Ch5 一维随机变量

§1 一维随机变量及其分布函数

一、随机变量的引入 1. 为什么引入随机变量? 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念．

2. 随机变量的引入 实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色. U={红色、白色} 将 U 数量化 非数量 实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色. U={红色、白色} 将 U 数量化 非数量 可采用下列方法 红色 白色

即有 X (红色)=1 , X (白色)=0. 这样便将非数量的 U={红色，白色} 数量化了.

实例2 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有 U={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 恒等变换 且有

二、随机变量的概念 1.定义

2.说明 (1)随机变量与普通的函数不同 　　随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在基本空间上的 (基本空间的元素不一定是实数). (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 　　随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.

(3)随机变量与随机事件的关系 　　随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.

实例3 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 结果: 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有 即 X (e) 是一个随机变量.

实例4 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个基本事件: 若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有 可得随机变量 X(e),

实例5 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,则 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为: 实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:

实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:

实例8 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可 能取值为:

3.随机变量的分类 随机变量 离散型 连续型 (1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量. 实例1 (1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量. 实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.

实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是: 实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”, 则 X 的所有可能取值为:

(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量. 实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”. 则 X 的取值范围为 实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量 误差”. 则 X 的取值范围为 (a, b) .

三、分布函数的概念 1.概念的引入 对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 分布 函数

2.分布函数的定义 说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.

如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，上述性质是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件. 3. 分布函数的性质 即分布函数单调非减 即分布函数左连续 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，上述性质是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.

试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数. 例1. 设有函数 注意到函数 F(x)在 上下降， 解： 不满足性质20，故F(x)不能是分布函数。 或者： 不满足性质30，故F(x)不能是r.v 的分布函数.

例2. 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数. 解： （1） 若 x 0, 则 是不可能事件，于是 X （2）

（3） 若 , 则 是必然事件，于是

重要公式

§2 离散型随机变量

一、离散型随机变量的分布律 定义 说明

离散型随机变量的分布密度也可表示为

例1 解 则有

二、常见离散型随机变量的概率分布 1.两点分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布密度为

实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况. 随机变量 X 服从 (0—1) 分布. 其分布律为

实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定 取得不合格品, 取得合格品. 则随机变量 X 服从(0 —1)分布.

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布. 说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布. 两点分布随机数演示

2.等可能分布 如果随机变量 X 的分布律为 实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X, 则有 均匀分布随机数演示

§3 二项分布 泊松分布

一、二项分布 且两两互不相容.

称这样的分布为二项分布.记为 二项分布 两点分布

二项分布的图形 二项分布随机数演示

例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0. 6 ,则击中目标的次数 X 服从 b (5,0 二项分布随机数演示

例2 分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.

解

图示概率分布

例3 解 因此

有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少? 例4 设 1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 解 故所求概率为 二项分布 泊松分布

二、泊松分布 泊松资料

泊松分布的图形 泊松分布随机数演示

泊松分布的背景及应用 　　二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他 们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.

在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.

地震 火山爆发 特大洪水 商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数

上面我们提到 二项分布 泊松分布 单击图形播放/暂停　ESC键退出

例4 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少? 设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 解 所求概率为 可利用泊松定理计算

合理配备维修工人问题 例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01? 解 所需解决的问题 使得

由泊松定理得 故有 即 个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01. 故至少需配备8

伯努利资料 Jacob Bernoulli Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland

泊松资料 Siméon Poisson Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France