汽车机械基础-- 构件承载能力分析 汽车机械基础第三章

第三章 构件承载能力分析 第四节 圆轴扭转 汽车机械基础第三章

承载能力分析(3) 圆轴扭转 汽车机械基础第三章

引子:工程中发生扭转变形的构件 汽车机械基础第三章

工程中发生扭转变形的构件 汽车机械基础第三章

扭转变形实例:汽车传动轴 传动轴 其它例子还有:汽车方向盘轴、电动机轴、搅拌器 轴、车床主轴等等，都是受扭的实例。 汽车机械基础第三章

P P T T 汽车机械基础第三章

第四节 圆轴扭转 主要内容: 1.圆轴扭转的概念 2.扭转内力:扭矩和扭矩图 3.扭转切应力分析与计算 4.圆轴扭转时的强度和刚度计算 汽车机械基础第三章

一.圆轴扭转的概念 1.工程中发生扭转变形的构件 2.扭转变形的特点： 受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内， 作用了一对大小相等，转向相反，作用平 面平行的外力偶矩. 变形特点：杆件任意两横截面都发生了绕杆件轴线的相对转动。 3.研究对象：轴(以扭转变形为主的杆件） 汽车机械基础第三章

一.圆轴扭转的概念 4.扭转变形 扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角 位移。 剪应变（）：直角的改变量。 O A   B m 扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角 位移。 剪应变（）：直角的改变量。 m  O B A  汽车机械基础第三章

二、外力偶矩、扭矩、扭矩图 1、外力偶矩（T） 1分钟输入功： 1分钟T 作功： 输入功率：P(kW) 转速：n (转/分) T T 单位 汽车机械基础第三章

2、扭矩 扭矩——扭转轴的内力是作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩Mn。 扭矩计算：利用截面法，并建立平衡方程得到 T T m X m 汽车机械基础第三章

上图中，以右段为研究对象，则结果一样： m X m T T m X m T Mn´ 扭矩Ｍn、Ｍn′大小相等、方向相反，是作用力与反作用力关系。 汽车机械基础第三章

扭矩正负号的规定 用右手螺旋定则判断：右手四指绕向表示扭矩绕轴线方向，则大拇指指向与截面外法线方向一致时扭矩为正，反之扭矩为负。同一截面的扭矩符号是一致的。 T Mn（-） 外力偶矩正负号的规定 X 外法线方向 和所有外力的规定一样， 与坐标轴同向为正， 反向为负 T Mn´(+) X 外法线方向 汽车机械基础第三章

用右手螺旋定则判断扭矩正负号： Ｍn(-) Ｍn(+) 左截面 右截面 汽车机械基础第三章

2、扭矩图 当轴上作用有两个以上外力偶时，则轴上各段的扭矩Mn的大小和方向有所不同。可用扭矩图来形象地表达出轴上各截面的扭矩大小和符号的变化情况； 扭矩图画法：以横轴表示轴上截面的位置，纵轴表示扭矩大小，正扭矩画在纵轴正向，负扭矩画在负向。 根据扭矩图可清楚地看出轴上扭矩随截面的变化规律，便于分析轴上的危险截面，以便进行强度计算。 汽车机械基础第三章

例1 .传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率PB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率为 PA= 4KW ， PC= 6KW，试计算该轴的扭矩。 TB TA 解： 1、计算外力偶矩 TC A B C 汽车机械基础第三章

2、计算扭矩： AB段： Mn1设为正的 BC段： Mn2设为正的 TB TA TC B A C TA Tc Mn1 Mn2 汽车机械基础第三章

3、画扭矩图 将扭转轴的扭矩沿截面的分布规律用图形表示 A B C TB TC TA Mn 76.4Nm + - x -114.6Nm 汽车机械基础第三章

例２ 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。 TB TC TD TA A D 1 1、计算外力偶矩 2 3 汽车机械基础第三章

2、计算各截面的扭矩 B C TB TC TD TA A D 1 2 3 TB TD Mn1 Mn3 TB TC Mn2 955 Mn 1-1截面 Mn1=TB =477.5N.m 2- 2截面 Mn2-TB-TC=0 Mn2=TB+TC =955N.m 3-3截面 Mn3=-TD =-637N.m X 1 2 3 TB TD Mn1 Mn3 TB TC Mn2 955 Mn 477.5 3、画扭矩图： X Mnmax=955N·m -637 汽车机械基础第三章

M A = 9550 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m M B =M C = 9550 PB/n = 350 N.m 例３：主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试求传动轴指定截面的扭矩， 并做出扭矩图。 解：1)由外力偶矩的计算公式求个轮的力偶矩： M A = 9550 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m M B =M C = 9550 PB/n = 350 N.m M D = 9550 PD/n = 446 N.m 汽车机械基础第三章

M 1 + M B = 0 M 1 = -M B =-350N.m M B + M C + M 2 =0 2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为 BC,CA,AD段轴的扭矩。 M 1 + M B = 0 M 1 = -M B =-350N.m M B + M C + M 2 =0 M3 M 2 =-M B -M C =-700N.m M1 M D -M 3 = 0 M 3 = M D = 446N.m MT M2 446N.m x 3)画扭矩图： 350N.m 汽车机械基础第三章 700N.m

对于同一根轴来说，若把主动轮A安置在轴的一端，例如放在右端，则该轴的扭矩图为： M B M C M D M A Ｍｎ 　(Nm) x 350 700 1146 结论：传动轴上主动轮和从动轮的安放位置不同，轴所承受的最大扭矩(内力)也就不同。显然，这种布局是不合理的。 汽车机械基础第三章

例４ 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 A B C D m2 m3 m1 m4 解：①计算外力偶矩 汽车机械基础第三章

n A B C D m2 m3 m1 m4 1 2 3 ②求扭矩（扭矩按正方向设） 汽车机械基础第三章

m2 m3 m1 m4 n A B C D T x ③绘制扭矩图 BC段为危险截面。 6.37  – – 4.78 9.56 汽车机械基础第三章

课堂练习 ３-39(a) 作业 ３-39(b) 汽车机械基础第三章

三、圆轴扭转时的应力和变形 1．扭转试验 （一）圆轴扭转时横截面上的应力 等直圆轴试件，在圆轴表面画上若干平行于轴线的纵向线和垂直于轴线的圆周线，然后在圆轴两端分别作用一外力偶Ｔ，使圆轴发生扭转变形： 汽车机械基础第三章

扭转变形特点： 各圆周线形状、大小以及圆周线间距离未改变，只绕轴线转过了一定的角度； 各纵向线都倾斜了同一角度γ，使圆轴表面的小方格变成了菱形。 汽车机械基础第三章

推断： 平面截面假设： 圆轴扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍为直线。 横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力σ。 横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有切应力τ存在。 各横截面半径不变，所以切应力方向与截面半径方向垂直。 汽车机械基础第三章

t ´  t 结论： A C A C B B D D 圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的切应力τ，而无正应力σ。 各截面上只有切应力没有正应力的情况称为纯剪切  A B C D A B C D t ´ t 汽车机械基础第三章

τmax τ 2．切应力分布规律 可推导出切应力分布规律： Mn τ τmax 可推导出切应力分布规律： 　　　圆轴扭转时横截面上任一点的切应力大小与该点到圆心的距离成正比，并垂直于半径方向呈线性分布. 汽车机械基础第三章

Mn R 切应力分布 规律表达式： 式中： 为截面上任一点的半径， max为截面最大半径， max=R，τ为半径为 处的切应力，τmax为最大半径处的切应力。 因此有：圆心处（即 =0）τ=0，圆轴表面处（ = max）切应力为最大。 汽车机械基础第三章

扭矩和切应力的关系： Mn 微面积dA上内力对o点的矩: dM =ρτρdA 整个截面上的微内力矩的合力矩应该等于扭矩 汽车机械基础第三章

当  ＝  max 时， ＝  max，计算公式如下： M T—横截面上的扭矩（N.mm） —欲求应力的点到圆心的距离（mm） I p—截面对圆心的极惯性（mm ）。 4 切应力计算公式 M Pa 当  ＝  max 时， ＝  max，计算公式如下： M Pa max R = W p W p为抗扭截面系数( mm ) 3 汽车机械基础第三章

其中d为圆截面直径，d、D为空心圆截面内外径。 （二）截面极惯性矩抗扭截面系数的计算 截面形状 截面极惯性矩 抗扭截面系数 Wp= d 3 16 Ip＝ d 4 32 实心圆截面 Ip~0.1d4 Wp~0.2d3 Wp= D 3 16 ( 1- 4 ) Ip＝ D 4 32 ( 1- 4 ) 空心圆截面  =d / D  =d / D 其中d为圆截面直径，d、D为空心圆截面内外径。 汽车机械基础第三章

例６：如图所示,已知M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm; AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa。求此轴的最大切应力。 解： 求AB、BC段扭矩 MAB= -5kN.m MBC= -1.8kN.m 根据切应力计算公式: ＭAB MBC 汽车机械基础第三章

（三）圆轴扭转时的变形 扭转角ψ——变形时圆轴上任意两截面相对转过的角度. Ｇ为轴材料的切变模量（ＭPa）；而ＧＩP称为抗扭刚度，反映了圆轴的材料和横截面尺寸两个方面因素抵抗扭转变形的能力；ψ单位弧度（rad）。 当两截面之间的扭矩、直径有变化时，需分段计算各段的扭转角，然后求其代数和。扭转角的正负号与扭矩相同。 汽车机械基础第三章

两个相距dx的横截面绕轴线的相对角位移，即相对扭转角d: rad 相距L的两个横截面间相对扭转角可用积分求得： rad 长度为L的等截面圆轴，扭矩为 Ｍn，该两截面的相对扭转角为: rad 单位长度扭转角θ: rad/m 汽车机械基础第三章

剪切虎克定律： ψ大小与Ｌ有关，为消除Ｌ的影响，工程上用“单位长度扭转角θ”来表示其变形。 在剪应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量 称为剪应变。 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系称为剪切虎克定律。 剪切弹性模量 汽车机械基础第三章

T1=5kNm;T2=3.2kNm;T3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm, 例７： 1、求此轴的最大切应力 2、C截面相对于A截面的扭转角CA； 3、相对扭转角AB、 BC； T1=5kNm;T2=3.2kNm;T3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm, dAB=80mm,dBC=50mm,G=80GPa T1 T2 T3 Mn 解： 1、各截面扭矩： MnAB=T1=-5kN.m; MnBC=T3=-1.8kN.m 2、计算最大切应力 汽车机械基础第三章

2、求C截面相对A截面的扭转角 3、单位长度扭转角为： 汽车机械基础第三章

四、扭转强度、刚度条件 （一）强度条件 扭转轴内最大切应力: 扭转强度条件： 扭矩 许用切应力 抗扭截面系数 最大切应力 汽车机械基础第三章

危险截面——对于等截面轴是指扭矩最大的截面，而对于阶梯轴应该是扭矩大而抗扭截面系数小的截面，需综合考虑Ｍn和Ｗp两个因素来定。 许用切应力[τ]，可通过[σ] 来近似确定： 塑性材料： [τ]=（0.5～0.6）[σ] 脆性材料： [τ]=（0.8～1.0）[σ] 汽车机械基础第三章

强度条件的应用 （1）校核强度 （2）设计截面 （3）确定载荷 汽车机械基础第三章

例８某传动轴所传递的功率P=80kW，其转速n=580rpm，直径d=55mm，材料的许可切应力[τ]=50MPa，试校核轴的强度。 解：1、计算传动轴的外力偶矩为： 2、计算工作切应力的最大值： 3、结论:传动轴的强度足够！ 汽车机械基础第三章

解:1、计算各外力偶矩及各截面扭矩并画扭矩图: 例7 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，试设计该轴直径d。 TB TC TD TA B C A D 955 Mn 477.5 -637 解:1、计算各外力偶矩及各截面扭矩并画扭矩图: 汽车机械基础第三章

由扭矩图可知： Mnmax=955N·m 2、由强度条件设计轴直径： 3、结论：选轴径d = 50 mm 汽车机械基础第三章

例8 汽车传动轴由45＃无缝钢管制成。已知：[τ]=60MPa，若钢管的外径D＝90mm，管壁厚t=2. 5mm，轴所传动的外力偶矩Ｔ=1 例8 汽车传动轴由45＃无缝钢管制成。已知：[τ]=60MPa，若钢管的外径D＝90mm，管壁厚t=2.5mm，轴所传动的外力偶矩Ｔ=1.5kN.m.试：1、校核传动轴的强度；2、与同性能实心轴的重量比。 解：1、校核强度（Ｍn＝Ｔ） 代入数据后得： τmax＝50.33MPa<[τ]＝60MPa; 结论:强度足够 汽车机械基础第三章

2、设计实心轴直径D1（两轴Mn相等) 轴径取：D1 = 53 mm 3、两轴重量比： 汽车机械基础第三章

例9 汽车主传动轴，传递最大扭矩Mn=1930N·m,传动轴用外径D=89mm、壁厚=2 例9 汽车主传动轴，传递最大扭矩Mn=1930N·m,传动轴用外径D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。材料为20号钢，[]=70MPa.校核此轴的强度。 传动轴 （1）计算抗扭截面系数 cm3 汽车机械基础第三章

（2） 强度校核 结论：满足强度要求 汽车机械基础第三章

（二）扭转刚度条件 1、扭转变形 抗扭刚度 扭转角： 单位长度扭转角： 或： 汽车机械基础第三章

2、扭转刚度条件 以每米度为单位时： 许用单位长度扭转角 [θ]根据轴的工作条件和机器运转的精度要求等因素确定，一般规定如下： 精密机械的轴： [θ]=（0.25～0.5）°/ｍ 一般传动轴: [θ]=（0.1～1.0）°/ｍ 精度要求不高的轴:θ]=（1.0～2.5）°/ｍ 具体数值可参考有关设计手册。 汽车机械基础第三章

注：对于阶梯轴，因为极惯性矩不是常量，所以最大单位长度扭角不一定发生在最大扭矩所在的轴段上。要综合考虑扭矩和极惯性矩来确定最大单位长度扭角。 根据扭转刚度条件，可以解决刚度计算的三类问题，即校核刚度、设计截面和确定许可载荷。 汽车机械基础第三章

例11 一传动轴，已知d=45cm,n=300r/min。主动轮输入功率PA=367kW,从动轮B、C、D输出的功率PB=147kw,PC=PD=11kW。轴的材料为45号钢，G=80103MPa，=40MPa,=2/m，试校核轴的强度和刚度。 解：(1)计算外力偶矩 汽车机械基础第三章

(2)用截面法求AB.AC.CD各段的扭矩，画扭矩图： Mn 汽车机械基础第三章

(3) 强度校核 满足强度条件. (4) 刚度校核: 故满足刚度条件 汽车机械基础第三章

1.由轴的计算简图画轴的扭矩图得AB、BC段的扭矩： 例12 阶梯轴已知：d1=40mm，d2=55mm，TC=1432.5N.m，TA=620.8N.m。许用单位长度扭转角[θ]=20/m，许用切应力[τ]=60MPa，切变模量G=80GPa，校核轴的强度和刚度。 解： 1.由轴的计算简图画轴的扭矩图得AB、BC段的扭矩： Mn TA TB TC 2.在AB段上AD段各截面是危险截面，其最大切应力为： 汽车机械基础第三章

3.BC段的最大切应力为： 4.整个轴的最大切应力为: Mn TA TB TC 5.结论:轴的强度足够 汽车机械基础第三章

6、刚度校核 AD段的单位长度扭转角： BC段的单位长度扭转角： 因此，轴的最大单位长度扭转角 所以，轴的刚度足够 汽车机械基础第三章

小结与作业 本节重点:圆轴扭转的强度和刚度计算 作业: 汽车机械基础第三章

预祝大家学习顺利！轻松愉快！ 汽车机械基础第三章