第13讲 非齐次线性方程组的结构解, 线性空间与线性变换 主要内容： 1. (最重要内容)非齐次线性方程组的结构解 2. 线性空间与线性变换
3.5.2 非齐次线性方程组的结构解 借助于齐次线性方程组Ax = 0的基础解系可以得出非齐次线性方程组的结构解，讨论的方法具有一般性，如可用于高等数学非齐次线性微分方程(组)的解的讨论等. 非齐次线性方程组Amnx = b对应的齐次线性方程组为Amnx = 0，它可称为Amnx = b的导出组.
容易验证，下列两条性质成立. 性质3 若A1= b, A2= b, 则A(1 - 2) = 0. 性质4 若A = 0, A = b,则A( + ) = b.
若得到非齐次线性方程组Ax = b的一个特解* ，则根据性质3，Ax = b的任意解x总可以写成 其中A = 0. 设Ax = 0的基础解系为1, 2,…, n-R(A),则Ax = b的结构解为 综上所述，有
Theorem 3.9 设非齐次线性方程组Amnx = b对应的齐次线性方程组Ax = 0的基础解系为1, 2,…, n-r,其中R(A) = r. *是非齐次线性方程组Ax = b的一个特解，则非齐次线性方程组Ax = b的结构解为
根据定理3.9知，求非齐次线性方程组Ax = b的结构解步骤如下. Step1 求出Ax = b的增广矩阵B的行阶梯形矩阵,根据它判断Ax = b是否有解. 在有解的情况下, 进一步将B的行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵. Step2 根据行最简形矩阵,写出同解的非齐次线性方程组,并求出一个特解. Step3 根据行最简形矩阵,写出对应的同解齐次线性方程组,求出基础解系,其中R(A) = r,进而得出Ax = b的结构解(3.16).
例3.24 求非齐次线性方程组 的结构解. Solution
令x3 = x4 = 0:
根据行最简形矩阵，得出对应的同解齐次线性方程组为 结构解为:
3.6 线性空间与线性变换 正如前言所说，线性代数的研究对象是线性空间，包括其上的线性变换. 由于一般的线性空间和线性变换等内容偏理科色彩，本节仅对其进行简单的介绍，希望大家有所了解. 本节在实数范围内讨论.
3.6.1 线性空间 Def 3.13 设V是非空集合，在V上定义了两个元素和的封闭的加法运算 +和一个元素与数之间的数乘运算 ，且满足(其中, V, , 是数) (1) + = + . (2) ( + ) + = + ( + ). (3) 存在0 V,对任意 V, 有 + 0 = . (4) 对任意 V,存在 V,使得 + = 0.
(5) 1 = . (6) () = () . (7) ( +) = + . (8) ( + ) = + . 则称V为线性空间(Linear space). 满足(1)-(8)性质的运算称为线性运算(linear operations).
向量空间是线性空间. 所有mn矩阵组成的集合，关于矩阵的加法运算和矩阵的数乘运算构成一个线性空间. 所有关于x的一元函数全体组成的集合，关于函数的加法运算和函数的数乘运算构成一个线性空间.
类似于向量空间的讨论，可以考虑线性空间中元素之间的线性相关性. 类似地可以定义线性空间V的极大线性无关组，并将其称为是V的基(basis)，基中所含的向量个数称为是V的维数(dimensionality)，记为dim(V). 显然，若V = {0}，V不存在基，这时dim(V) = 0.
3.6.2 线性变换 对于任意集合V，将V到V的映射称为V上的变换(transformation). 如果V是线性空间，将保持其线性运算的变换称为线性变换. Def 3.14 设V是线性空间，f是V到V的映射，且满足 (1) , V,有f( +) = f() + f() . (2) V, ,有f() = f(). 则称f是线性空间V上的线性变换
例3.25 设y = Ax是Rn中的线性变换. Rn Rm :
考虑在向量空间Rn中连续进行两次线性变换，即先进行线性变换y = Bx，再进行线性变换z = Ay，则z = Ay = A(Bx) = (AB)x, 就要用到两个矩阵乘积.