数字电路

§1.4 逻辑函数的表示法 真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。 §1.4 逻辑函数的表示法 真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。 n个输入变量 种组合。 四种表示方法 逻辑代数式: (逻辑表示式, 逻辑函数式) 逻辑电路图: 1 & ≥1 A B Y 卡诺图:

1.4.1 真值表 将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。 n个变量可以有2n个输入状态。 列真值表的方法： 一般按二进制的顺序

1.4.2 逻辑函数式 一、逻辑代数式：把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。 例： 下面介绍两个重要概念——最小项和逻辑相邻。

二、 最小项（以三变量的逻辑函数为例）具有以下特点的乘积项：1、每项只有三个因子；2、每个变量都是它的因子；3、每一变量以原变量或反变量形式出现且仅出现一次。 变量赋值为1时用该变量表示；变量赋值为0时用该变量的反来表示。 输入变量的八种状态分别唯一地对应着八个最小项， n个变量共有2n个最小项

三个变量的所有最小项的真值表 m0—m7为对最小项的编号

最小项的特点 （1）对于任意一个最小项，只有一组变量的取值使得它的值为1； （2）不同的最小项，使它的值为1的那一 组变量取值也不同； （3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0； （4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和 为1。

最小项已包含了所有的输入变量，不可能再分解。 例如：对于三变量的逻辑函数，如果某一项的变量数少于3个，则该项可继续分解；若变量数等于3个，则该项不能继续分解。

根据最小项的特点，从真值表可直接用最小项写出逻辑函数式。 例如：由左图所示三变量逻辑函数的真值表，可写出其逻辑函数式： 验证：将八种输入状态代入该表示式，均满足真值表中所列出的对应的输出状态。

逻辑相邻：若两个最小项只有一个变量以原、反区别，其他变量均相同，则称这两个最小项逻辑相邻。

逻辑相邻 逻辑相邻的项可以 合并，消去一个因子

逻辑函数的最小项表示式：利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一组最小项之和，称为最小项表达式。 例 1：

例 2：

1.4.3 卡诺图 卡诺图的构成：将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。 图1 二变量的卡诺图 图2 三变量的卡诺图

卡诺图的特点：图中各方格对应于各变量不同的组合，且不同的各行或各列上下左右相邻的方格内只有一个因子不同，即卡诺图呈现循环邻接的特点。 图3 四变量的卡诺图 卡诺图的特点：图中各方格对应于各变量不同的组合，且不同的各行或各列上下左右相邻的方格内只有一个因子不同，即卡诺图呈现循环邻接的特点。

已知逻辑函数画卡诺图：先将逻辑函数化为最小项之和，然后在卡诺图中将最小项表达式的各项对应的方格内填入1，其余方格填0。 例1： 输入变量 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B 1 输出变量Y的值

例 2：

由卡诺图写逻辑函数：只要将卡诺图中方格为1的最小项逻辑相加就可得到相应的逻辑函数式

1.4.4 逻辑图 把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了逻辑图。 & A B C D 1 F F=AB+CD

1.4.5 逻辑函数四种表示方式的相互转换 一、逻辑电路图逻辑代数式 A 1 & A B ≥1 A B B Y=A B+AB AB

二、真值表卡诺图 真值表 二变量卡诺图 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B 1

三、真值表、卡诺图逻辑代数式 方法：将真值表或卡诺图中为1的项相加，写成 “与或式”。 真值表 A B Y 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 AB AB A B 1 AB 此逻辑代数式并非是最简单的形式，实际上此真值表是与非门的真值表，其逻辑代数式为Y=AB因此，有一个化简问题。

§1.5 逻辑函数的化简 乘积项的项数最少。 最简与或式 每个乘积项中变量个数最少。 1.5.1 利用逻辑代数的基本公式

例1： 吸收法 消因子 消项法

例2： 提出AB =1 并项法 提出A 消因子法

例3： 反演 配项法 被吸收 吸收法

例4: 证明

异或门可以用4个与非门实现： & A B Y

例4：化简为最简逻辑代数式

例5：将Y化简为最简逻辑代数式。 ；A=A ;利用反演定理 ;利用公式A+AB=A+B

1.5.2 利用卡诺图化简 化简的依据：几何相邻/逻辑相邻统一 逻辑相邻合并消因子 1.5.2 利用卡诺图化简 化简的依据：几何相邻/逻辑相邻统一 逻辑相邻合并消因子 （1）若图中两个相邻的方格均为1，则这两个相邻最小项之和将消去一个变量； （2）若图中四个相邻的方格为1，则这四个相邻的最小项之和将消去两个变量； （3）相邻单元的个数是2n个，并组成矩形时，可以合并，消去n个变量。

例 1： A BC 00 01 11 10 1 该方框中逻辑函数的取值与变量A无关，当B=1、C=1时取“1”。 公共部分

BC 例 2： A BC 00 01 11 10 1 AB F=AB+BC 卡诺图适用于输入变量为3、4个的逻辑代数式的化简；化简过程比公式法简单直观。

利用卡诺图化简步骤 AD 将逻辑函数化为最小项之和的形式，画出卡诺图； 合并最小项； AB CD 00 01 11 10 AB CD 00

把相邻的行和列中为1 的方格用线条分组化成若干各包围圈，每个包围圈含有2n个方格； 画包围圈的原则：a. 要求圈的个数尽可能少；b. 所包围的方格尽可能的多；c. 有些方格可同时被包围在两个以上的包围圈内，但每一次新的组合，至少包含一个未使用过的项，直到所有为1的项都被使用为止。 3. 将每个包围圈的逻辑表达式进行逻辑加，得到简化的逻辑式

例1：化简 F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15) AB CD 00 01 11 10 A

例2：由卡诺图求逻辑表达式时，并不一定非用包 围1的方法，如果卡诺图中各方格被1占了大部分，则采用包围0 的方法化简更为简单。 AB CD 00 01 11 10 ABD

例3：用卡诺图化简逻辑代数式 AB C AB 1 00 01 11 10 1 1 1

具有无关项的逻辑函数的化简 （不完全定义的逻辑函数） 无关项（约束项或任意项）的特点： 1、变量的某些取值根本不可能出现（如交通灯）； 2、变量的某些取值下，逻辑函数的值可以是0，也可以是1 （如溢出）。 3、在利用公式法化简时，可以根据具体情况写入无关项，将其化为最简形式； 4、用卡诺图化简逻辑函数时，在卡诺图中无关项的对应位置既可以填入1，也可以填入0，可以根据使函数尽量得到简化而定，一般在卡诺图中用 号表示。

例4： 已知真值表如图，用卡诺图化简。 101状态未给出，即为无关项

化简时可以将无关项当作1或 0，目的是得到最简结果。 A BC 00 01 11 10 1 A 认为是1 F=A

例5： 化简逻辑函数 例6： 化简逻辑函数

说明一：化简结果不唯一。 A BC 1 00 01 11 10 1 1 1 1 A BC 1 00 01 11 10 1 1 1 1

与或非：合并0 说明二：采用前述方法，化简结果通常为与或表示式。若要求用其他形式表示则用摩根定理来转换。 例：将“与或” 式： 用“与非” 式来表示。 与或非：合并0

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