍，所以又叫电压谐振。 从图4-17可以看出， 超前 为90°, 滞后 为90°， 与 相位相反。 图4-17 串联谐振时电压和电流相量图

图4-18 串联谐振时谐振曲线 图4-19 串联谐振时的通频带 通频带 当外加信号电压的幅值不变，频率改变为ω=ω1或ω=ω2，此时回路电流等于谐振值的0.707 倍，如图4-19所示。ω2-ω1称为回路的通频带，其绝对值为： 2△ω0.7=ω2-ω1或2△f0.7=f2-f1

4.7.2 并联谐振 在图4-20 R-L-C并联电路中，电路的总导纳Y为： 图4-20 R-L-C并联谐振电路

并联电路发生谐振的条件是：XL=XC，此时|Z|=R，电路呈电阻性。由于R-L-C并联，所以这时又称为并联谐振。即当ω0L= 时发生并联谐振。其谐振频率为： 并联谐振电路的特点为： （1）XL=XC，|Z|=R，电路阻抗为纯电阻性。 （2）谐振时，因阻抗最大，在激励电流一定时， 电压的有效值 最大。 (3) 电感和电容上电流相等，其电流为总电流的 Q倍。

因为纯电阻电路，故总电流与电源电压同相。并联谐振电路的电流及各电压相位关系如图4-21所示。 电感和电容上电流相等，其电流为总电流的Q倍，即： 式中Q称为并联谐振电路的品质因素，其值为： 图4-21 并联谐振时电 压和电流相量图

工程上广泛应用电感线圈与电容器组成并联谐振电路，由于实际电感线圈的电阻不可忽略，与电容器并联时，其电路模型如图4-22所示。 电感线圈和电容器的并联谐振电路 工程上广泛应用电感线圈与电容器组成并联谐振电路，由于实际电感线圈的电阻不可忽略，与电容器并联时，其电路模型如图4-22所示。 图 4-22 电感与电容的并联谐振电路

上式就是发生谐振的条件。可以得到谐振时的角频率为： 其电压电流相量图如图4-23所示 从图相量中看出 即： 整理后： 图 4-23 L C并联谐振时电压电流相量图 上式就是发生谐振的条件。可以得到谐振时的角频率为：

4.8 三相电路 4.8.1 三相交流电动势的产生 三相交流电动势源是三单相交流发机产生的。 4.8　三相电路 4.8.1 三相交流电动势的产生 三相交流电动势源是三单相交流发机产生的。 设第一相初相为0°，第二相为-120°，第三相为120°，所以瞬时电动势为： e1=Emsinωt e2=Emsin（ωt-120°） e3=Emsin（ωt+120°） 这样的电动势叫对称三相电动势。其相量图和波形图见图4-24。

由波形图可知，三相电动势对称时任一瞬间的代数和为零，即： e1+e2+e3=0 图 4-24三相电源 对称三相电动势相量和为零，即： =0 由波形图可知，三相电动势对称时任一瞬间的代数和为零，即： e1+e2+e3=0

将三相电源按一定方式连接之后，再向负载供电，通常采用星形连接方式，如图4-25所示。 4.8.2 三相电源的连接 将三相电源按一定方式连接之后，再向负载供电，通常采用星形连接方式，如图4-25所示。 低压配电系统中，采用三根相线和一根中线输电，称为三相四线制；高压输电工程中，由三根相线组成输电，称为三相三线制。 每相绕组始端与 图 4-25星形连接 末端之间的电压，也就是相线和中线之间的电压，叫相电压，其瞬时值用u1、u2、u3表示，通用up表示。

任意两相线之间的电压，叫线电压，瞬时值用u12、u23、u31表示，通用ul表示。 其次，作出线电压和相电压的相量图，如图4-26所示。 图 4-26 星形连接线电压相电压的相量图

作星形连接时，三个相电压和三个线电压均为三相对称电压，各线电压的有效值为相电压有效值的 倍，且线电压相位比对应的先行相的相电压超前30°。 由于 构成等腰三角形， 所以 同理 作星形连接时，三个相电压和三个线电压均为三相对称电压，各线电压的有效值为相电压有效值的 倍，且线电压相位比对应的先行相的相电压超前30°。

4.8.3 对称三相负载的星形连接 三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。 4.8.3 对称三相负载的星形连接 三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。 １．负载的星形连接如图4-27所示是对称三相负载作星形连接时的电路图。 图 4-27 对称三相负载的星形连接

若三相负载对称，即 Z1=Z2=Z3=Zp，因各相电压对称，所以各相电流相等，即： 显然，在负载星形连接时，线电流等于相电流，即 若三相负载对称，即 Z1=Z2=Z3=Zp，因各相电压对称，所以各相电流相等，即： I1=I2=I3=IYP= 同时，三个相电流的相位差互为120°，满足 由基尔霍夫电流定律知

略去电线上的电压降，则各相负载的相电压就等于电源的相电压，这样，电源的线电压为负载相电压的 倍，即： UYP为星形联接负载相电压。 三相电路中，流过每根相线的电流叫线电流，即I1、I2、I3，用 表示，方向规定为由电源流向负载；而流过负载的电流叫相电流，用IYP表示，其方向与相电压方向一致；流过中线的电流叫中线电流，用IN表示，其方向规定由负载中点N/ 流向电源中点N。

这样，对称的三相负载作星形联接时，中线电流为零。这时，可以省略中线而成为三相三线制，并不影响电路工作。 如果三相负载不对称，各相电流大小就不相等，相位差也不一定是120°，中线电流不为零，此时就不能省去中线。否则会影响电路正常工作，甚至造成事故。所以三相四线制中除尽量使负载平衡运行之外，中线上不准安装熔丝和开关。

4.8.4 对称三相负载的三角形连接 如图4-28所示，将三相负载分别接在三相电源的两根相线之间，称为三相负载的三角形连接。不论负载对称与否，各相负载承受的电压均为对称的电源线电压。 图 4-28 三相负载的三角形连接

同时，各相电压与各相电流的相位差也相同。即三相电流的相位差也互为120°。各相电流的方向与该相的电压方向一致。 对于对称三相负载，相电压等于线电压，即 相电流： 同时，各相电压与各相电流的相位差也相同。即三相电流的相位差也互为120°。各相电流的方向与该相的电压方向一致。 由KCL知 作出线电流和相电流的相量图，如图4-29所示。

从图中看出：各线电流在相位上比各对应的先行相的相电流滞后30°。由于相电流对称，，所以线电流也对称，各线电流之间相差120°。 图 4-29 三角形连接线电流和相电流的相量图 可以看出 Il=2I12cos30=

所以 这些说明：对称三相负载呈三角形连接时，线电流的有效值为相电流有效值的 倍，线电流在相位上滞后于对应的先行相的相电流30°。 4.8.5　三相电路的功率 三相电路的功率等于各相负载吸收功率的总和： P=P1+P2+P3 Q=Q1+Q2+Q3 当三相负载对称时，各相功率相等，总功率为一相功率的三倍。

即： 通常，相电压和相电流不易测量，计算三相电路的功率时，是通过线电压和线电流来计算。不论负载作星形连接还是三角形连接，总的有功功率、无功功率和视在功率相同，即：

3、分析电路在正弦稳态下各部分的电压、电流、功率等问题称为正弦稳态分析，采用的方法主要是相量法。 本 章 小 结 本章的主要内容章有：正弦交流电路的基本概念、正弦稳态电路分析、正弦稳态电路中各种功率及其分析计算、谐振电路及三相电路连接及分析计算等问题。 1、利用复数概念，将正弦量用复数表示，使正弦交流电路的分析计算化为相量运算。 2、阻抗或导纳虽然不是正弦量，但也能用复数表示，从而归结出相量形式的欧姆定律与基尔霍夫定律。以此为依据，使一切简单或复杂的直流电路的规律，原理、定理和方法都能适用于交流电路。 3、分析电路在正弦稳态下各部分的电压、电流、功率等问题称为正弦稳态分析，采用的方法主要是相量法。

4、交流电路的分析计算除了数值上的问题，还有相位问题。专门讨论了正弦稳态电路的平均功率、无功功率、视在功率、功率因数之间的关系。 5、当二端电路端口电压与电流同相位时，即电路呈电阻性，工程上将电路的这种状态称为谐振。R、L、C串联和并联电路是两类典型的谐振电路，由于二者互为对偶电路，我们着重分析串联谐振电路，发生串联谐振时，回路阻抗 Z=R，电路呈电阻性，回路电流最大，且回路电流与外加电压同相。 6、  三相电路是交流复杂电路的一种特殊形式，它的分析计算的依据仍然是基尔霍夫两条定律。特殊性在于三相电动势是对称的，同时电源和负载都有三角形和星形两种接法。我们只讨论了对称三相电路的计算。