第三章 线性空间 Linear Space

体现了代数学中研究其他代数结构的基本思路 线性空间是高等代数主要研究的对象 体现了代数学中研究其他代数结构的基本思路 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

基本思路 元素之间的研究——线性关系 子结构的研究——从内部研究代数结构 映射——从外部研究代数结构 包括线性表出（线性组合）、线性相关、线性无关、空间的基和坐标、基之间的过渡矩阵 子结构的研究——从内部研究代数结构 子空间和子空间的直和 映射——从外部研究代数结构 线性映射和线性变换 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

线性空间理论的应用 矩阵的秩——对矩阵分类 线性方程组解的结构 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

§3.1-3.3目的要求 掌握数域的定义, 正确判断数域和数环 熟练掌握线性空间的概念、基本性质； 正确判断一个集合对于给定的运算是否构成一个线性空间 厦门大学数学科学学院 网址:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

数域 定义 若集合K中任意两个数作某一运算后的结果仍然在K中，则称K关于这个运算封闭。 复数集C的子集K称为数域，若其满足下列条件: 至少包含两个不同元素 该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭 注 若数集只对加、减、乘封闭，称为数环 定义的叙述不求完整，但需点名要点 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

数域_例 例1. 有理数域Q；实数域R；复数域C. 例2. 例3. π为圆周率. 形如 的数 例3. π为圆周率. 形如 的数 的全体构成一个数域. 其中n, m为自然数或0, 例4. 自然数集N既不是数环，也不是数域. 而整数集Z是数环，不是数域. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

数域_例 例5. 例6. 所有偶数集合 例7. 命题 任一数域必包含0, 1. 命题 任一数域必包含有理数域Q. 例6. 所有偶数集合 例7. 命题 任一数域必包含0, 1. 命题 任一数域必包含有理数域Q. 命题 R和C之间不存在任何其他数域. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

数域_等价定义 定义 数集K称为数域，若其满足下列条件: 至少包含0，1 该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭 定义的叙述不求完整，但需点名要点 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

线性空间_1 定义 V: 非空集合，K: 数域 V上定义: 元素的加法 K中的数与V中元素的数乘 关于加法和数乘满足八条运算规则 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

对任意α,β, γ∈ V, 任意a, b∈K, 都有 向量运算规则（八条运算规则） (1) 加法交换律 (2) 加法结合律 0向量存在性 负向量存在性 数乘与加法的协调 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

线性空间_2 注1 线性空间必须对所定义的加法和数乘封闭 注2 满足以上八条规则的加法及数乘运算称为线性运算 注3 线性空间中元素又称向量，线性空间也称为向量空间 注4 同一集合V上定义了不同的加法和数乘运算，其相应的零向量（元素）和每个向量对应的负向量可能不同。甚至对有的定义可以构成线性空间，而对其他定义无法构成线性空间 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

线性空间_例 例1 例2 例3 例4 注1 以上集合关于通常意义的加法和数乘构成K上 注2 不构成K上线性空间. 线性空间 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

n维向量_1 定义 数域K，a1, a2, …, an∈K, K上的n维行向量: K上的n维列向量: 注 n维行向量可看成是一个1×n 矩阵，n维列向量可以看成是一个n×1矩阵。向量的运算及等的定义与矩阵完全相同。 行向量、列向量 直接写出来 注 即说明中的3 取消原说明 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

n维向量_2 向量的运算 (1) 加法 若 , 则 (2) 数乘 若 , 则 若 , 则 (2) 数乘 若 , 则 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

n维向量_3 向量运算规则（八条运算规则） (1) 加法交换律 (2) 加法结合律 0向量存在性 负向量存在性 数乘与加法的协调 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

线性空间_例 例4 关于通常意义下的矩阵加法和数乘，Km×n为K上的一个线性空间. 但未必是R(或C)上的线性空间. 例5 C是实数域R上的线性空间. R是R上的线性空间. 注 R不是C上线性空间, Z不是Q上线性空间. 例6 零空间 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

线性空间性质 性质1 零向量是唯一的. 性质2 负向量也是唯一的. 性质3 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

§3.4 目的要求 熟练掌握线性相关、线性无关的定义 熟练掌握判定向量组的线性关系的方法

向量的线性关系_1 定义 V: 数域K上线性空间, , 若存在K中不全为零的数a1, a2, …, am, 使得 则称 线性相关; 否则称他们线性无关. 注 线性相关性与数域有关 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

向量的线性关系_2 注 线性无关等价定义 设 , 则 线性无关 若存在K中数a1, a2, …, am, 使得 注 线性无关等价定义 设 , 则 线性无关 若存在K中数a1, a2, …, am, 使得 则必有a1= 0，a2= 0，…，am= 0 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

向量的线性关系_3 定义 设V是数域K上的线性空间, 若存在K中m个数 , 使 则称 线性组合, 或称向量 用 线性表示. 则称 线性组合, 或称向量 用 线性表示. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例1 单个向量线性相关其为0向量 含0向量的向量组必线性相关 例2 设V是n维行/列向量空间, 则 两向量线性相关所有分量成比例 标准单位列向量 线性无关 例3 因 , 则 线性相关. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例4 判定 的相关性. 注 可把线性相关性问题转化为线性方程组问题 例5 设 , 则 1) 可由 线性表示  2) 线性无关 例4 判定 的相关性. 注 可把线性相关性问题转化为线性方程组问题 例5 设 , 则 1) 可由 线性表示  2) 线性无关 3) 线性相关 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

在XOY平面上 共线, 则 线性相关 线性无关 与 不共线, 则 与 不共线, 则 线性无关 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

在二维平面上，任意三个(及三个以上)向量必定线性相关 (a, b) b 平面中任意向量 α＝(a, b) 均可用 (1 , 0) , (0 , 1) 线性组合表示 在二维平面上，任意三个(及三个以上)向量必定线性相关 (a, b) b 1 1 a 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

在三维空间上 共面, 故线性相关 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

在R3上 必线性相关 在三维空间中, 任意四(或以上)个向量必线性相关 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

向量的线性关系_性质1 性质1 若 是数域K上线性空间V的线性相关向量组, 则任一包含该组向量的向量组必线性相关. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

向量的线性关系_性质2 性质2 设 是数域K上线性空间V中的向量, 则 线性相关  中至少有一个向量是其余向量的线性组合 线性无关  中至少有一个向量是其余向量的线性组合 线性无关  中任一向量均不可由其余向量线性表示 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

向量的线性关系_性质3 性质3 （形象表示) 设 是一组n维向量, 向量 是 t ( t < n )维 “缩短向量”, 如果 线性无关, 则 必线性无关. 若向量组线性相关, 则其 “缩短向量”组必线性相关. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

向量的线性关系_性质4 性质4 若 可由 线性表示, 则表示唯一的充分必要条件是 线性无关. 特别提示 若 可由 线性表示, 则表示唯一的充分必要条件是 线性无关. 特别提示 是3个n维向量, 线性无关, 线性无关, 线性无关(即 两两线性无关), 但 未必线性无关. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例子 例6 设 , 但 , 试证明, 存在向量 , 使得 线性无关. 例7* 设 线性无关, 问 是否线性相关? 例6 设 , 但 , 试证明, 存在向量 , 使得 线性无关. 例7* 设 线性无关, 问 是否线性相关? 例8* 设 是线性空间V上线性无关向量组, 定义 则当矩阵A可逆时, 向量组 线性无关. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

§3.5 目的要求 正确理解和掌握极大无关组及向量组的秩的概念 掌握线性空间的基与维数的定义

所有颜色,均可用红绿蓝三色线性组合得到 R G B 255 0 0 31 174 225 126 166 90 173 61 195 255 0 0 31 174 225 126 166 90 173 61 195 R G B 所有颜色,均可用红绿蓝三色线性组合得到 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

极大无关组_1 定义 极大线性无关组， 简称极大无关组。 注1: (2)可替换为: S中任意向量都可用 线性表示. 注2: 任意有限个向量(不全为零向量)组成向量组必存在极大无关组 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

极大无关组_2 极大无关组的计算 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

向量组 线性无关, … 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

极大无关组_3 引理1 设S1, S2是V中两组向量且S1含有r 个向量, S2含有s个向量. 如果S1组向量线性无关且S1组中每个向量均可表示为S2组向量的线性组合, 则 r ≤ s. 引理2 若S1, S2是两组向量且都是线性无关的向量组. 又假定S1中的任一向量可用S2中向量的线性组合来表示, S2中任一向量也可用S1中向量的线性组合来表示, 则这两组向量所包含的向量个数相等. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

向量组的秩 命题 定义 设S是K上线性空间V中的向量组, 则S的任一极大线性无关组所含的向量数 r 称为向量组S的秩, 用符号r (S) 表示. 注 向量组极大无关组不唯一, 但秩是唯一的. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

定义 设向量组A 和B 可以相互线性表示，则称这两个向量组等价. 向量组的秩 定义 设向量组A 和B 可以相互线性表示，则称这两个向量组等价. 命题 等价的向量组有相同的秩. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

线性空间的基_1 定义 设V是数域K上的线性空间, 如果在V中存在n个线性无关的向量 使得V中任一向量均可表示为这组向量的线性组合, 则称 为V的一组基, 线性空间V称为n维线性空间. 注1 若V={零向量}, 称其维数为0, 此时V没有基. 一般我们讨论的线性空间维数>0. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

线性空间的基_2 注2 一般来说, n维线性空间V的基不唯一确定. 实际上V中任意n个线性无关的向量组都可以作V的一组基. 注3 线性空间V的维数唯一, 即基所含向量个数, 记做dimV. 命题 n维线性空间中任意n+1个向量必线性相关. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

基与坐标 (a , b) XOY平面上任意向量可用两过零点不共线向量线性表示; 即任意两过零点不共线向量都可以作为XOY平面的一组基. 从而XOY平面的维数为2 . 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例2 RR的一组基与维数 2是基, 6/7也是基, 维数1 例3 RC的一组基与维数 例4 CC的一组基与维数 例5 Km×n的一组基与维数 例6 Kn×1的一组基与维数 例7 Kn[x]的一组基与维数 例8 V={A|A=A’, A∈ Kn×n}的一组基与维数 2是基, 6/7也是基, 维数1 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

线性空间的基和维数 基的等价定义 线性无关且V中任意向量可由 线性无关; 线性表示; V中任意向量可由 线性表示; 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

维数与线性关系_1 定理 (扩基) 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 思考 在K2×2中, 证 线性无关, 并扩为K2×2的基. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

§3.6 目的与要求 掌握矩阵的秩的定义及基本性质 了解用子式判别矩阵秩的方法 熟练掌握用相抵标准型、用行(列)向量组的线性关系和用分块初等变换来证明秩的命题的方法

矩阵的秩_1 定义 矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩; A的列向量组的秩称为A的列秩. 命题 矩阵的行秩与列秩在初等变换下不变. 命题 矩阵的行秩与列秩在初等变换下不变. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例 已知 1) 求其极大无关组; 2) 将其余向量用1)中极大无关组线性表示; 3) 求该向量组的秩; 4) 将1)中极大无关组扩为K1×5的一组基. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

矩阵的秩_2 推论1 任一矩阵与一非异阵相乘, 其秩不变. 推论2 任一矩阵的行秩等于列秩. 因此称作矩阵的秩. 推论2 任一矩阵的行秩等于列秩. 因此称作矩阵的秩. 推论3 任一矩阵A的转置与A有相同的秩. 推论4 A, B∈Km×n, 则A, B相抵r(A) = r(B). 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

矩阵的秩_3 推论6 设A是n阶矩阵, 则下列命题等价: (1) A可逆; (2) |A| ≠ 0; (3) A相抵于I; (4) r(A) = n; (5) A的行(列)向量线性无关; (6) A的行(列)向量的秩 = n. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

矩阵的秩_3 秩与行列式的关系 (1) n阶方阵A的n个行向量线性无关的充要条件是 A的行列式不为零. (2) 矩阵A的秩等于r的充要条件是有一个r阶子式 不等于零, 而所有的r+1阶子式都等于零. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例5 A∈ Km×n, r (A) ≤ min(m, n). 例6 r (A B) ≤ r (A) + r (B). 例7 例9 r (AB) ≤ min(r (A), r (B)). 例10 A∈Kn×n, r(A) + r(In － A) ≥ n. 注 r(A) + r(In － A) = n  A2 = A. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例11 矩阵添加一行/列, 秩不变或加1. 注 矩阵删除一行/列, 秩不变或减1. 例11 矩阵添加一行/列, 秩不变或加1. 注 矩阵删除一行/列, 秩不变或减1. 例12 r ( AB)≥r ( A) + r ( B) －n. n为A的列数. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

§3.7 目的要求 掌握坐标与基的关系 正确理解映射、单射、满射、一一映射的概念 掌握线性空间的同构与集合的一一映射的联系和区别

坐标向量_1 命题 注 命题表明, 若取定V中的一组基, 则V中任一向量可以而且只可以用唯一一种方式表示为这组基的线性组合. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

坐标向量_2 定义 坐标， 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例 求 结论 向量的坐标依赖于基, 基不同, 坐标就可能不同. 例 求 结论 向量的坐标依赖于基, 基不同, 坐标就可能不同. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

映射_1 定义 集合V, W, 若 , 有W 中唯一元素 与之对应, 则称这样的对应为V 到W 的映射, 记作： 并记 原像 像 定义 集合V, W, 若 , 有W 中唯一元素 与之对应, 则称这样的对应为V 到W 的映射, 记作： 并记 1）映射 为映上或满射:若 2）单射 :若 必有 或等价于 若 则必有 3）一一映射：既满又单的映射 等价于 唯一 使得 原像集 像集 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例1 判断下列映射是否单射？满射？一一映射？ 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例2 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

映射_2 定义 注 不可写做 性质 设 , 则 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

映射_3 命题 设映射 则 为一一映射  注1 若可逆, 则如上命题的 是唯一的. 注2 称 为 的逆映射, 记作 注3 是 一 一映射. 命题 设映射 则 为一一映射  注1 若可逆, 则如上命题的 是唯一的. 注2 称 为 的逆映射, 记作 注3 是 一 一映射. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

映射_4 命题 设映射 1）若 是满的, 则 也是满的； 2）若 是单的, 则 也是单的; 3）若 是一一的, 则 也是一一的. 1）若 是满的, 则 也是满的； 2）若 是单的, 则 也是单的; 3）若 是一一的, 则 也是一一的. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

线性映射 定义 设V, W 是数域K上的两个线性空间, 映射 满足 1）对任意的 2）对任意的 则称 是V到W的线性映射. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

同构映射_1 定义 设V, W 是数域K上的两个线性空间, 若存在映射 , 满足 1） 是一一映射, 即 是单射且是满射 2） 是线性映射 1） 是一一映射, 即 是单射且是满射 2） 是线性映射 则称 是一个同构映射, 并称V和W是同构线性空间, 记做 . 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

同构映射_2 定理 数域K上的任一n维线性空间均与K上的n维向量空间同构. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

同构映射_3 定理 (1) 设V、W线性同构, 同构映射为 (2) 同构映射将线性相关的向量组变成线性相关的向量组,将线性无关的向量组变成线性无关的向量组. (3) 同构关系是一个等价关系. 即 (4) 数域K上的两个有限维线性空间同构的充要条件是它们具有相同的维数. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 推论 设V是n维线性空间, , 是V的一组基, 在此基下坐标为 , 则 例 在F4[x]中, 讨论 的秩和一个极大无关组. 在此基下坐标为 , 则 例 在F4[x]中, 讨论 的秩和一个极大无关组. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

§3.8 目的与要求 掌握过渡矩阵的概念及有关性质 掌握同一向量在不同基下的坐标的关系

基变换与过渡矩阵_1 定义 称 的过渡矩阵. 注 过渡矩阵由两组基唯一确定. 形式记号 基不用e来表示 用ξ,η等描述 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

基变换与过渡矩阵_2 若 在 下的坐标向量是 , 而 在 下的坐标是 , 则 . 即 若 则 基不用e来表示 用ξ,η等描述 若 在 下的坐标向量是 , 而 在 下的坐标是 , 则 . 即 若 基不用e来表示 用ξ,η等描述 则 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

基变换与过渡矩阵_3 若 在 下的坐标向量是 , 而 在 下的坐标是 , 总有 . 则 即A是从基 到基 的过渡矩阵. 若 在 下的坐标向量是 , 而 在 下的坐标是 , 总有 . 则 即A是从基 到基 的过渡矩阵. 基不用e来表示 用ξ,η等描述 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

从e1, e2到ξ1,ξ2的 过渡矩阵是 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

的过渡矩阵是 下坐标 x 下坐标 y 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

基变换与过渡矩阵_4 命题1 设 和 是n维线性空间V的两组基, 且 则 . 因此过渡矩阵必是可逆矩阵. 则 . 因此过渡矩阵必是可逆矩阵. 命题2 设 是n维线性空间V的一组基, 是 是另两组基, 且 则 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

基变换与过渡矩阵_5 命题3 设 和 是n维线性空间V的两个向量组, 且 (1) 若 和 是V的两组基, 则A可逆. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例1 在K3×1中, 已知 1) 求证: 是K3×1的基, 将 扩为K3×1的基 2) 求从基 到 的过渡矩阵. 2) 求从基 到 的过渡矩阵. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例2 1) 求证: 是R2×2的一组基; 2) 求 在 下的坐标. 2) 求 在 下的坐标. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

§3.9 目的与要求 掌握子空间的交、和运算的概念 掌握生成子空间的元素表示方法 了解由子集S生成的子空间L(S)是包含S的子空间的最小子空间 熟练掌握子空间的和是直和的等价刻画 熟练掌握证明子空间的方法的坐标的关系、证明空间做直和分解的方法 理解维数公式证明中扩基的方法 了解子空间的并不是运算的原因 了解有限个真子空间不能覆盖整个空间

子空间_1 定义 若数域K上的线性空间V的子集V0对于加法和数乘运算封闭，称V0为V的子空间. 注1 子空间V0是数域K上的一个线性空间. 0<dimV0<dimV. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

任意过原点的直线和平面都是三维空间的非平凡子空间 例1 非平凡子空间 非平凡子空间 任意过原点的直线和平面都是三维空间的非平凡子空间 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例2 判断下列V0是否是R1×2的子空间. 若是, 求其维数. 1) V0={(a, 0)|a∈R} 2) V0={(a, 2a)|a, b∈R} 3) V0={(a, 2)|a∈R} 例3 1) K上所有n阶对称矩阵构成的集合. 2) K上所有n阶上三角矩阵构成的集合. 3) K上所有n阶上三角矩阵和下三角矩阵 构成的集合. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例4 设V1, V2是V的子空间, 则 是V的子空间, 称做交空间. 例5 设V1, V2是V的子空间, 则 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

子空间的运算 V1∩V2=β V1+V2=R3×1 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

子空间的并未必是子空间!! 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例6 设S是线性空间V的子集, 则L(S)是V的子空间, 称做由S生成的空间. 例7 1) 可由 线性表示  例7 1) 可由 线性表示  2) 设 是V的一组基, 则 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

子空间_2 定理 L(V1∪V2)=V1+V2 例7 设V1, V2是V的子空间, 则 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

Vi∩( V1+…+Vi-1 +Vi+1+…+Vs ) = 0 (*) 子空间的和与直和_1 定义 若V1,V2, … ,Vs是V的子空间, 且对1≤ i≤s , 都有 Vi∩( V1+…+Vi-1 +Vi+1+…+Vs ) = 0 (*) 则称为直和, 记做 请重新处理 注意该为 特别提示 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

不共线的 所张空间的和 是直和 共线的 所张空间的和 不是直和 不共线的 所张空间的和 是直和 共线的 所张空间的和 不是直和 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

L与U1的和是直和 U1与U2的和不是直和 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

U1,U2,U3两两的交为0, 但它们的和不是直和 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

Vi∩( V1+…+Vi-1 +Vi+1+…+Vs ) = 0 (*) 子空间的和与直和_2 定义 若V1,V2, … ,Vs是V的子空间, 且对1≤ i≤s , 都有 Vi∩( V1+…+Vi-1 +Vi+1+…+Vs ) = 0 (*) 则称为直和, 记做 注 s≥3时, (*)不可改为对任意i≠j, Vi∩Vj=0. 命题 每个 n 维线性空间均可表示为 n 个一维子空间的直和. 请重新处理 注意该为 特别提示 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

直和等价命题_2个子空间 设V1, V2是线性空间V的子空间, 则下列命题等价： 1) 和V1 + V2 是直和 5) dim (V1 + V2) = dim(V1) + dim(V2) 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

直和等价命题_多个子空间 设V1,V2, … ,Vs是线性空间V的子空间, 则下列命题等价: 1) 和V1+V2 +…+Vs 是直和 3) 对任意的 i , 都有 Vi∩( V1 +V2 +…+Vi -1) = 0 4) dim (V1+V2 +…+Vs) = dim(V1)+dim(V2)+…+dim(Vs) 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

维数公式 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例8 K上所有n阶对称矩阵全体构成空间V, 所有n阶反对称矩阵全体构成空间U, 则 例9 设 则 例9 设 则 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

§3.10 目的与要求 理解并掌握非齐次线性方程组解的存在性、唯一性的判别方法 掌握齐次线性方程组的解空间以及非齐次线性方程组的解的结构 掌握用齐次线性方程组的解空间刻画矩阵的秩以及应用于证明一些关于矩阵的秩的命题

Cramer法则: 当 A可逆时, 方程组有唯一解, 未解决问题: √ A不可逆时, 方程组有解的判定和计算; √ A非方阵时, 方程组有解的判定和计算. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

线性方程组_1 定义 线性方程组 注 等价表示形式: 矩阵形式: , 其中 向量形式: 其中 空间形式: 矩阵形式: , 其中 向量形式: 其中 空间形式: 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

线性方程组_2 定义 的系数矩阵: A; 增广矩阵: 导出组: Ax = 0. 定理 解的判定 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

齐次线性方程组_1 定义 称 注1 等价表示形式: 向量形式: 矩阵形式: Ax = 0 注2 齐次线性方程组必有零解. 为齐次线性方程组. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

齐次线性方程组_2 齐次线性方程组有非零解的充要条件 系数矩阵 A 的列向量线性相关. 系数矩阵 A 的秩等于 r < n. 齐次线性方程组解的性质 设 x 和 y 是Ax = 0的解, 则 x+y 也是 Ax = 0的解; 对任意 , kx 还是 Ax = 0的解. Ax = 0的所有解构成Kn×1一个子空间, 称解空间. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

齐次线性方程组_3 定义 齐次线性方程组解空间的一组基称为该方程组的一个基础解系. 命题 若r(A)=r, A∈ Km×n, 则Ax = 0的任意基础解系包含 个解向量. 齐次线性方程组的通解 设 为Ax = 0的一个基础解系, 则 Ax = 0的通解为: , 其中 为K中任意数. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

齐次线性方程组_4 基础解系的求法 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

齐次线性方程组_5 则得到的 个解: 是该方程组的一个基础解系. 则得到的 个解: 是该方程组的一个基础解系. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

非齐次线性方程组_1 解的性质 是 的解, 是Ax = 0的解, 则 是Ax = 0 的解 是 的解, k为K中任意数 解的结构_特解+导出组通解 设 为Ax=0的一个基础解系, 为 的一个解, 则 的所有解可表为: 其中 为K中任意数. 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

非齐次线性方程组_2 注1 非齐次线性方程组的解全体不构成子空间 注2 非齐次线性方程组解的计算: 化增广矩阵为阶梯型或简化阶梯型矩阵 写出等价的线性方程组 求相应的一个特解, 及导出组的基础解系 得通解 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例1 求解线性方程组: 消去第1列除第1个元素外所有元素 初等 变换 行 初等 变换 行 消去第1列除第1个元素外所有元素 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

消去第2列除第2个元素外所有元素 消去第3列除第3个元素外所有元素 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例2 书p134 例2. 求解线性方程组: 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116

例 例3 Am×n, Bn×s, 满足AB = 0, 证明 r(A) + r(B) ≤ n. 例4 对实矩阵Am×n, 证明 r(AA’) = r(A’A) = r(A) . 例5 设Am×n, Bn×s , 求证 ABx = 0与Bx = 0同解的充要条件是r(AB) = r(B) . 例6 设A是n阶方阵, 求r(A*). 厦门大学数学科学学院 网站:gdjpkc.xmu.edu.cn IP:59.77.1.116