第三章 自动控制系统的时域分析法 第一节 系统的稳定性分析 第二节 自动控制系统的动态性能分析 第三节 稳态性能分析

第一节 系统的稳定性分析 一、稳定性的概念 定义：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，否则，不稳定。 不稳定 稳定 图3-1 稳定性只取决于系统内部的结构和参数，而与初始条件和外作用的大小无关。 稳定性 相对稳定性：指稳定系统的稳定程度 绝对稳定性：系统稳定(或不稳定)的条件

二、系统稳定的充分必要条件 三、Hurwritz代数稳定判据 线性系统特征方程的所有根的实部都必须是负数。 设线性系统的特征方程式为： D(s)=ansn+ an-1sn-1+……+ a2s2+ a1s+ a0=0， 则系统稳定的充要条件是： （1）特征方程的各项系数均为正值。——必要条件 （2）特征方程的Hurwritz行列式△k(k=1，2，…… n)均大于0。——充分条件 2．Hurwritz行列式△k的编写方法 ①第一行为特征式第二项、第四项等偶数项的系数； ②第二行为特征式第一项、第三项等偶数项的系数； ③第三、四行重复上二行的排列，但向右移一列，前一 列则用0代替。

其中

在特征方程式各项系数全为正的条件下，若所有奇次Hurwritz行列式为正，则所有偶次Hurwritz行列式必为正，反之亦然。 3．推论 在特征方程式各项系数全为正的条件下，若所有奇次Hurwritz行列式为正，则所有偶次Hurwritz行列式必为正，反之亦然。 例3-1 设系统的特征方程式为 2s4+s3+3s2+5s+10=0 试判断系统的稳定性. 解：（1）各项系数为正，且不为零，满足稳定的必要条件。 （2）系统的Hurritz行列式为 图3-2 所以，该系统不稳定。 例3-2 已知系统的框图如图3-2所示，求当系统稳定时K的取值范围。

解：因为未直接给出系统的特征方程式，故须求系统的闭环传递 函数，从而得到特征方程式D(s)。 （1）闭环系统的传递函数为： （2）系统的特征方程式为s3+3s2+2s+K=0 （3）稳定的必要条件是系统的特征方程式各项系数为正，因而要求K>0 。 （4）系统稳定的充分条件是： 因此，为保证系统闭环稳定，增益K的可调范围是 由此可见，加大系统增益对系统的稳定性不利。 上例表明，某些系统在一定的参数范围内，它是稳定的；超出这个范围，它就是不稳定的。这类系统称为条件稳定系统。但有些系统，无论如何调整其他参数，系统也不稳定。这类系统称为结构不稳定系统。如特征方程式缺项，或者出现负系数等。对于结构不稳定系统，必须采用校正措施才能改善其稳定性。

第二节 自动控制系统的动态性能分析 一、一阶系统 的时域分析 1、一阶系统的数学模型 图3-2为一典型一阶系统的框图。 R(s) 第二节 自动控制系统的动态性能分析 一、一阶系统 的时域分析 1、一阶系统的数学模型 图3-2为一典型一阶系统的框图。 一阶系统的标准闭环传递函数为 C(s) R(s) 图3-2 T ——时间常数 2、一阶系统的单位阶跃响应 若r(t)为单位阶跃信号，即R(s)=1/s，则 对上式进行拉氏反变换，得单位阶跃响应为

t→∞时,输出等于输 入值（公式中暂态项等于零）; 其曲线如图3-3所示，它具有以下特点： 无振荡，无超调 图3-3 t=T时,输出到达稳态 的63.2%; t=3T－4T时,过渡过程基本结束; t→∞时,输出等于输 入值（公式中暂态项等于零）; t=0处斜率为1/T 3、一阶系统的性能指标 上升时间 ： 超调量 ： 调节时间 ：

二、二阶系统的时域分析 1、二阶系统的数学模型 标准闭环传递函数 ξ——阻尼比， ωn ——自然振荡角频率 T ——时间常数 方框图 R(S) C(S) E(S) 1 TS(TS+2 z ) 图3-4 方框图 开环传递函数

2、二阶系统的单位阶跃响应 对上式进行拉氏反变换，得单位阶跃响应为 其曲线如图3—5所示 该曲线特点：衰减振荡

图3—5

3．二阶系统的性能指标 1)上升时间tr： 定义：c(t)从0上升到c(∞)所需的时间。 得 2)峰值时间tr： 定义：c(t)从0上升到c(∞)所需的时间。 由 得 取n=1，得

3)最大超调量 定义： 仅与阻尼比ξ有关，ξ越大， 则越小，系统的稳定性越好。 4)调整时间ts 定义：系统输出量与稳态值之差进入并一直保持在允许误差带δ内所需要的时间。δ取2%或5% 。 5)振荡次数 N 定义：在调整时间ts内，输出量c(t)在稳态值上下摆动的次数。

第三节 稳态性能分析 一、系统误差与稳态误差 图3－7 给定输入 扰动输入 跟随误差 扰动误差 系统误差 象函数形式 终值定理 稳态误差

线性系统的总误差为跟随误差和扰动误差的代数和，即 给定输入信号r(t)作用 扰动输入信号d(t)作用

与系统的开环传递函数G(s)及输入信号R(s)有关 二、输入信号作用下的稳态误差 1、典型输入信号 与系统的开环传递函数G(s)及输入信号R(s)有关 单位阶跃信号 r(t)=1 R(s)=1/s 单位斜坡信号 r(t)=t R(s)=1/s2 单位加速度（抛物线）信号 2、型别 系统开环传递函数 v称为系统的型别，它表示G(s)中积分环节的个数。 v=0，称为0型系统 v=1，称为I型系统 v=2，称为II型系统 注：含两个以上积分环节的系统不易稳定，所以很少采用II型以上的系统

3、稳态误差与输入信号、型别的关系 输入信号为单位阶跃信号 0型系统 I型及I型以上系统 输入信号为单位斜坡信号 0型系统 I型系统 II型及II型以上系统

输入信号为单位加速度信号 0型系统 I型系统 II型系统 II型以上系统 总结： 稳态误差与输入信号有关 稳态误差与前向通路积分环节个数v和开环增益K有关。若v愈多，K愈大，跟随稳态精度愈高。

解：首先判断系统的稳定性。由系统的开环传递函数得系统的闭环特征式为 例3- 2 已知某单位反馈系统的开环传递函数为 当输入信号r(t)=2+4t+t2时，试求系统的稳态误差。 解：首先判断系统的稳定性。由系统的开环传递函数得系统的闭环特征式为 D(s)=s(s+4)(s+5)+20(s+2)=s3+9s2+40s+40=0 由二阶Hurwitz行列式 可知，该系统闭环是稳定的。 根据系统的开环传递函数 可知系统为v=1，K=2。由于输入信号是由阶跃、斜坡和加速度信号组成的复合信号，根据线性系统的叠加原理，系统总误差为各个信号单独作用下的误差之和。因此所求误差为 计算结果表明，该系统不能跟随给定的输入信号，应进行系统结构校正。

三、扰动信号作用下的稳态误差 当开环传递函数G(s)=G1(s)G2(s)H(s)》1时，上式可近似为 设 则系统在扰动信号作用下的稳态误差为 可见，输入信号作用下的稳态误差与系统的开环传递函数G(s)及输入信号R(s)有关，扰动信号作用下稳态误差的大小和有无，除了与扰动信号D(s)的形式有关外，当G(s)=G1(s)G2(s)H(s)》1时，主要取决于扰动作用点前传递函数G1(s)中积分环节的个数v和放大倍数K。

同理从以上分析可知，系统在扰动信号作用下的稳态误差 与扰动信号有关，扰动信号不同，其稳态误差是不同的。 与扰动信号作用点前的积分环节个数v1和开环增益K1有关。若v1愈多，K1愈大， 则对扰动信号的稳态精度愈高。 例3-3 某系统的结构图如图3-8 所示，假设r(t)=t，d(t)=0.5，试计算该系统的稳态误差。 图3－8 首先判断系统的稳定性。由系统的结构图，可得系统的闭环特征式为 D(s)=s(3s+1)(0.2s+1)+4×0.5=0.6s3+3.2s2+s+2=0 由二阶Hurwitz行列式可知，该系统闭环是稳定的。

计算在输入信号作用下的稳态误差essr。 系统的开环传递函数为 由此可知，系统为I型，开环放大倍数K=2，且输入为单位斜坡信号。因此 essr=1/K=1/2=0.5 计算在扰动信号作用下的稳态误差essd 在输入信号和扰动信号同时作用下的总稳态误差ess ess=ess+essd=0.5+0.125=0.625