高等代数CAI课件 张禾瑞 郝炳新 编 (第四版) 第一章 基本概念 第二章 多项式 第三章 行列式 第四章 线性方程组 第五章 矩阵 第六章 向量空间 第七章 线性变换 第八章 欧氏空间 第九章 二次型 广东教育学院数学系 代数与几何教研室

何谓高等代数 大家知道，初等代数是研究数及代表数的文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）的理论和方法，也就是研究多项式（实系数与复系数）的代数运算的理论和方法.而多项式方程及多项式方程组的解（包括解的公式和数值解）的求法及其分布的研究恰为初等代数研究的中心问题，以这个中心问题为基础发展起来的一般数域上的多项式理论与线性代数理论就是所谓的高等代数.

本课程的意义、内容及学习要求 高等代数是大学数学中的一门重要基础课程，从内容上看，它是中学代数里有关内容的继续和提高。其中许多理论对于加深中学数学教材的理解有着直接的指导意义，因此作为一个合格的中学数学教师，学好这门课程是非常必要的。此外，高等代数的思想和方法已经渗透到数学的各个领域，在数学分析、几何、计算技术等学科有广泛的应用，所以，学好这门课程也有助于学好其它数学课程，并且高代是考研的一门必考课程。

第一章 基本概念 第一节 集合 第二节 映射 第三节 数学归纳法 第四节 整数的一些整除性质 第五节 数环和数域

第一节 集合及映射 章节名称：集合及映射 教学目的与要求：了解集合的概念和表示，运算；理解并掌握映射的定义，合成，单射满射等的定义，掌握双射的等价刻画 重点：证明映射是单射、满射的方法

一、集合 1、概念 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 组成集合的这些事物称为集合的元素． 常用大写字母A、B、C 等表示集合； ☆ 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素． 当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作: ； 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：

Remark: 关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.

☆集合的表示方法： 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. M＝｛x | x具有性质P｝ 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. M＝｛a1，a2，…，an｝ 例1 例2 N＝ ， 2Z＝ 例3

2、集合间的关系 ☆ 空集：不含任何元素的集合，记为φ． 注意：｛φ｝≠φ,空集是任意集合的子集 ☆ 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 　A的子集，记作　　　 ，（读作B包含于A） 当且仅当 ☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 　B相等，记作A＝B . A＝B当且仅当 且

3、集合间的运算 　交：　 ； 并： 显然有， 例题： 1、证明等式: ． 证：显然， ．又 ， ∴ ， 从而, ． 故等式成立．

2、已知 ， 证明： 证：1） 此即， 又因 ， ∴ ． 但是 因此无论哪一种情况，都有 . 此即， 又因 ，∴ ．

二、映射 1、定义 设M、M´是给定的两个非空集合，如果有 一个对 应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a， 称 a´为 a 在映射σ下的象，而 a´ 称为a在映射σ下的 原象，记作σ(a)＝a´ 或

注 ① 设映射 , 集合 称之为M在映射σ下的象，通常记作 Imσ． 显然， ② 集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换．

例4　判断下列M 到M ´对应法则是否为映射 1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝ （是） σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2　　 δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4 （不是） τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4　　 　　　　 （不是） 2）M＝Z，M´＝Z＋， （不是） σ：σ(n)＝|n|, 　　　　 （是） τ：τ(n)＝|n|＋1,　　　　　

3）M＝ ，M´＝P，（P为数域） σ：σ(A)＝|A|，　　　　　　　　 （是） 4）M＝P，M´＝ ，（P为数域） τ：τ(a)＝aE， （E为n级单位矩阵） （是） 5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个 　固定元素. σ：σ(a)＝a0，　　　　　　　　　　 （是） 6）M＝M´＝P[x]（P为数域） （是） σ：σ(f (x))＝f ´(x)， 　

例5　M是一个集合，定义I： I(a)＝a ， 即 I 把 M 上的元素映到它自身，I 是一个映射， 称 I 为 M 上的恒等映射或单位映射． 例6 任意一个在实数集R上的函数 y＝f(x) 都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是 映射的一个特殊情形．

2、映射的乘积 设映射 ， 乘积 定义为： (a)＝τ(σ(a)) 即相继施行σ和τ的结果， 是 M 到 M" 的一个 映射． 注： 设映射 ， 乘积 定义为： (a)＝τ(σ(a))　 即相继施行σ和τ的结果， 是 M 到 M" 的一个 映射． 注： ①对于任意映射 ，有　 ②设映射 ， 有

3、映射的性质: 设映射 1）若 ，即对于任意 ，均存在 ，使 ，则称σ是M到M´的一个满射 （或称 σ为映上的）； ）， 则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）； 3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射, （或称σ为 1—1对应）

例7 判断下列映射的性质 1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝ σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2 例7　判断下列映射的性质 1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝ （既不单射， 也不是满射） σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2 τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1　 （双射） 2）M=Z，M´＝Z＋， τ：τ(n)＝|n|＋1, （是满射，但不是单射） 3）M＝ ，M´＝P，（P为数域） σ：σ(A)＝|A|， （是满射，但不是单射）

4）M＝P，M´＝ P为数域, E为n级单位矩阵 τ：τ(a)＝aE， 5）M、M´为任意非空集合， 为固定元素 σ：σ(a)＝a0， （是单射，但不是满射） 5）M、M´为任意非空集合，　　　为固定元素 σ：σ(a)＝a0， （既不单射，也不是满射） 6）M＝M´＝P[x]，P为数域 σ：σ(f (x))＝f ´(x)， （是满射，但不是单射） 7）M是一个集合，定义I： I(a)＝a，　 （双射） 8）M=Z，M´＝2Z， σ：σ(n)＝2n, （双射）

注： ① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应的充要条 件是它们所含元素的个数相同； 　①　对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应的充要条 件是它们所含元素的个数相同； 　②　对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A的真子集），则 A、B之间不可能存在1—1对应； 但是对于无限集未必如此. 如例7中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集． M=Z，M´＝2Z， σ：σ(n)＝2n,

4、可逆映射 注： 定义：设映射 若有映射 使得 则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射， 记作σ－1． σ的逆映射是由σ唯一确定的 注： ① 若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且 （σ－1）－1＝σ． ② 为可逆映射， ，若

③ σ为可逆映射的充要条件是σ为1—1对应． 证：若映射 为1—1对应，则对 均存在唯一的 ，使σ(x)＝y，作对应 则τ是一个M´到M的映射, 且对 即 ； 即 ∴σ为可逆映射．

反之，设 为可逆映射，则 即, 所以σ为满射. 其次，对 ，则 即σ为单射. 所以．σ为1—1对应．

练习： 找一个R到R＋的1—1对应． ，规定 解： 则 是R到R＋的一个映射. ∵若 ，则 ， ∴ 是单射． ，存在 ，使 ∴ 是满射． 故 　是1—1对应．

2、令 ，问： 1）g 是不是R＋到R＋的双射？g 是不是 f 的逆映射？ 2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆． 解：1）g是R＋到自身的双射． ∵ ，若 ，则 ，g是单射． 并且 ，即g是满射． 又∵ ， ∴ ， g不是 f 的逆映射． 事实上， ． 2）g是可逆映射．

3、设映射 ，证明： 1）如果 h 是单射，那么 f 也是单射； 2）如果 h 是满射，那么 g 也是满射； 3）如果 f、g 都是双射，那么 h 也是双射，并且 证：1）若 f 不是单射，则存在 于是有 这与h是单射矛盾，∴ f 是单射．

2）∵ h 是满射， ，即 ，∴ g 是满射． 又∵ 3） 　　　，因为 g 是满射，存在　　　,使 又因为 f 是满射，存在　　　，使 ∴ h是满射．

∵若 ，由于 f 是单射，有 又因为 g 是单射，有 即, ∴ h 是单射. 因而 h 是双射．

1.3 数学归纳法 内容分布 1.3.1最小数原理 1.3.2数学归纳法的依据 教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。 重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。

1.3.1 最小数原理 数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理. 注意 1.3.1 最小数原理 数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理. 注意 最小数原理 正整数集 的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个数 ，对任意 都有 . 其中 表示全体正整数 的集合. 1． 最小数原理并不是对于任意数集都成立的 2． 设c是任意一个整数，令 那么经代替正整数集 ，最小数原理对于 仍然成立. 也就是说， 的任意 一个非空子集必含有一个最小数，特别，N的任意一个非空了集必含有一个最小数. 这个原理的一般形式就是数学分析中的下（上）确界原理。

1.3.2数学归纳法的依据 定理1.3.1（数学归纳法原理） 设有一个与正整数n有关的命题. 如果 ①当n=1时. 命题成立； ②假设当n=k 时命题成立，当n= k+1 时命题也成 立；那么这个命题对于一切正整数n都成立. 证 设命题对于一切正整数都成立. 令S表示使命题不成立的正整数所成的集合. 那么 . 于是，由最小数原理，S中有最小数h .因为命题对于n=1成立，所以 从而h-1是一下正整数. 因为h是S中最小的数，所以 . 这就是说当n=h-1时，命题成立. 于是由②，当n=h时命题也成立. 因此 . 这就导致矛盾.

例1 证明，当 时，n 边形的内角和等于(n-2)π. 假设时命题成立. 任意一个k+1多边形 ，联结 ，那么 的内角和就等于三角形 的内角和加上k边形 的内角和. 前者等于π，后者由归纳法假定，等于(k-2)π. 因此k+1多边形 的内角和等于π+(k-2)π=(k-1)π=((k+1)-2)π. 命题得证.

定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n有关的命题. 如果 ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立. 数学归纳法可以推广到良序集合上，即所谓超限归纳原理。

1.4 整数的一些整除性质 一、内容分布 1.4.1 整除与带余除法 1.4.2 最大公因数 1.4.3 互素 1.4.4 素数的简单性质 1.4.3 互素 1.4.4 素数的简单性质 二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。 三、重点、难点 整除、最大公因数性质、互素有关的证明 。

1.4.1 整除与带余除法 设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）。用符号a | b表示a整除b。这时a叫做b 的一个因数，而b叫做a的一个倍数。如果a不整除b，那么就记作 . 整除的基本性质： ② ① ③ ④ ⑤ 每一个整数都可以1和 - 1整除。 每一个整数a都可以被它自己和它的相反数 - a整除 ⑥ ⑦

定理1.4.1（带余除法） 设a，b 是整数且 ，那么存在一对整数q和r，使得 证 令 。因为 ，所以S 是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数。也就是说，存在 ，使得r=b-aq是S 中最小数。于是b=aq+r，并且 。如果 ，那么 ，而

所以 。这是与r是S中最小数的事实矛盾。因此 . 假设还 ，使得 于是就有 。如果 那么 由此或者 ，或者 。不论是哪一种情形，都将导致矛盾。这样必须 ，从而 ，也就是说

1.4.2 最大公因数 设a，b是两个整数，满足下列条件的整数 d 叫做a与b的最大公因数： ； 。 如果 ① 。 如果 ② 一般地，设 是n 个整数。满足下列条件的整数d 叫做 的一个最大公因数： ① ②

定理1.4.2 任意 个整数 都有最大公因数。如果d是 的一个最大公因数，那么 - d 也是一个最大公因数； 的两个最大公因数至多只相差一个符号。 证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断是明显的。 现证，任意n个整数 有最大公因数。如果 ，那么0显然就是 的最大公因数，设 不全为零。考虑Z 的子集 I 显然不是空集，因为对于每一个i

又因为 不全为零，所以I 含有非零整数。因此 是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理， 有一个最小数d。我们说，d 就是 的一个最大公因数。 首先，因为 ，所以d >0并且d 有形式 又由带余除法，有

如果某一 ，如 ，那么 而 。这与d是 中的最小数的事实矛盾。这样，必须所有 ，即 。 另一方面，如果 。那么 。这就证明了d 是 的一个最大公因数。 定理1.4.3 设d是 的一个最大公因数。那么存在整数 ，使得 。 证 若 ，那么d = 0，定理显然成立。设 不全为零，由定理1.4.2的证明，知 ，.因而存在 ，使得 。

1.4.3 互素 设a，b是两个整数，如果（a, b）=1，那么就说a与 b互素。一般地， 是n个整数，如果 ，那么就说这n个整数 互素。 1.4.3 互素 设a，b是两个整数，如果（a, b）=1，那么就说a与 b互素。一般地， 是n个整数，如果 ，那么就说这n个整数 互素。 定理1.4.4 n 个整数 互素的充分且必要条件是存在整数 ，使得 （1） 证 如果 互素， 那么由定理1.4.2立即得到等式（1）成立。反过来，设等式（1）成立。令 。那么c能整除（1）式中的左端。所以c | 1，因此c =1,即 。

1.4.4 素数的简单性质 一个正整数p>1叫做一个素数，如果除±1和±p外，没有其它因数。 定理1.4.5 一个素数如果带队两个整数a 与b的乘积，那么它至少整除a 与b中的一个。 证 设p是一个素数，如果p | ab，但 ，由上面所指出的素数的性质，必定有（p, a）=1。于是由定理1.4.4，存在整数s 和t 使得 sp + ta = 1 两边同乘以b ：spb + tab =b . 左边的第一项自然能被p整除；又因为p | ab，所以左边第二项也能被p整除。于是p整除左边两项的和，从而 p | b.

1.5 数环和数域 定义1 设S是复数集C的一个非空子集，如果对于S中任意两个数a, b 来说，a +b, a – b, ab 都在S内，那么就称S是一个数环。 例1 取定一个整数a ，令 那么S是一个数环。事实上，S显然不是空集。 设 。那么 如取a =2，那么S就是全体偶数所组成的数环。

例2 令 . S显然不是空集，如果 ，那么 定义2 设F 是一个数环，如果 ① F 含有一个不等于零的数； ② 如果， 那么就称F 是一个数域。

例3 令 ，则F是一个数域。首先，容易看出，F是一个数环，并且 ，所以①成立。 现设 ，那么 。否则当d =0 的情形将得出c = 0，这与 矛盾；在 的情形将得出 这与是无理数矛盾。因此 这就证明了F 是一个数域。

定理1.5.1 任何数域都包含有理数域Q。 证 设F 是一个数域。那么由条件①，F 含有一逐步形成不等于0的数a ，再由条件②， 。用1 和它自己重复相加，可得全体正整数，因而全体正整数都属于F。另一方面， ，所以F也含有0与任一正整数的差，亦即全体负整数。因为F含有全体整数。这样，F 也含有用意两个整数的商（分母不为0），因而，F 含有一切有理数。