第六章 圆柱波函数和圆球波函数

6.1、标量圆柱波函数和柱面波 由Maxwell方程通过分离变量法可导出齐次标量Helmholtz方程。Helmholtz方程定量描述了正弦电磁波的传播特性，因而它的解称为波函数。在圆柱坐标系中，齐次标量Helmhotz方程表示式为 方程的基本解称为标量柱面波函数，也即标量Helmhotz方程对应算子的本征函数。 用分离变量法来求解上式

可以得到3个独立的常微分方程 式中，n为正整数（即n＝0，1，2，……）,而

第一个为标准Bessel方程，它的解为Bessel函数。通常用 来表示n阶Bessel函数。Bessel函数有多种类型 表示，其渐近公式为 ）。 第一类Bessel函数的物理意义为描述柱面驻波的波动特性 下图给出了第一类Bessel函数的变化特性（图中横轴为 纵轴为 ）。

图6.1.1 第一类Bessel函数的变化特性

第二类Bessel函数也称Neuman函数，用 表示。 与第一类Bessel函数的关系为 其渐近公式为 第二类Bessel函数的物理意义为描述柱面驻波的波动 特性。 下图给出了第二类Bessel函数的变化特性（图中横轴为 ，纵轴为 ）。

图6.1.2 第二类Bessel函数的变化特性

第三类Bessel函数也称为Hankel函数， Hankel函数可分为两类，分别称为第一类Hankel函数和第二类Hankel函数。 来表示，其物理意义 是描述柱面内行波的波动特性。 它的渐近公式为 第二类Hankel函数用 来表示，其物理意义 是描述柱面外行波的波动特性。 它的渐近公式为

Hankel函数也为是第一类Bessel函数和第二类Bessel函数的线性组合。其关系为 当 时， 为虚数，令 ，则有修正Bessel函数 其解即为修正Bessel函数。

修正Bessel函数可分为两类。第一类修正Bessel函数用 表示，其定义为 第二类修正Bessel函数用 表示，它与第一类修正 Bessel函数的关系为 综上所述，齐次标量Helmhotz方程的解来表示，即为 的类型可根据具体电磁场的特征选取。

当 为离散谱的情况下，齐次标量Helmhotz方程的通解为

左图画出了 时波函数 传播的示意图。 显然，等相位面是圆柱面 且波面沿 方向扩展并传 播。将这种传播方式的波 称为柱面波。 时波函数 传播的示意图。 显然，等相位面是圆柱面 且波面沿 方向扩展并传 播。将这种传播方式的波 称为柱面波。 图6.1.3 圆柱波的传播

6.2、圆球波函数与球面波 在球坐标中，标量波动方程为 采用分离变量法 ，令 得到

连带Legendre函数的表达式为 式中， 为Legendre函数。与 相应的另一 独立解为 ，方程一般解可写为：

令 ，则 满足： 这是一个半奇数的Bessel方程，其解为

定义球Bessel函数为

对于球内的散射场，可取基本波函数为 对于球外的散射场，可取基本波函数为 同样，可以由基本波函数的迭加来表示任意波场

球Bessel函数的物理意义与Bessel函数的物理意义相似

显然，电磁场沿r方向以球的中心向外传播，是球面状传播（辐射），将这种波称为球面波。 图6.2.1 球面波的传播

在球坐标系下讨论矢量波函数及其所对应的矢量球面波 在以点源为坐标原点的球面坐标系中，波矢量 总是与 矢径r同向，并且各场量仅与矢径大小 有关。 矢量拉普拉斯算符简化为

Helmhotz方程简化为： 矢量方程的解应具备有如下两种可能形式： 前式描述的是一个自源点向外的球面波，后式描述的则是一个向源点会聚的球面波。两个球面波的复振幅（相位）互为共轭。该球面波如下图所示：

图6.2.2 发散球面波 图6.2.3 汇聚球面波

6.3.1、柱坐标中光纤的波方程 光纤是圆柱状的介质光波导，它约束并引导光波在 其内部或表面附近沿着其轴线方向向前传播。光纤主要 由纤芯和包层组成。纤芯和包层由透明介质材料构成 （一般为石英玻璃），但两者的折射率不同。 大多数光纤的折射率n都是轴对称的，因而使用柱坐 标系统是适合的。 对于场矢量中z分量的波方程为

是由下式给出的拉普拉斯算子 由于我们关心的是沿着波导传播，因而假设 也就是，场矢量的每个分量假设为 中都和z、t相关。

用柱坐标分量写的Maxwell旋度方程为

综合上式，用z分量表示其他分量可得： 这些式子揭示了只要确定了z分量，其他分量也就可以 得到了，波方程也就唯一确定了。

波方程式可以变形为： 此方程式可分离的结果为 从而上式的波方程变为：

上面得到的波方程是Bessel微分方程，其结果称为 其一般结果为： 式中 如果 ，则一般结果为 式中

模式是光纤中波传播的一种极为重要的形式，光纤中 的模式可以看成光场在光纤截面上的分布图。波动理论是 一种严格的分析方法。采用波动方程来分析光纤中的光波 传输时，首先要求出纵向场分量，然后再求出光场的其它 分量。 在 的覆盖层受约束模式的场可由如下式表示 q由此式给出：

对于 核心中场，由以下式给出 式中A和B为两个任意常数 h由此式给出： 要求 即 这是受约束模式存在的必要条件。

利用上面的纵向场分量就能计算包层和核心区域这两 部分内的所有场分量。 核心

6.3.2、光纤中的模式分布

包层

由场应该满足的边界条件可以得到下列方程

最后一个式子中， 和 的素数分别对应于 和 ，要使该式由一个非零解，由这些系数行 列式为零产生了如下的决定传播常数的色散方程

由边界条件得到的方程中，系数行列式的比率为： B/A的量是很重要的，因为它是在一个模式里 和 相对大小的刻划（即 ）

光波导的模式主要分两类，按惯例指定这两类为TE 和TM模式。 通过解决传播常数的色散方程 ，可得到下式 现在使用下列Bessel函数关系式 ，上式变为

EH模式： HE模式： 式中，

在第一种情况下，模式条件中的TE模式变为： 在第二种情况下，模式条件中的TM模式变为：

6.3.3、模式性质和截止条件 对于 （ 或）波的截至值 由下式给出 式中, 是 的第m个零点。前三个零点为 对于较高的零点，渐近线公式为

对于l＝1的情况，两曲线代表了EH模式条件的两边 这里有两个交汇点，是 和 模式 这里有两个交汇点，是 和 模式 图6.3.2 作图法确定阶跃光纤 EH模（l＝1）的传播常数

下图显示了HE模式的这些曲线。在同样的V＝8的情况， 这里有三个交汇点分别对应于 模式 图6.3.3 作图法确定阶跃光纤HE模（l＝1）的传播常数

模式的交汇点一直存在于V的值无关。这就说 模式于没有截至条件。所有别的 和 模式都有由下 式给的 截至值。 是 的第m个零零点。前三个零点为

对应更高介的零点由如下渐近公式给出 当 时，对于 的截至值由下式给出 式中, 为 的第m个零点而 是下式的第m个根

6.3.4、线性极化模式 按照 和 ， 能表示为下式 以y极化为结果的电场 磁场分量为

根据Maxwell方程 有 为了计算 和 ，需要如下关系式 r, 用xy表示，利用Bessel函数性质得到下述场分 量的表达：

核心

包层

给出得到的场结果是一个y极化波，但是对于一个 完整的场分量，也需要直交极化模式（即x极化波）。 直交模式的场分量可由下式得到： 上式用到了 ，常数B由式子 给出得到的场结果是一个y极化波，但是对于一个 完整的场分量，也需要直交极化模式（即x极化波）。 直交模式的场分量可由下式得到： 而根据麦克斯韦方程，其余分量为

经过一些复杂的代数计算和相关Bessel函数的运用， 可以得到场幅值表达式为： 核心

覆盖层

已经得到了横向完全相互极化的两种类型的导行模式。 这些场表达是麦克斯韦方程的适当变换的结果，导出了场矢 量的切向分量在 的边界上是连续的。 现在考虑到 在 上的连续性。因连续性的条件 必须满足所有的方位角，所以必须使系数相等。根据以上表 达式得到如下模式条件

线性极化波的模式条件也可通过图来理解。根据上式中，模式的截至相对应与条件 导致了条件 接下来是 的最低秩模式，它有一个截至条件。此截 止由下式的最低根给定。

所有这些值都是Bessel函数的零点。对于高秩模式，根 据前式给出V截止值的近似值。 这个模式是给定的 组里的最高值，在 模式里标注的 相关模式都是精确的模式。 模式在核心里成放射状对称 场分布。 使用线性极化模式的最重要的优点之一是大多数模式都是 横向极化与由一个横向电分量和一个横向磁分量支配。 E矢量和H矢量方向是成直角的。一旦此模式选定，在第 一组里就存在着E和H垂直的另一个独立模式。

6.3.5、各向异性媒质的标量圆柱波函数 均匀各向异性媒质的的介电率和导磁率如下 这里只分析H极化波（TE波）的情况。H极化波的偏微分 方程为

圆内的磁场可以表示为 式中， 是待定的角谱振幅。第一式的右边是非标 准Helmhotz方程的第一类解。

是标准Helmholtz方程 的第一类解。 对于给定的 ， 平面波的表达式如下 因此可知第一式是一个均匀媒质， 是在圆内 的一个完备基。

则，前面两式的第一类通解可唯一写为 可以把一式看作带参变量的积分。一式的右边满足前 式提出的 所满足的解析条件。

H极化波偏微分方程的第一类通解可以定义为 式中， 是待定的角谱振幅， 是第i类，第m阶 Bessel函数。

标准Helmhotz方程的第i类解可以用 来展开，其表达式如下： 代表一个任意常数而 是圆的一个完备解系

现在，在环形区域的场可以写为 或者

在均匀各向异性媒质的外波可写为 根据 来展开 ，可得到

对于给定的 的可能结果，总可以使 为有限和（对于 是收敛的，对于 是渐近的）。

这证明了波函数级数是收敛的， （ ）的渐进特性不影响波函数级数解的收敛性，因为 通解和每一个波方程包含有同样的渐进级数。 均匀各向异性媒质内的矢量圆柱和圆球波函数也已由任 伟创立，有兴趣的读者可参见[10][31],[32],[33]。