第十讲 基于格理论的数据流分析

内 容 一、控制流图 二、活性分析 三、可用表达式 四、很忙表达式 五、可达定义 六、初始化变量 七、符号分析 八、常量分析 九、区间分析

一、控制流图 （Control Flow Graph：CFG） 类型分析主要通过语法树进行 是流不敏感的(flow insensitive) S1; S2 的分析结果与 S2; S1 的结果相同 深入的分析是流敏感的(flow sensitive) 需要结束控制流图

一个控制流图是一个有向图 结点对应于程序中的点（语句） 边对应与可能的控制流 一个 CFG 有单个的入口和单个的出口 如果 v 是 一个CFG中 的一个点，则： pred(v) 是指该点直接前面点的集合 succ(v) 是指该点直接后面点的集合

数据流分析与格 传统的数据流分析(我们要讨论的内容) 从一个 CFG 和一个具有有限高度的格 L 开始 对于 CFG 中的每个点 v, 我们赋予一个变量 [v]，其取值范围 是 L 中的元素. 对于编程语言中的每个构造块， 我们定义一个数据流约束（dataflow constraint ） 该约束反映了一个点与其它点(特别是邻居)之间值的关系

对于一个CFG，我们可以抽取变量的约束的集合 如果所有的约束刚好是等式或者不等式（右边单调） 我们就可以利用不动点算法求唯一的最小解 如果所有的解对应于程序的正确信息，则数据流约束是“确定的”（sound） 因为解可能或多或少地不精确，所以分析是“保守”的(conservative) 但计算最小解将获得最大的精确度

F(x1, . . . , xn) = (F1(x1, . . . , xn), . . . , Fn(x1, . . . , xn)) 不动点算法 如果一个 CFG 具有点 V = {v1, v2, . . . , vn}, 我们可以这样构造格Ln 假定点 vi 产生数据流等式 [vi] = Fi([v1], . . . , [vn]) 我们构造联合函数 F : Ln → Ln F(x1, . . . , xn) = (F1(x1, . . . , xn), . . . , Fn(x1, . . . , xn))

计算不动点 x 的直观算法: x = (⊥, . . . , ⊥); 每个语句未利用 以前语句的结果 改进:利用以前语句的结果 do { t = x; x = F(x); } while (x  t); 每个语句未利用 以前语句的结果 改进:利用以前语句的结果 x1 = ⊥; . . . ; xn = ⊥; do { t1 = x1; . . .; tn = xn; x1 = F1(x1, . . . , xn); . . . xn = Fn(x1, . . . , xn); } while (x1  t1 ∨ . . . ∨ xn  tn); X1: 第i个结点结束时 的值集合 迭代时重复计算量大 许多等式已经不变！

实际使用的算法: x1 = ⊥; . . . ; xn = ⊥; q = [v1, . . . , vn]; while (q  []) { assume q = [vi, . . .]; y = Fi(x1, . . . , xn); q = q.tail(); if (y  xi) { for (v ∈ dep(vi)) q.append(v); xi = y; } dep(vi)是被Vi影响的点的集合

二、活性（Liveness）分析 一个变量在程序的某个点是活跃的，如果： 它的当前值在后面程序执行时可能被读取 我们的分析借助于一个幂集格(powerset lattice) 其元素是程序中的变量

考虑如下的程序: 构造格: L = (2{x,y,z},⊆) {x, y, z} {x, y} {x, z} {y, z} var x, y, z; x = input; while (x>1) { y = x/2; if (y>3) x = x-y; z = x-4; if (z>0) x = x/2; z = z-1; } output x; {x, y, z} {x, y} {x, z} {y, z} {x} {y} {z} {} What’s the meaning?

我们引入一个辅助定义: 对任何一个CFG 结点 v，我们引入一个约束变量 [v] [v] 代表在该结点前活跃的程序变量集 JOIN(v) = ∪ [w] w∈succ(v) 对于退出结点，约束为： [exit] = {} 对“条件”和“输出”语句，约束为: [v] = JOIN(v) ∪ vars(E) 对于赋值语句，约束为: [v] = JOIN(v) \ {id} ∪ vars(E) 对于变量声明，约束为: [v] = JOIN(v) \ {id1, . . . , idn} 最后，对所有其它结点，约束为: [v] = JOIN(v) 其中： vars(E) 表示出现在 E 中的变量 “\” 表示减去：原来的值不再起作用 这些约束明显是单调的（为什么？） F(x1, . . . , xn)

Program Constraints var x, y, z; [var x,y,z;] = [x=input] \ {x, y, z} while (x>1) { y = x/2; if (y>3) x = x-y; z = x-4; if (z>0) x = x/2; z = z-1; } output x; [var x,y,z;] = [x=input] \ {x, y, z} [x=input] = [x>1] \ {x} [x>1] = ([y=x/2] ∪ [output x]) ∪ {x} [y=x/2] = ([y>3] \ {y}) ∪ {x} [y>3] = [x=x-y] ∪ [z=x-4] ∪ {y} [x=x-y] = ([z=x-4] \ {x}) ∪ {x, y} [z=x-4] = ([z>0] \ {z}) ∪ {x} [z>0] = [x=x/2] ∪ [z=z-1] ∪ {z} [x=x/2] = ([z=z-1] \ {x}) ∪ {x} [z=z-1] = ([x>1] \ {z}) ∪ {z} [output x] = [exit] ∪ {x} [exit] = {}

Constraints 第一次迭代结果 [entry] = {} [entry] = {} [var x, y, z;] = {} [x=input] = {} [x>1] = {x} [y=x/2] = {x} [y>3] = {x, y} [x=x-y] = {x, y} [z=x-4] = {x} [z>0] = {x, z} [x=x/2] = {x, z} [z=z-1] = {z} [output x] = {x} [exit] = {} [entry] = {} [var x, y, z;] = {} [x=input] = {} [x>1] = {} [y=x/2] = {} [y>3] = {} [x=x-y] = {} [z=x-4] = {} [z>0] = {} [x=x/2] = {} [z=z-1] = {} [output x] = {} [exit] = {} [var x,y,z;] = [x=input] \ {x, y, z} [x=input] = [x>1] \ {x} [x>1] = ([y=x/2] ∪ [output x]) ∪ {x} [y=x/2] = ([y>3] \ {y}) ∪ {x} [y>3] = [x=x-y] ∪ [z=x-4] ∪ {y} [x=x-y] = ([z=x-4] \ {x}) ∪ {x, y} [z=x-4] = ([z>0] \ {z}) ∪ {x} [z>0] = [x=x/2] ∪ [z=z-1] ∪ {z} [x=x/2] = ([z=z-1] \ {x}) ∪ {x} [z=z-1] = ([x>1] \ {z}) ∪ {z} [output x] = [exit] ∪ {x} [exit] = {}

Constraints 第二次迭代结果 第一次迭代结果 [entry] = {} [var x, y, z;] = {} [x=input] = {} [x>1] = {x} [y=x/2] = {x} [y>3] = {x, y} [x=x-y] = {x, y} [z=x-4] = {x} [z>0] = {x, z} [x=x/2] = {x, z} [z=z-1] = {z} [output x] = {x} [exit] = {} [entry] = {} [var x, y, z;] = {} [x=input] = {} [x>1] = {x} [y=x/2] = {x} [y>3] = {x, y} [x=x-y] = {x, y} [z=x-4] = {x} [z>0] = {x, z} [x=x/2] = {x, z} [z=z-1] = {x, z} [output x] = {x} [exit] = {} [var x,y,z;] = [x=input] \ {x, y, z} [x=input] = [x>1] \ {x} [x>1] = ([y=x/2] ∪ [output x]) ∪ {x} [y=x/2] = ([y>3] \ {y}) ∪ {x} [y>3] = [x=x-y] ∪ [z=x-4] ∪ {y} [x=x-y] = ([z=x-4] \ {x}) ∪ {x, y} [z=x-4] = ([z>0] \ {z}) ∪ {x} [z>0] = [x=x/2] ∪ [z=z-1] ∪ {z} [x=x/2] = ([z=z-1] \ {x}) ∪ {x} [z=z-1] = ([x>1] \ {z}) ∪ {z} [output x] = [exit] ∪ {x} [exit] = {}

Constraints 第三次迭代结果 第二次迭代结果 [entry] = {} [entry] = {} [var x, y, z;] = {} [x=input] = {} [x>1] = {x} [y=x/2] = {x} [y>3] = {x, y} [x=x-y] = {x, y} [z=x-4] = {x} [z>0] = {x, z} [x=x/2] = {x, z} [z=z-1] = {x, z} [output x] = {x} [exit] = {} [entry] = {} [var x, y, z;] = {} [x=input] = {} [x>1] = {x} [y=x/2] = {x} [y>3] = {x, y} [x=x-y] = {x, y} [z=x-4] = {x} [z>0] = {x, z} [x=x/2] = {x, z} [z=z-1] = {x, z} [output x] = {x} [exit] = {} [var x,y,z;] = [x=input] \ {x, y, z} [x=input] = [x>1] \ {x} [x>1] = ([y=x/2] ∪ [output x]) ∪ {x} [y=x/2] = ([y>3] \ {y}) ∪ {x} [y>3] = [x=x-y] ∪ [z=x-4] ∪ {y} [x=x-y] = ([z=x-4] \ {x}) ∪ {x, y} [z=x-4] = ([z>0] \ {z}) ∪ {x} [z>0] = [x=x/2] ∪ [z=z-1] ∪ {z} [x=x/2] = ([z=z-1] \ {x}) ∪ {x} [z=z-1] = ([x>1] \ {z}) ∪ {z} [output x] = [exit] ∪ {x} [exit] = {}

从该信息，一个聪明的编译器可以发现 y 和 z 从来没有同时活跃， z = z-1 中的赋值从未被用过。 因此，该程序可以被优化： 冗余赋值！ var x, y, z; x = input; while (x>1) { y = x/2; if (y>3) x = x-y; z = x-4; if (z>0) x = x/2; z = z-1; } output x; var x,yz; x = input; while (x>1) { yz = x/2; if (yz>3) x = x-yz; yz = x-4; if (yz>0) x = x/2; } output x; 节省了一个赋值语句！ 寄存器分配更合理！

三、可用表达式 （Available expression） 一个重要的表达式是可用的，如果 它的当前值已经计算过 对应的幂集格，元素是程序中出现过的所有表达式 比较关系是反的（“以前”：从上到下） 程序例子： var x, y, z, a, b; z = a+b; y = a*b; while (y > a+b) { a = a+1; x = a+b; }

L = (2{a+b,a*b, y>a+b,a+1},⊇) 其中含 4 个表达式，对应的格为： L = (2{a+b,a*b, y>a+b,a+1},⊇) 重要表达式

定义: JOIN(v) = ∩[w] 对于入口，约束为： [entry] = {} w∈pred(v) 对于入口，约束为： [entry] = {} 如果 v 包含一个条件表达式 E, 约束为：[v] = JOIN(v) ∪ exps(E) 如果 v 包含输出语句 E,约束为：[v] = JOIN(v) ∪ exps(E) 如果 v 包含赋值语句 id=E, 约束为: [v] = (JOIN(v) ∪ exps(E))↓id ↓id 表示移除所有包含指向变量 id 的表达式 对所有其它结点，约束为：[v] = JOIN(v)

函数 exps 定义为: op 是任何二元操作符 对于前面的例子程序，约束为： [entry] = {} exps (intconst) = ∅ exps (id) = ∅ exps (input) = ∅ exps (E1opE2) = {E1 op E2} ∪ exps (E1) ∪ exps (E2) op 是任何二元操作符 对于前面的例子程序，约束为： var x, y, z, a, b; z = a+b; y = a*b; while (y > a+b) { a = a+1; x = a+b; } [entry] = {} [var x, y, z, a, b;] = [entry ] [z=a+b] = exps(a+b) ↓z [y=a*b] = ([x=a+b] ∪ exps(a*b)) ↓y [y>a+b] = ([y=a*b] ∩ [x=a+b]) ∪ exps(y>a+b) [a=a+1] = ([y>a+b] ∪ exps(a+1))↓a [x=a+b] = ([a=a+1] ∪ exps(a+b))↓x [exit] = [y>a+b]

which confirms our assumptions about a+b. 运用不动点算法，可以得到： [entry] = {} [var x,y,z,a,b;] = {} [z=a+b] = {a+b} [y=a*b] = {a+b, a*b} [y>a+b] = {a+b, a*b, y>a+b} [a=a+1] = {} [x=a+b] = {a+b} [exit] = {a+b} which confirms our assumptions about a+b.

优化程序： var x,y,z,a,b; z = a+b; y = a*b; while (y > a+b) { a = a+1; x = a+b; } var x, y, z, a, b, aplusb; aplusb = a+b; z = aplusb; y = a*b; while (y > aplusb) { a = a+1; x = aplusb; }

四、很忙表达式(Very Busy Expression) 一个表达式“很忙”，如果： 它的值改变之前被再次计算 定义的格与“可用表达式”相同。 对于图中的点 v， [v] 表示那些在该点前忙的表达式

定义： JOIN(v) = ∩[w] w∈succ(v) 出口点的约束为: [exit] = {} 条件与输出语句的约束为：[v] = JOIN(v) ∪ exps(E) 赋值语句的约束为： [v] = JOIN(v) ↓ id ∪ exps(E) 其它语句的约束为: [v] = JOIN(v)

例子： var x, a, b; var x, a, b, atimesb; x = input; x = input; a = x-1; while (x>0) { output a*b - x; x = x-1; } output a*b; var x, a, b, atimesb; x = input; a = x-1; b = x-2; atimesb = a*b; while (x>0) { output atimesb - x; x = x-1; } output atimesb; 分析揭示：a*b 在循环中很忙

五、到达定义（Reaching Definitions） 给定一个程序点，“到达定义”是可能定义了当前变量值的那些赋值语句 需要的幂集格中，元素是所有的赋值语句

L = (2{x=input,y=x/2,x=x-y,z=x-4,x=x/2,z=z-1},⊆) 例子： var x, y, z; x = input; while (x>1) { y = x/2; if (y>3) x = x-y; z = x-4; if (z>0) x = x/2; z = z-1; } output x; 对应的格: L = (2{x=input,y=x/2,x=x-y,z=x-4,x=x/2,z=z-1},⊆)

定义： JOIN(v) = ∪ [w] w∈pred(v) 对于赋值语句，约束为: [v] = JOIN(v)↓id ∪ {v} 其它语句的约束为: [v] = JOIN(v) 其中，↓id 移除所有给变量 id 的赋值. 可以用来构造变量的定义-使用图 (CFG的子图) 用来进一步分析 dead code, code moion

定义-使用图 var x, y, z; x = input; while (x>1) { y = x/2; if (y>3) x = x-y; z = x-4; if (z>0) x = x/2; z = z-1; } output x;

对四类经典分析的总结 前向 后向 可能 可达定义 活性 一定 可用表达式 很忙表达式

前向与后向 正向分析 对每个程序点，计算过去的行为信息 可用表达式 可达定义 反向分析 对每个程序点，计算将来的行为信息 活性 很忙表达式

可能与必须 可能分析 描述可能为真的信息：计算上限近似 活性 可达定义 必须分析 描述一定为真的信息：计算下限近似 可用表达式 很忙表示式

六、初始化变量(Initialized Variables) 对于每个程序点，保证已初始化的变量集合 格是程序中变量的集合 初始化是过去的属性，需要用正向分析 是“必须”

对于每一个变量的使用，检查是否在“已初始化”的集合中 在入口点的约束为： [entry] = {} 辅值语句的约束为： [v] = ∩ [w] ∪ {id} w∈pred(v) 其它语句的约束为： [v] = ∩ [w] 对于每一个变量的使用，检查是否在“已初始化”的集合中

七、符号分析（ Sign Analysis ） 如何决定各个表达式的符号 (+,0,-)? 可以解决的例子：是否除数是0 构造符号格: ? + 0 – ⊥ 其中: ? 表示符号值不是常量（已知道） ⊥表示值未知 The full lattice for our analysis is the map lattice: Vars |→ Sign where Vars is the set of variables occurring in the given program.

eval (α, intconst) = sign(intconst) 对每一个 CFG 结点 v，令 [v] 代表在该点所有变量的符号（-,0,+） 对于变量声明，我们引入常数映射，并返回?: [v] = [id1 |→ ?, . . . , idn |→ ?] 对于赋值语句，约束为： [v] = JOIN(v) [id |→ eval (JOIN(v), E)] 其它语句约束为： [v] = JOIN(v) 其中： JOIN(v) = ⊔ [w] w∈pred(v) eval 对表达式进行抽象估计: eval (α, id) = (id) eval (α, intconst) = sign(intconst) eval (α,E1 op E2) = opp’(eval (α,E1), eval (α,E2)) 其中， sign 给出整数的符号 opp’ 给出一个操作的抽象估计（见下页）

不同操作符的抽象估计

例如，表达式 (2>0)= =1 的分析结果是 ? +/+ 的分析结果是 ? 而不是 +，因为 1/2 被归到 0 中 有时候还可以提高精度 例如，表达式 (2>0)= =1 的分析结果是 ? +/+ 的分析结果是 ? 而不是 +，因为 1/2 被归到 0 中 我们可以在格中引入新元素 1, +0, 以及 -0 以获得精确的抽象值 这样，抽象表需要是 8 × 8 ? +0 -0 + 0 - 1 ⊥

八、常量传播（ Constant Propagation） 在任何一个程序点，计算变量的值是否是确定的 分析过程与符号分析类似，基本格换为: ? -3 -2 -1 0 1 2 3 ⊥ 操作符的抽象方式： 以加法为例：λn λm. if (n  ? ∧ m  ?) {n + m} else {?}

分析例子: var x,y,z; x = 27; y = input; z = 2*x+y; if (x < 0) else { y = 12; } output y; var x,y,z; x = 27; y = input; z = 54+y; if (0) { y = z-3; } else { y = 12; } output y; var y; y = input; output 12;

九、区间分析（Interval Analysis） 区间分析为整数变量分析取值范围：下限和上限 格描述单个变量的取值范围： Interval = lift({[l, h] | l, h ∈ N ∧ l ≤ h}) 其中: N = {−∞, . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . ,∞} 是含无限点的整数集合，区间顺序定义为： [l1, h1] ⊑ [l2, h2] ⇔ l2 ≤ l1 ∧ h1 ≤ h2 全部是闭区间

对应的格： 很明显，这是一个高度无限的格

[v] = JOIN(v) [id |→ eval (JOIN(v), E)] 对于入口结点，应用常量函数（返回⊤ ）： [entry] = λ x.[−∞,∞] 对于赋值语句，约束为： [v] = JOIN(v) [id |→ eval (JOIN(v), E)] 其它语句的约束为： [v] = JOIN(v) 其中: JOIN(v) = ⊔ [w] w∈pred(v)

eval 进行表达式的抽象估计： eval (α, id) = (id) eval (α, intconst) = [intconst, intconst] eval (α,E1 opE2) = opp’(eval (α, E1), eval (α, E2)) 抽象算术操作定位为： opp’([l1, h1], [l2, h2]) = 抽象比较操作定位为： opp’([l1, h1], [l2, h2]) = [0, 1]

w([l, h]) = [max{i ∈ B | i ≤ l}, min{i ∈ B | h ≤ i}] 格的高度无限，因此不能用单调框架(算法可能不终止) 应用“加宽”（ widening ）技术： 引入函数 w : Ln → Ln 使得: (F ◦ w)i (⊥, . . . ,⊥) 收敛在一个不动点上 从而给出一个关于程序的确定信息 如何“加宽”？ w将区间映射到一个有限子集“B”: B ⊂ N，且包含−∞ 与 ∞ 典型地，B 的初值是出现在给定程序的所有整数常数 也可以使用一些启发式方法 对于一个单个区间： w([l, h]) = [max{i ∈ B | i ≤ l}, min{i ∈ B | h ≤ i}]

fix = ⊔ Fi(⊥, . . . ,⊥) fixw = ⊔ (F ◦ w)i(⊥, . . . ,⊥) “加宽”（ Widening ）用于解决“无限”的问题 “收缩” （narrowing）用于改进结果 定义: fix = ⊔ Fi(⊥, . . . ,⊥) fixw = ⊔ (F ◦ w)i(⊥, . . . ,⊥) 则： fix ⊑ fixw 不仅如此：fix ⊑ F(fixw) ⊑ fixw 对 F 的应用可以精化结果，且仍然是“确定的” (sound) 该技术被成为“收缩”技术，且可以被迭代使用 fix ⊑ Fi+1(fixw) ⊑ Fi(fixw) ⊑ fixw

如果没有“加宽”,下面的分析将是发散的: 应用“加宽”, 构造集合 B = {−∞, 0, 1, 7,∞} 可以得到收敛结果： y = 0; while (input) { x = 7; x = x+1; y = y+1; } [x |→ ⊥, y |→ ⊥] [x |→ [8, 8], y |→ [0, 1]] [x |→ [8, 8], y |→ [0, 2]] [x |→ [8, 8], y |→ [0, 3]] ... 应用“加宽”, 构造集合 B = {−∞, 0, 1, 7,∞} 可以得到收敛结果： [x |→ ⊥, y |→ ⊥] [x |→ [7,∞], y |→ [0, 1]] [x |→ [7,∞], y |→ [0, 7]] [x |→ [7,∞], y |→ [0,∞]]

注意: fixw ⊒ F ( fixw) ⊒ F2( fixw) ⊒ F3( fixw) . . . 不保证收敛 应用“收缩”，可以得到: [x |→ [8, 8], y |→ [0,∞]] 注意: fixw ⊒ F ( fixw) ⊒ F2( fixw) ⊒ F3( fixw) . . . 不保证收敛 必须应用启发方法决定“收缩”多少次 [x |→ ⊥, y |→ ⊥] [x |→ [7,∞], y |→ [0, 1]] [x |→ [7,∞], y |→ [0, 7]] [x |→ [7,∞], y |→ [0,∞]]