第1章 § 1.2 数列的极限 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数及初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果． 拉夫纶捷夫 极限思想 数列极限 收敛数列的性质
一.极限思想 1、割圆术 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 东汉 公元250年左右 《九章算术注》 和《海岛算经》
设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知 当 n 无限增大时, 无限逼近 S . 运行时点击 “刘徽割圆术” , 或刘徽按钮 , 可放映刘徽简介 当 n 无限增大时, 无限逼近 S .
2. 截杖问题 “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 《庄子·天下篇》 设杖长为1个单位. 第一天截下的杖长为x1=1/2； 第二天截下的杖长总和为x2=1/2＋1/22； … 第n天截下的杖长总和为 xn=1/2＋1/22 + … ＋ 1/2n =1－1/2n 当 n 无限增大时, 无限逼近 1 .
定义1 以自然数n为自变量的函数xn=f(n) , 二.数列极限 1.数列的定义 定义1 以自然数n为自变量的函数xn=f(n) , 当n依次取1，2，…， n，…时所得到的一列数 x1 ， x2 ，… ， xn ， … 称为无穷数列，简称数列． 可简记为 {xn},数列 中的每个数称为数列的项, xn称为数列的通项. 例如 (1) (2) 几何数列或等比数列 其中 a≠0，q≠0,1,q称为公比
2. 有界数列 设有数列{xn}，若 使得对 都有 ，则称数列{xn}是 有界数列． 否则称为无界数列． 例如 有界 无界 数列 当满足条件 时， 是有界数列．
3. 数列的单调性 设有数列{xn} (1)若对自然数n， 总有 ，则称 数列{xn}是 单调增数列． (2)若对自然数n， 总有 ，则称 数列{xn}是 单调减数列． 例如 是单调增数列． 是单调减数列．
4. 数列的极限 观察数列 当n→∞时的变化趋势 2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 o 2 4 6 8 10 12 n
当n无限增大时， xn是否无限接近于 某一确定的数值？如果是，如何确定？ 问题1: 通过上面演示实验的观察: 当n无限增大时， xn无限接近于1． “无限接近”意味着什么？如何用数学 语言刻划它. 问题2: ∴给定
定义2 设{xn}为一数列，如果存在常数a，对 于任意给定的正数 （不论它多么小），总能找到 一个正整数N，使得对于n>N的一 切xn，不等式 都成立，则称 数列{xn}以a为极限 或说 数列{xn}收 敛于a, a称为它的极限, 并记作 或 xn→a (n→∞) ． 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意: 不等式 刻画了xn与a接近的程度; 1． 2． N与任意给定的正数 有关.
利用定义2可以证明下列几个重要的数列极限： (1) ,进而 ,(an是有界量．) (3) (4) ,其中 ∣a∣<1.
三. 收敛数列的性质 (1) 唯一性 定理1 若数列{xn}收敛，则它的极限是唯一的． 证: 用反证法. 假设 及 且 取 则 存在 N1和N2 , 从而 使当 n > N1 时, 使当 n > N2 时, 从而 则当 n > N 时, 满足的不 等式矛盾. 故假设不真! 因此收敛数列的极限必唯一.
(2) 有界性 定理2 若数列{xn}收敛，则数列{xn}有界．即存在 ． 正数M，对任意自然数n，有 证: 设 取 则 当 时, 有 从而有 取 则有 有界是数列收敛的必要条件，而不是充分条件.例如,数列 注 有界， 但它是发散的. 如果数列有 界且单调,则数列必收敛,即单调有界数列必有极限.
(3) 夹逼准则 定理3 若数列{xn},{yn}和{zn}满足条件 ⅰ) ,则有 ⅱ) 证: 由条件ⅱ) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 由条件 ⅰ) 即 故
内容小结 例1. 证明 证 利用夹逼准则 . 因为 从而 显然 所以 1. 数列极限的 “ – N ” 定义 2. 收敛数列的性质: 证 利用夹逼准则 . 因为 从而 显然 所以 内容小结 1. 数列极限的 “ – N ” 定义 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性; 夹逼准则
思考与练习 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2.下列数列极限是否存在？如果存在，写出其极 限值． 解 (1),(2)极限不存在; (3),(4)极限存在, 分别 为0, 1.
3.文学意境有着和数学概念相通的地方，唐诗“孤 帆远影碧空尽”正是 极限 概念的意境。 4. 已知 , 求 时, 下述作法是否正确? 说明理由. 设 由递推式两边取极限得 不对! 此处 , 即该数列是无界的.
5．已知{xn}和{yn}的极限都不存在, 能否断定 例如, xn=(-1)n, yn=(-1)n+1, 则xn+yn=0(n=1,2, …) 极限存在. 又如, xn=(-1)n, yn=(-1)nn, 则xn+yn=(-1)n(n+1), 极限不存在.