第五章 離散型隨機變數及其常用的機率分配

5.1 隨機變數 5.1.1 隨機變數的意義 討論隨機實驗時，有時我們感興趣的，或許並不是確切的發生結 果，因其結果所成的樣本空間較為抽象，真正關心的，可能是將 這些確切結果經由一有意義的實數值函數轉換，進而改以函數值 表示的事件。經實數值函數轉變後以數值表示的事件即稱為實數 值事件( real value event)，在實數裏有很多數學運算可應用，如加 法、減法、積分、微分。例如觀察投擲兩枚骰子的實驗中，我們 不在乎是（1,3）或（3,1）或（2,2）〔確切結果〕發生，對我 們更有意義的，則是兩枚骰子總合〔函數〕為4〔函數值〕的事 件。經一特定實數值函數，並以轉換後的函數值來表示事件，則 此實數值函數即稱為隨機變數。

一般而言以大寫英文字母來表示此函數，也就是隨機變數。而以小 寫英文字母來表示函數值，也就是隨機變數可能值。如上述投擲兩 枚骰子實驗，若定義隨機變數Ｙ〔函數〕：其面朝上點數總合。而 其相對的可能值〔函數值〕Ｙ＝2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。並以｛Ｙ ＝｝來表示原樣本空間，經此函數轉變後的實數值事件。 定義5.1.1 隨機變數（random variable）即是以樣本空間為定義域而值 域為實數的實數值函數。

【例5.1】 考慮投擲三枚硬幣實驗，定義隨機變數Ｙ：出現正面的次數。試著 將每一樣本點所對應的函數值列出，並列出所有轉換後的實數值事 件，所各自包含的樣本點。

解： 上一章曾經提及，投擲三枚硬幣其樣本空間為：　 H：正面　T：反面　　 Ｓ＝｛ HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT ｝ 而隨機變數Ｙ定義為出現正面的次數，故其對應關係如本頁圖5-1所 示。由此圖可知，隨機變數的可能值Ｙ＝0,1,2,3。也就是說，原樣 本空間經由隨機變數而轉變成4個實數值事件。其各自包含的樣本點 為 ｛Ｙ＝0｝＝｛ TTT ｝ 　　　 ｛Ｙ＝1｝＝｛ THT，TTH，HTT ｝ ｛Ｙ＝2｝＝｛ HHT，HTH，THH ｝ ｛Ｙ＝3｝＝｛ HHH ｝

5.1.2 隨機變數的分類 隨機變數可區分為兩大類：離散型隨機變數（discrete type random variable）和連續型隨機變數（continuous type random variable）。當一 隨機變數其可能值的個數為有限個（finite）或是可數的無限多 （countably infinite）時，稱為離散型隨機變數。而若一隨機變數其可 能值為不可數的無限多（uncountably infinite）時，此時稱為連續型隨 機變數。下一例子將可幫助讀者進一步清楚其詳細的分類。

【例5.3】 1. 定義隨機變數Ｘ：投擲一枚硬幣次，其出現正面的次數。則Ｘ的可能值為＝0,1,2,3,…...〔有限個〕。Ｘ為離散型隨機變數。 2. 定義隨機變數Ｙ：一小時內某一路口通過之車輛個數。則Ｙ的可能值＝0,1,2,3,……..〔可數的無限多〕。Ｙ為離散型隨機變數。 3. 定義隨機變數Ｔ：某一電視機之使用壽命。則Ｔ的可能值ｔ≧0〔不可數的無限多〕。Ｔ為連續型隨機變數。

5.2 離散型隨機變數之機率分配 定義5.2.1 一離散型隨機變數之機率分配（probability distribution），即是以表格、圖表、或公式，將隨機變數所有可能值而成的事件之機一一列出。率， 定義5.2.2 一離散型隨機變數Ｙ之機率分配 則有下列性質： . 0≦ ≦1，對每一可能值。 . ＝1

【例5.4】 台灣某一大學，企管系大二班。班上成績前五名中，有三名為男同 學，二名為女同學。由於五名同學都十分優秀，老師想以公平之標 準，隨機抽取二人擔任統計學助教。定義隨機變數Ｙ：抽取二人中， 女同學之人數。試以表格、圖表、或公式列出隨機變數Ｙ之機率分 配。

解： 隨機變數Ｙ定義為抽取二人中，女同學之人數。顯而易見的，Ｙ 可能值＝0,1,2。欲求Ｙ之機率分配，必先將P (Ｙ＝0)，P (Ｙ＝1)， P (Ｙ＝2)求出。由於是採隨機抽出，此實驗之所有樣本點，發生 機率皆相同。是故我們試著以古典法，求算事件機率。在解題之 前，先行介紹一組合符號 或 。此值 ＝ ＝ 代表著在個不同的個體中，隨機抽取個，其各種不同可能抽取結 果之總數。故就本題而言，在五名學生中，抽取二名即有 個各 種可能結果。也就是此實驗之樣本空間有 ＝10個樣本點。

5.2.2 累積分配函數的意義 累積機率F (x)，我們又可將之稱為累積分配函數（cumulative distribution function），簡稱 c.d.f.。

5.3 期望值及變異數

5.3.1 離散型隨機變數之期望值 假設考慮投擲一公平骰子36次，進而出現之點數如下：　　　　2,1,2,4,5,6 5,3,1,6,6,3 3,6,4,1,1,5 　 4,5,3,6,6,3 6,2,1,4,6,1 3,3,5,6,1,6 就以上資料36個數值，我們可計算其樣本平均數為 再將這些資料稍加整理之後，可得如下表所示

經由上表所表示各可能值之次數分配，我們可以行另一方式，求算 該樣本平均數： 計算法則即是為 (樣本平均數)＝Σ〔點數（可能值）×相對次數〕

【例5.6】 此隨機變數Ｙ之機率分配為： 考慮投擲三枚公平硬幣，定義隨機變數：三枚公平硬幣正面朝上之 個數。試求隨機變數之期望值。 解： 根據期望值定義 Ｅ[y]＝

5.3.2 離散型隨機變數之變異數

5.3.3 期望值及變異數之基本定理

【例5.10】 再以例5.6為例，並利用定理5.5，求出隨機變數之變異數。

5.4 二項分配及超幾何分配 在接下來幾小節中，將介紹幾個特殊且常見的機率分配。其中有： 二項分配　（binomial distribution） 超幾何分配（hypergeometric distribution） 幾何分配　（geometric distribution） 負二項分配（negative binomial distribution） 卜瓦松分配（Poisson distribution） 隨機變數的機率分配本是透過此隨機變數所定義的函數關係，由原 實驗樣本空間轉換而來。所以讀者學習這些機率分配時，若能清楚 各原實驗之前提條件，並了解該隨機變數所定義的函數關係，如此 必能收事半功倍之效。

5.4.1 二項分配 考慮一隨機實驗，其可能發生的結果只有單純兩種：其一為“成 功”(S)，另外一個便是“失敗”(F)。假設發生結果為“成功”時，令隨機 變數Ｙ＝1，而若發生結果為“失敗”時，則令Ｙ＝0。換句話說，隨 機變數Ｙ把“成功”對應到實數值1，把“失敗”對應到實數值0。則此隨 機變數Ｙ之機率分配為： P (Ｙ＝y)＝ ，＝0,1 其中p為結果發生“成功”的機率，，若符合以上條件，則此隨機實驗 過程稱為伯努利試驗（Bernoulli trial），此隨機變數Ｙ稱為伯努利隨 機變數（Bernoulli random variable），上述機率分配稱為伯努利分配 （Bernoulli distribution）。

對於上述二項實驗之定義，下有幾點略加說明： 1. 所謂個相同試驗，當然指的是“伯努利試驗”。 2. 可能發生結果分類為“成功”、“失敗”，這樣的分類方式，並不 意謂好或壞的價值判斷。其目的只是單純的將結果區分為兩類： 例如檢驗燈炮時，其結果不是良好，就是損壞。投擲一硬幣， 其可能發生結果亦只有正面、反面之分。像這樣的例子都屬於 此限制條件之範疇。 3. 所謂每一試驗彼此互為獨立，意即為每次試驗發生的結果，都不影響其他試驗可能發生的結果。 4. 當＝1時，二項實驗即為伯努利試驗，換句話說，伯努利試驗其實為二項實驗之一特例。 簡而言之，若某一實驗符合上述定義之四項特性，即可將該實 驗歸類為二項實驗。

5.4.2 超幾何分配

【例5.16】 在一水塘池中，計有20隻魚，其中有15隻金魚，5隻吳郭魚。今從池 中抽取2隻魚，並定義隨機變數Ｙ表示抽中吳郭魚隻數。試求出： (a) 隨機變數之機率分配 (b) 期望值E [Y]，變異數V (Y)

解： (a) 隨機變數Ｙ表示抽中吳郭魚隻數。且一次抽取2隻，如此即可 視為採不放回，故Y必為超幾何隨機變數。根據 定義 5.4.6 N＝20，r＝5，n＝2 P (Ｙ＝ｙ)＝ ，　　ｙ＝0,1,2

5.4.3 二項分配與超幾何分配的關係 實務上很多抽樣檢驗，都是以一次抽取，也就是抽取不放回方式來 進行。理論上我們應以超幾何分配來求算機率，不過在 例5.13中我 們曾經提及，當母體所含個數與抽取樣本個數相差很大時，此時雖 採不放回方式，不過試驗間還是逼近“獨立”，故依舊以二項分配來 估算，為什麼呢？玆以下例說明：

【例5.18】 科學園區某一工廠，元月份共出產產品1000件，可惜此批產品中有 100件為不良品。令隨機變數Y表示抽取5件中，不良品個數。則分別 以(a)超幾何分配(b)二項分配，求算機率並比較差異! 解： (a) 採超幾何分配求算，N＝1000，r＝100，n＝5 P (Ｙ＝y)＝ ，　　　y＝0,1,2,3,4,5

由上可知，當N，n差距很大時，分別用二項分配及超幾何分配求算 的機率值非常接近，可是求算過程中，經由超幾何分配可比起二項 分配計算繁雜的多。所以當母體所含物體個數與抽取樣本個數差距 很大時，以二項分配估算 b（n；p＝n/N）顯得容易的多，且又逼近 超幾何分配求算值。

5.5 幾何分配及負二項分配 5.5.1 幾何分配 考慮一隨機實驗，其包含著連串的伯努利試驗：每一次試驗依 舊只有“成功”(S )、“失敗”()兩種可能，各試驗彼此獨立，“成功” 的機率固定為。跟二項分配的實驗前提限制，幾乎相同，唯一 不同的是，此時我們定義一新的隨機變數Ｙ為直到第一次“成 功”(S )出現，所已執行試驗之總次數。由於此定義方式，使得不 再像二項實驗中，確切包含著個伯努利試驗。相對的，在此實 驗中可能包含著1個、2個，甚至於無限個伯努利試驗。我們稱 此隨機變數Y為幾何隨機變數（geometric random variable）。

考慮與幾何分配相同的實驗前提限制，而與幾何分配所不同的是， 此時我們再改令一隨機變數Ｘ表示直到第次“成功”出現，所已執 行的試驗總次數。由於此定義方式，此實驗至少包含個，甚至也 包含了無限個伯努利試驗。此隨機變數跟幾何隨機變數相仿，都 含有無限但可計數個可能值。此時我們稱此隨機變數Ｘ為負二項 隨機變數(negative binomial random variable)。而當負二項隨機變數 之“成功”次數＝1時，其實就是幾何隨機變數之定義。

負二項隨機變數Ｘ，其可能值x＝，r＋1，r＋2，……。若令 Ｘ＝x，意指第r次“成功”(S )出現時，總試驗次數已達次，換句話 說，第次試驗，也就是最後一次試驗，必發生“成功”(S )，而前面 的x－1次試驗中，必發生了x－1次“成功”(S )，－次“失敗”(F )。 若考慮其一排列方式： 因“成功”(S )的機率為，且各試驗之間彼此獨立。如上述之排列方 式，其發生的機率為 其中

5.6卜瓦松分配 5.6.1 卜瓦松分配的意義 考慮一隨機實驗，此實驗特色為，在某一特定區間內（一段時 間、一段距離、一部分面積、體積），觀察某特定“稀少”事件 發生的次數。所謂“稀少”，意指該事件發生的機率低，故發生 的次數少，不過理論上而言，此稀少事件發生的次數，也可能 至無限次，只不過其可能性非常的低。若令隨機變數Ｙ表示在 此實驗中，此特定事件發生的次數。則此觀察過程，我們稱之 為卜瓦松實驗（Poisson experiment），隨機變數Ｙ稱為卜瓦松 隨機變數（Poisson random variable），其可能值Y＝0,1,2,…..為 無限但可數。

卜瓦松實驗有下列特性： 1. 在一單位區間，如單位時間或單位面積內，此特定稀少事件發生 平均次數（λ），通常為已知且固定。 2. 此事件在單位區間內發生平均次數（λ），通常與區間大小（t） 成正比。 3. 不管此事件在該區間中何點發生，發生的機率必皆相同。 4. 假設此實驗可分割成極小的區間，每一區間至多可發生一件此特 定事件(成功)，或是無該事件發生(失敗)。換句話說，每一小區間， 可能發生結果只有兩類。 5. 事件在各小區間中發生與否，相互獨立。

【例5.23】 台北市每天平均一小時內，發生一次搶案。若令Ｙ表示一小時內， 發生搶案次數。假設Ｙ符合卜瓦松分配，試問： (a) 一小時內，完全無搶案發生的機率。 (b) 一小時內，發生搶案超過兩次的機率。 (c) 兩小時內，恰巧只發生一次搶案的機率。　

解： (a) 由題目可知，Ｙ符合卜瓦松分配，λ＝1 一小時內，完全無搶案發生，即 Ｙ＝0 P (Ｙ＝0)＝ (b) 一小時內，發生搶案超過兩次，即　Ｙ＞2 P (Ｙ＞2)＝1－P (Ｙ＝0)－P (Ｙ＝1)－P (Ｙ＝2)

(c) 令卜瓦松隨機變數Ｘ表示兩小時內發生搶案的次數。根據特性 第二點，其平均搶案發生次數λ＝2。 兩小時內，恰巧只發生一次搶案，即　Ｘ＝1 P (Ｘ＝1)＝

5.6.2 卜瓦松分配與二項分配的關係 先前我們曾經提及卜瓦松實驗的特性，由這些特性可知，卜瓦松實 驗可經由某特定方式分割成個小區間(很大，甚至為無限)，使得分割 後實驗，一一符合上述卜瓦松實驗特性。而經由分割後的卜瓦松實 驗P（ ），由特性3,4,5點可看出，類似於二項實驗b(n；p＝λ/n)。 換句話說，卜瓦松分配相當類似二項分配，並且可用來估計，很大； 相對很小的二項分配。通常二項實驗很大，很小時，因其計算過程 可能相當繁雜，所以改用卜瓦松分配P（λ＝np）來估計機率值，則 顯得較為容易。理論上，由數理可證明：當時，二項分配趨近於卜 瓦松分配

事實上，當二項分配n很大，p很小時，當 ， ，且 np≦7時，用卜瓦松分配P（λ＝np）來估計二項分配，較為準確， 結果相當逼近用二項分配求算值。

5.7 總結