1．2　充分条件与必要条件

1.2.1　充分条件与必要条件 1.2.2　充要条件

1.结合具体例子，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． 2.会判断证明充要条件.

1.判断充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 2.判断“若p，则q”是否成立时，相关知识点的应用．(难点) 3.证明充要条件和求充要条件．(难点)

1．开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能根据下列各图所示．判断p是q的什么条件吗？

2．今天下雨了，而小明没带伞，可以推知小明可能淋雨了．若我们把它改写成命题的形式就是：今天下雨了，若小明没带伞，则小明可能淋雨了．可见如果该命题为真，那么命题的条件可以推出命题的结论是真的，这种命题的条件和结论之间具备某种关系，这是什么关系呢？

1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p则q”是真命题 “若p则q”是假命题 推出关系 条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 p⇒q 充分 充分 必要 必要

2.充要条件 (1)如果既有 ，又有 ，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称 条件． (2)概括地说：如果 ，那么p与q互为充要条件． (3)充要条件的证明：证明充要条件应从两个方面证明，一是 ，二是 ． p⇒q q⇒p 充要 p⇔q 充分性 必要性

1．对任意实数a，b，c，下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充分条件；②“a＋1是无理数”是“a是无理数”的必要条件；③“a<5”是“a<3”的必要条件． 其中真命题的个数是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．0

解析：　命题①，a＝b⇒ac＝bc.故a＝b是ac＝bc的充分条件；命题②，a是无理数⇒a＋1是无理数．故a＋1是无理数是a是无理数的必要条件；命题③，a<3⇒a<5.故a<5是a<3的必要条件． 答案：　C

2．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5 ”的(　　) B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：　①x＝4，a＝(x,3)⇒|a|＝5. ②a＝(x,3)，|a|＝5⇒x＝±4. ∴x＝4是|a|＝5的充分不必要条件． 答案：　A

3．从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中，选出恰当的一种填空： (1)“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的________； (2)“sin α>sin β”是“α>β”的________； (3)“M>N”是“log2M>log2N”的________； (4)“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________．

解析：　(1)当a＝0时，函数f(x)＝x2＋ax(x∈R) 则f(－x)＝(－x)2＋a(－x)＝x2－ax＝f(x)＝x2＋ax，则2ax＝0(x∈R)，解得a＝0，综上知“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的充要条件． (2)由正弦函数的图象可知 sin α>sin β⇒/ α>β，α>β⇒/ sin α>sin β. ∴sin α>sin β是α>β的既不充分也不必要条件．

答案：　(1)充要条件　(2)既不充分又不必要条件 (3)必要不充分条件　(4)充分不必要条件

(2011·湖南高考)“x＞1”是“|x|＞1”的(　　) A．充分不必要条件　　　　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

解析：　当x>1时，|x|>1，即x>1⇒|x|>1， 所以“x>1”是“|x|>1”的充分条件，排除B，D； 当|x|>1时，则x>1或x<－1，所以不一定会有x<－1， 即|x|>1⇒/ x>1， 所以“x>1”不是“|x|>1”的必要条件，故选A. 答案：　A

对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是(　　) ①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件； ②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件； ③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件； ④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件． A．①④ B．①②③ C．①②③④ D．①②④

[解题过程]　 题号 判断 原因分析 ① √ Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c有零点 ② Δ＝b2－4ac＝0，方程ax2＋bx＋c＝0有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点；但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，有可能Δ>0 ③ × 函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac>0，也可能有Δ＝0. ④ Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点.

答案：　D [题后感悟]　处理充分条件、必要条件问题时，首先要分清条件和结论，然后才能进行推理和判断； 用定义判断充分条件和必要条件的方法(定义法)：

在下列各项中选择一项填空： A．充分不必要条件　　　　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (1)p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x<2，p是q的________； (2)p：－1≤x≤6，q：|x－2|<3，p是q的________； (3)p：x2－x－6＝0，q：x＝－2或x＝3，p是q的________； (4)p：x≠2或y≠3；q：x＋y≠5，则p是q的________．

[策略点睛]　

答案：　(1)A　(2)B　(3)C　(4)B [题后感悟]　处理充分条件、必要条件问题可以利用集合间的包含关系进行判断(集合法)： 集合关系与充分、必要条件：集合A，B分别是使命题p，q为真命题的对象所组成的集合.

2.“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：　由于“x>0”⇒“x≠0”；反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．应选A. 答案：　A

[策略点睛]　

[题后感悟]　(1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，即p⇒q. (2)证明充要条件，即证明命题的原命题和逆命题都成立．证明充要性时一定要注意分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．

3.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. ∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0， 可得ax2＋bx－a－b＝0， 即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.

[题后感悟]　把p、q之间的充要关系转化为p、q确定的集合之间的包含关系是解决这类问题的关键．同时，注意命题等价性的应用，可简化解题过程．

4.若本例中的条件改为“p是q的必要不充分条件”其他不变，求m的范围？

【错解】　p是q的充要条件

【正解】　p是q的充分不必要条件.

练考题、验能力、轻巧夺冠