第三章 貨幣的時間價值

學習目標 探討現值與終值的意義與計算 說明年金的觀念與種類 各種常見年金的計算 不規則現金流量及特殊年金 應用EXCEL試算表 有效年利率的意義與計算

利率與終值 單利與複利 假設在年初，小毅決定在甲銀行存入新台幣1,000元兩年，銀行每年提供10%的年利率 情況1：每年年底把利息領出 即為單利 (simple interest) 利息=本金×利率=1,000×10%=100 小毅兩年後的投資總價值為： 本金×(1+r)=1,000+1,000×0.1×2=1,200

利率與終值 情況2：把第一年的利息加入下年的本金 即為複利 (compound interest) 兩年後的總利息 =(1,000×0.1)+[1,000×(1+ 0.1)]×0.1=210 小毅兩年後的投資總價值為： 本金×(1+r)×(1+r)=1,000×(1+0.1)^2 =1,210

利率與終值 終值(Future value)：以複利計算 複利終值之一般式 (3.1) FV為終值，PV為期初本金，r為利率，n為期數 (1+ r)n 稱為終值因子(Future Value Interest Factor，簡寫FVIFr, n)，可查終值因子表。

利率與終值

利率與現值 現值的一般式 (3.2)式 r 為折現率(discount rate) 稱為現值因子 (Present Value Interest Factor ，簡寫PVIFr, n)或折現因子(Discount Factor )，可查現值因子表。

利率與現值

年金-永續年金 永續年金(perpetuity) : 每期給付固定金額的現金流量且無終止給付的日期 永續年金的現值公式 (3.4)式 時間 0 1 2 3 4 5 6 7 …………… C C C C C C C ……………

年金-永續年金

成長型永續年金 成長型永續年金:指每期不是支付固定金額，而是以固定比率成長的現金流量 以C表示成長型永續年金第一期的金額給付，g代表每期的成長率： 成長型永續年金現值公式 (3.5)式 0 1 2 3 ……………….. …………………

成長型永續年金

年金 年金(annuity):一段時間內每期固定給付等額的現金流量，有終止給付日期 年金比永續年金更為普遍，如退休金、房租收入、銀行收的貸款本息…等 分為兩大類： 普通年金 (Ordinary Annuity)：現金流量發生在期末 期初年金 (Annuity Due)：現金流量發生在期初

年金-普通年金 永續年金A從第1期末開始給付現金流量，其現值為： 0 1 2 3 n n+1 n+2 永續年金A C C C ….C C C ……… 永續年金B C C ……… 普通年金Y C C C ….C 永續年金A從第1期末開始給付現金流量，其現值為：

年金-普通年金 永續年金B則從第n+1期才開始給付現金流量，現值為： 永續年金A=永續年金B+普通年金Y，所以普通年金Y的現值可以寫成 (3.6)式 為年金因子，可查年金因子表。

年金-普通年金

成長型年金 成長型年金:每期的現金流量固定以g的比例成長 可以利用類似於推導年金現值的方式來推導出成長型年金的現值公式，公式為 (3.7)式

成長型年金

非均勻現金流與期初年金 不均勻現金流量（uneven cash flow） 現實生活中，現金流量有可能在每一期都不一樣，或者只有在某幾期有規則可循 期初年金(Annuity Due） 前面提到的年金都是在期末支付現金流量，而期初年金是在期初就先給付現金流量 貸款攤銷（Loan Amortization） 分期付款的問題，例如：房貸、車貸等，我們可以利用現值的公式來計算每期該償還的金額

不均勻現金流

期初年金

貸款攤銷

有效年利率 若一年內複利計息次數(或折現次數)超過一次，會對終值或現值帶來什麼影響？由於複利與單利的最大差異，在於複利計息所創造的利息可作為未來的本金再生利息。因此同一期間內複利計息次數愈多，所得終值金額愈大。

有效年利率 複利計息頻率下的終值公式 (3.9)式 期初存入C0元 r為年利率（annual percentage rate），又稱為名目利率（stated annual interest rate, SAIR) 每期複利計息m次 T期後可得金額FV

有效年利率

有效年利率 為了方便比較不同複利計息頻率情形下，同一期間的投資報酬率，我們常以有效年利率（effective annual interest rate, EAIR）來衡量不同複利計息頻率的年投資報酬率 有效年利率的公式 (3.10)式 年利率為 r ，每期複利計息 m 次

有效年利率

有效年利率 有效年利率高於名目利率，是因為後者未包括 複利計息的頻率

連續複利與折現 隨著計息頻率的增加，有效年利率也不斷的上升如果計息頻率再繼續細分下去，每小時、每分鐘、每秒鐘……最後的極限是每一瞬間，當每一瞬間都不斷計息時，稱為連續複利（continuous compounding） 連續複利終值的公式 (3.11) 連續複利的現值 (3.12) 其中C0表示期初投資，r為年利率，T為到期年數，e為自然指數（e值約為2.71828……）

連續複利與折現