第6章 弯 曲 应 力 1

概述： 一般情况下，梁的 横截面上既有弯矩 M ，又有剪力 FS 。 弯矩M 正应力s 剪力FS 切应力t 内力 只有与切应力有关的切向内力元素 dFS =  dA 才能合成剪力； 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN =  dA 才能合成弯矩. 所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力

6－1 梁横截面上的正应力.正应力强度条件

若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲. 一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力 若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲. F a C D 右CD 段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是 纯弯曲 。 + - F 横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力。 + Fa

几何方面 研究对象：等直细长对称截面梁 前提条件: (a) 小变形处于线弹性变形范围 (b) 纯弯曲段 实验观察: M M

M 纵向线 各纵向线段弯成弧线， M 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长. 横向线 各横向线仍保持为直线， 相对转过了一个角度， 仍与变形后的纵向弧线垂直.

（1）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线； （2）单向受力假设：纵向纤维 不相互挤压，只受单向拉压. 横截面 (3)必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层 中性层 中性轴

直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比. 变形几何关系 图（c） y ρ z x O’ b’ dx 图（b） y z x O 图（a） dx O y b 应变： 直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.

? 物理关系 M ? 所以 ? 应力分布规律： 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比. 待解决问题 中性轴的位置 y z O x ? 所以 ? 应力分布规律： 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比. ? 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径r

静力学关系 y z x O M dA z y （1） σdA 中性轴通过横截面形心 （2） 自然满足

静力学关系 y z x O M dA z y σdA （3） 弯曲刚度

纯弯曲时横截面上正应力的计算公式: M为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离； Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.

说明： 1、公式的适用范围 材料服从胡克定律，拉伸和压缩时的弹性模量相等的条件下才能应用。 当梁的跨度与横截面高度 时，横力弯曲时也适用。

2、 应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。 根据梁变形的情况直接判断  的正，负号。 中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。 y Z 压 拉 M M C C 中性轴 压 拉

3、矩形截面应力分布规律 M y Z C 抗弯截面系数

矩形截面的抗弯截面系数 y z h b (k) 圆形截面的抗弯截面系数 d y z

4、对于中性轴不是对称轴的横截面应力分布 M z y

例题： 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应力和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力。

解：（1）作弯矩图 FB FA 危险截面在C处 （2）求应力 x 由型钢规格表查得56a号工字钢截面

危险截面上点a 处的正应力为 拉应力

例题 由 n 片薄片组成的梁，当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲，近似地认为每片上承担的外力等于 ，求其最大正应力。 z b F l h z

解：每一薄片中的最大正应力 z b F l h z b F l h 若用刚度足够的螺栓将薄片联紧， 杆就会象整体梁一样弯曲 最大正应力

二、 弯曲正应力强度条件 梁的正应力强度条件为： 根椐强度条件，可进行三类问题的计算。 （1)强度校核 (2)截面设计 (3)确定许可荷载

对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的 要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力 。

例题： T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用拉应力为 [t] = 30MPa ，许用压应力为[c] =160MPa 例题： T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用拉应力为 [t] = 30MPa ，许用压应力为[c] =160MPa. 已知截面对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的强度. 80 y1 y2 20 120 z F1=9kN F2=4kN C B D 1m A

- 解： 最大正弯矩在截面C上 最大负弯矩在截面B上 + M图（kN m） A F1=9kN F2=4kN C B D FA FB 1m 4 2.5 M图（kN m）

80 y1 y2 20 120 z - + 4kN 2.5kN C截面 B截面 满足强度要求

例题 图所示梁由工字钢制成。钢的许用弯曲正应力 例题 图所示梁由工字钢制成。钢的许用弯曲正应力 根据正应力强度条件，试选择工字钢的型号 。 10m 2.5m 75KN A B

解：（1）作弯矩图 M A C D E + B 281.25 解： 375 281.25 M图(KN.m) 75KN B A 10m x 281.25 x 解： 375 + 281.25 M图(KN.m)

（2） 截面设计 由型钢表查得 56 b 号工字钢的 可选用 56 b 号工字钢 。

例题 一槽形截面铸铁梁如图所示。已知，b = 2 m , ，铸铁的许用 求梁的许可荷载 拉应力 ，许用压 y 20 134 86 120 180 z 40 C b D C A P B 应力

b D C A P B 解：（1）作弯矩图 M A C B D 0.5P x - -P + M图

（2）许可荷载 x 最大正弯矩C 截面 - + M图 y 20 134 86 120 180 z 40 C

最大负弯矩B 截面 x - + M图 y 20 134 86 120 180 z 40 C

最大正弯矩C 截面 最大负弯矩B 截面 取其中较小者，得该梁的许可荷载为

6－2 梁横截面上的切应力.切应力强度条件

一、梁横截面上的切应力 F1 F2 1.矩形截面梁 （1）两个假设 z y （a）切应力与剪力平行； （b）切应力沿截面宽度均匀分布 q(x) F1 F2 1.矩形截面梁 （1）两个假设 z y （a）切应力与剪力平行； （b）切应力沿截面宽度均匀分布 （距中性轴等距离处切应力相等）.

y z 整个横截面对中性轴的惯性矩. b 矩形截面的宽度. 距中性轴为y的横线以外部分横 截面面积对中性轴的静矩.

y z y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）t=0 z τmax y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值 式中，A=bh为矩形截面的面积.

翼缘 2.工字形截面梁 o 腹板 d — 腹板的厚度 — 距中性轴为y的横线以外部分 的横截面面积A对中性轴的静矩. H y x b z h dx — 距中性轴为y的横线以外部分 的横截面面积A对中性轴的静矩.

——可查型钢表得到 （a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化； tmax tmin o z y tmax τmax （b）最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力. ——可查型钢表得到 翼缘上的最大切应力远小于腹板处，一般情况不必计算。

3.薄壁圆环形截面梁 薄壁环形截面梁.环壁厚度为 ，环的平均半径为r0，由于  «r0 故可假设 z y r0 δ max （a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化； （b）切应力的方向与圆周相切. 横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为 式中 A=2r0 为环形截面的面积

在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切. 4. 圆截面梁 在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切. 最大切应力发生在中性轴上 y d z O 式中 为圆截面的面积.

二.梁的切应力强度条件 正应力分布规律 切应力分布规律 max 等直梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处，这些点的正应力 ，最大切应力所在的各点均可看作是处于纯剪切应力状态。

切应力强度条件 一般来说，梁的强度主要由正应力控制，但在以下几种情况下需要校核切应力 （1）梁的跨度较短，M 较小，而FS较大时,要校核切应力； （2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢 的相应比值时，要校核切应力； （3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核切应力.

例题 简支梁其荷载集度 梁的跨长 l=3m ,横截面为 , 许用弯曲正应力 , 许用切应力 , 校核梁的强度。 A B q

A B q 解．（1）内力图 力 x x

（2）正应力强度校核 横截面上的最大正应力 （3）切应力强度校核 横截面上的最大切应力 以上两方面的强度条件均能满足，所以此梁是安全的。

6-4 梁的合理设计

一、设计目标 1、成本最低+满足强度 2、强度最高+有限成本 根据强度设计梁时，主要根据梁的正应力强度条件 提高梁的承载能力的措施： 1. 减小 Mmax 2. 增大 WZ

一、减小 Mmax F l/4 l/2 1、合理载荷布置

2、合理布置支座

二、增大抗弯截面系数 1、截面合理放置

在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 2.合理选择截面形状 在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z D a a1 2a1

0.8a2 a2 1.6a2 2a2 z 工字形截面与框形截面类似.

3、根据材料特性选择截面形状 对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面. 对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧. z y1 y2 scmax stmax

三、采用等强度梁 梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到 材料的许用应力，则称为等强度梁. F l/2 宽度b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律h(x)，可按正应力强度条件求得. b h(x) z 求得

但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度 b h(x) z F l/2 l/2 但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度 求得 按上确定的梁的外形，就是厂房建筑中常用的鱼腹梁. F

等强度梁实例 N