第 2 章 迴歸分析的推論

貫穿本章以及第一部份以後的各章節，除非另有說明，否則皆假設適用常態誤差迴歸模型(1.24)。此一模型即是 (2.1) 其中 及 為參數； Xi 為已知常數； 獨立且服從。

2.1 關於 的推論

的抽樣分配 定義於(1.10a)中的點估計式 重新列式如下： (2.2) 所謂 的抽樣分配，是指固定預測變數X的水準，重複抽樣所得到不同樣本而造成不同 之值的現象。 對於常態誤差迴歸模型(2.1)， 的抽樣分配 為常態， (2.3)

且具有平均數及變異數： (2.3a) (2.3b) 要證明此結果，我們必須了解到， 是諸觀測值Yi 的線性組合。 是諸觀測值Yi的線性組合 定義於(2.2)中的 可以改寫成如下形式： (2.4)

其中 (2.4a) 可以看得出來ki是諸Xi 的函數，當Xi 固定時，ki也 是固定的。因此， 為諸Yi的線性組合，而其組合 係數只是諸固定Xi的函數。 組合係數ki具有一些稍後會用得到的性質： (2.5) (2.6) (2.7)

說明 1. 要證明 為諸Yi的線性組合且其組合係數為ki，首先我們必須先證明： (2.8) 常態性 平均數 變異數

估計變異數 我們也可以估計 的抽樣分配的變異數： 只要將參數 以它的不偏估計式MSE取代之即可： (2.9) 說明

(b1 1)/s{b1}的抽樣分配 當一個統計量經過標準化，但其分母為估計的標準差而非真實的標準差時，我們稱之為學生化統計量。下面是一個關於此學生化統計量(b1 1)/s{b1}的重要定理： 對於迴歸模型(2.1)， 服從自由度(n - 2)的 t分配，即t(n - 2) (2.10) 說明 我們可以根據下面的定理來證明此t化統計量(b1 1)/s{b1}服從自由度(n - 2)的t分配： 對於迴歸模型(2.1)，SSE/ 是服從自由度(n - 2) 的卡方分配( )，且與b0及b1都獨立 (2.11)

1的信賴區間 由於(b1 1)/s{b1}服從t分配，我們可以作下面的機率陳述： (2.12) 在這邊，t(/2; n - 2)定義為具有自由度(n - 2)的t分配之第(/2)100百分位數。因為t分配有對稱於0的特性，所以 (2.13)

利用(2.13)，(2.12)可以改寫成： (2.14) 由於對於1的所有值，(2.14)均成立，所以1的1 - 信 賴界限為 (2.15)

關於1的檢定

說明

2.2 關於 的推論 的抽樣分配 定義於(1.10b)的點估計式 重列如下： (2.21) 2.2 關於 的推論 的抽樣分配 定義於(1.10b)的點估計式 重列如下： (2.21) 所謂 的抽樣分配，就是針對預測變數X固定在某特定水準下重複抽樣所得到不同 值的現象。 對於迴歸模型(2.1)， 的抽樣分配 是常態的，且其平均數及變異數是： (2.22) (2.22a) (2.22b)

的點估計式可以藉由將 換成其點估計式 MSE來得到： (2.23) 而其正平方根， ，是 的估計式。 的抽樣分配 類似定理(2.10)的b1，對b0也有一個定理： 對於迴歸模型(2.1)， 服從自由度(n - 2) 的 t分配，即t(n - 2) (2.24)

的信賴區間 如同先前對 的推導， 的1  信賴界限也可以得到，就是： (2.25)

2.3 對 及 做推論時的一些考慮 偏離常態性的效應 信賴係數及錯誤風險的解釋 分隔X的水準 檢定力 2.3 對 及 做推論時的一些考慮 偏離常態性的效應 信賴係數及錯誤風險的解釋 分隔X的水準 檢定力 這個檢定的檢定力，就是當Ha是對時，而我們的決策法則也會導引到結論是Ha的機率。更明確的說，這個檢定的檢定力就是： (2.26) 其中為非置中量數 即量測1的真實值與10相距多遠的一個指標： (2.27)

2.4 的區間估計 令Xh表示我們想估計平均反應的X水準，Xh可能是在樣本中出現過的一個值，也可能是在模型範圍內預測變數的另一個值。X = Xh時的平均反應記為E{Yh}，(1.12)給予E{Yh}的點估計式 是： (2.28) 的抽樣分配 如同前面所提到過的幾個抽樣分配， 的抽樣分配是指：固定預測變數X的水準，重複抽樣並計算 ，所得到的不同 值的現象。

對於常態誤差迴歸模型(2.1)， 的抽樣分配為 常態，並具有如下的平均數與變異數： (2.29) (2.29a) (2.29b)

常態性 平均數 變異數 當MSE取代(2.29b)的 時，我們可以得到之變異數的估計： (2.30) 說明 要推導出 ，我們必須先證明 和 沒有相關： (2.31) 其中 表示 和 的共變異數。

的抽樣分配 在迴歸模型(2.1)下， 服從t(n - 2)。 (2.32) 的信賴區間 利用定理(2.32)的t分配，E{Yh}的信賴區間可依標準程序來建構，其的1  信賴界限為： (2.33)

2.5 新觀測值的預測 參數已知時 的預測區間

一般若常態誤差迴歸模型(2.1)的參數已知，則 的1  預測區間為： (2.34) 參數未知時 的預測區間 給定Xh，一新觀測值 的預測界限可利用下列定理求得： 一般若常態誤差迴歸模型(2.1)的參數已知， 則 的 1   預測區間為： (2.35)

由定理(2.35)，一新觀測值 的1  預測區間可依一般方式（比較(2.35)和(2.10)，又以 對應 ， 對應 ）得： (2.36) 應用新觀測值 和 所依據的原n個個案相互獨立的性質，此項預測誤差的變異數立即可得。將預測誤差變異數以 表示，由(A.31b)得 (2.37)

預測誤差變異數 的一個不偏估計量為 (2.38) 應用(2.30)，上列預測誤差的不偏估計量可表示如下： (2.38a)

給定Xh時m個新觀測值的平均數之預測 以代表要預測之新的Y觀測值平均數，假設這些新觀測值相互獨立，可得其1  預測界限為 (2.39) 其中 (2.39a) 亦即 (2.39b)

2.6　迴歸線的信賴帶 迴歸模型(2.1)之迴歸線，其Working-Hotelling 1   信賴帶在任一水準 Xh 具有下列兩邊界值： (2.40) 其中 (2.40a)

說明 (2.40)式的迴歸線信賴帶邊界值定義了一組雙曲線，這可由將(2.28)及(2.30)的定義式分別代入公式中的 及 即得 (2.41)

2.7　迴歸分析中的變異數分析法

總平方和的分割 基本概念 在工作時數Yi之間具有變異，無論批量大小為何，這些變異習慣上是以Yi對其平均數 的離差來衡量。 (2.42) 圖2.7a中此項離差是以垂直線段表示。總變異是(2.42)離差平方的和，以SSTO表示： (2.43) 其中SSTO是總平方和。

若考慮預測變數X，則反映Y之不確定性的變異是Yi和配適的迴歸線之間的差： (2.44) 在考慮預測變數X的效果後，是以(2.44)離差平方的和來衡量，即(1.21)的SSE： (2.45) 而SSE是誤差平方和。 這兩個平方和的顯著差異原因在哪裡？此差異，如我們即將證明的，是另一個平方和 (2.46) 其中SSR是迴歸平方和。

分割的正式推導　衡量未計入預測變數效果之總變異所用的總離差Yi - 可分解成兩個部分： (2.48) 此兩部分即： 1.配適值 對平均數 之離差。 2.觀測值Yi對配適迴歸線之離差。

值得注意的是：將這些離差平方再加總後，仍然保有同樣的關係， (2.49) 或者，用(2.43)、(2.45)及(2.46)的符號： (2.50) 說明 另有些代數上恆等的替代公式，其中一個適用於推導解析結果的公式如下： (2.51)

自由度劃分 均方 將平方和除以其對應自由度，結果稱為均方(MS)。此處我們有興趣的是迴歸均方(MSR) (2.52) 以及誤差均方(MSE)，定義如(1.22)： (2.53) 變異數分析表 基本表

修訂表 有時候會採用多一個分解項的ANOVA表，因總平方和可分解為 在修訂的ANOVA表中，定義了未修正總平方和(SSTOU)，如下： (2.54) 還有平均數修正項平方和(SS)，定義為 (2.55)

期望均方 均方的期望值是均方之抽樣分配的平均數，並告訴我們什麼是均方要估計的。由統計理論得： (2.56) (2.57) 說明 由(A.15a) (2.58)

對 的F檢定 變異數分析的方法提供迴歸模型（及其他線性統計模型）一套極有用的檢定工具。以此處考慮的簡單線性迴歸來說，變異數分析可做下列檢定： (2.59) 檢定統計量　 變異數分析的檢定統計量以F*表示。如剛剛提及的，此統計量以下列方式比較MSR和MSE： (2.60)

F*的抽樣分配　 為了建構一個統計決策規則並檢查其性質，需要知道F*的抽樣分配。首先考慮 成立時F*的抽樣分配；Cochran定理與此有關。此定理配合我們的目的，可寫成 若所有 n個觀測值Yi均來自同一個常態分配， 其平均數為 ，變異數為 ，並且將SSTO分 解為 k個平方和 SSR，各具自由度 ，又若 下列條件滿足： 則各為相互獨立各具自由度 的隨機變數。 (2.61)

建構決策規則　 由於檢定規則應取右尾，並且當 成立時，F*服從F(1, n - 2)，因此若型I錯誤的風險控制 則決策為 (2. 62) 其中F( ; n - 2)為對應之F分配的 百分位數。

F檢定和t檢定的等價性 給定一 水準，對 與 的F檢定，代數上等價於雙尾的t檢定。由(2.51)可知 因此， 但因，故得： (2.63)

2.8 一般線性檢定法 全模型 我們由被認為適合當前資料的模型著手，此模型稱為全模型或無限制模型。在簡單線性迴歸，全模型就是常態誤差迴歸模型(2.1)： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2.64) 即觀測值Yi對估計之期望值的離差平方和，結果記做SSE(F)，表示它是全模型的誤差平方和。在此我們得 (2.65)

縮減模型 其次考慮 ，在這裡我們有 (2.66) 當 成立時的模型就稱為縮減模型或限制模型。當 時，(2.64)縮減為 (2.67) 每一觀測值對應的估計期望值 ，而此縮減模型的誤差平方和為　 (2.68)

檢定統計量 現在的想法是比較兩個模型的誤差平方和SSE(F)及SSE(R)。可證明SSE(F)恆不大於SSE(R)： (2.69) 真正的檢定統計量是SSE(R)－SSE(F)的函數，即 (2.70) 當 成立時，上述統計量具有F分配。自由度 及 分別對應到縮減模型及全模型的誤差平方和。大的F*值導致 成立的結論，因大的差異SSE(R)－SSE(F)暗示 成立。所以決策規則為： (2.71)

2.9 迴歸模型中X和Y之關聯的 描述性量數 判定係數 一個衡量X對減低Y變異的效果，或說降低預測Y的不確定性的自然量數，是把縮減的變異量(SSTO－SSE = SSR)表示為總變異的比率： (2.72) 量數R2稱為判定係數。因0 ≤ SSE ≤ SSTO，故 (2.72a)

係數 的限制 相關係數 當Y與X為隨機時，一種Y與X間的線性關聯量測稱為相關係數。其為取R2的平方根： (2.73) 其中正負和配適的迴歸線斜率的正負一致。因此，r的範圍為 。

2.10 應用迴歸分析的考慮事項