1．3.3　非(not)

1.通过数学实例了解逻辑联结词“非”的含义． 2.通过学习常用逻辑用语的基础知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用.

1.命题的否定．(重点) 2.命题的否定与否命题．(易混点)

非(not) (1)定义 一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作 ，读作“ ”或“ ”． (2)判断命题綈p的真假 若p是真命题，则綈p必是 ； 若p是假命题，则綈p必是 ． 非p p的否定 綈p 假命题 真命题

1．命题“p”与命题“非p”(　　) A．可能都是真命题　　　　 B．可能都是假命题 C．一真一假 D．只有p是真命题 答案：　C

2．若命题p：2m－1(m∈Z)是奇数，命题q：2n＋1(n∈Z)是偶数，则下列说法正确的是(　　) A．p∨q为真 B．p∧q为真 C．綈p为真 D．綈q为假 解析：　命题“p：2m－1(m∈Z)是奇数”是真命题，而命题“q：2n＋1(n∈Z)是偶数”是假命题， 所以p∨q为真． 答案：　A

3．命题p为：0是自然数，则綈p是________． 答案：　0不是自然数 4．写出下列各命题的“非p”形式，并判断其真假． (1)－5不是25的算术平方根； (2)y＝cos x是周期函数． 解析：　(1)“非p”形式是：－5是25的算术平方根．所以该命题的“非p”是假命题． (2)“非p”形式是：y＝cos x不是周期函数，从而原命题的否定是假命题．

写出下列各命题的非(否定)． (1)p：80既能被8整除，又能被5整除； (2)q：一元二次方程至多有两个解； (3)r：3≤x＜5； (4)s：5是合数或是素数．

注意判断词的否定及逻辑联结词的变换．

[解题过程]　(1)綈p：80不能被8整除或不能被5整除． (2)綈q：一元二次方程至少有三个解． (3)綈r：x<3或x≥5. (4)綈s：5不是合数且不是素数．

[题后感悟]　写出命题的非(否定)，需要对其正面叙述的词语进行否定，常用正面叙述词语及它的否定列举如下： 正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 p或q 否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 非p且非q 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个 p且q 否定 至少有两个 一个也没有 某个 某些 n＋1个 某两个 非p或非q

1.写出下列命题“綈p”形式的命题． (1)若xy＝0，则x＝0或y＝0； (2)△ABC是等腰直角三角形； (3)若x2－x－2≠0，则x≠1且x≠2； (4)矩形的对角线相等且互相平分．

解析：　(1)若xy＝0，则x≠0且y≠0； (2)△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形； (3)若x2－x－2≠0，则x＝1或x＝2； (4)矩形的对角线不相等或不互相平分．

(2011·北京高考)若p是真命题，q是假命题，则(　　) A．p∧q是真命题　　　　　　　 B．p∨q是假命题 C．¬p是真命题 D．¬q是真命题 解析：　q是假命题，故¬q是真命题，故选D. 答案：　D

写出下列命题的否定，然后判断其真假． (1)p：方程x2－x＋1＝0有实根； (2)p：函数y＝tan x是周期函数； (3)p：∅⊆A； (4)p：不等式x2＋3x＋5<0解集是∅.

结合命题的否定的定义，对命题中的关键词进行否定．根据真值表判断真假．

[解题过程]　 题号 判断p的真假 綈p的形式 判断綈p的真假 (1) 假 方程x2－x＋1＝0无实数根 真 (2) 函数y＝tan x不是周期函数 (3) ∅ A (4) 不等式x2＋3x＋5<0解集不是∅

[题后感悟]　如何判断命题的否定的真假？ 命题和它的否定真假性相反，即p真，则綈p假；p假，则綈p真．

写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假． (1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数； (2)若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为零．

本题主要考查命题的否定与否命题的区别，分清命题的条件和结论是解题关键，并要注意命题的特征．

[解题过程]　命题的否定是： (1)若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题； (2)若abc＝0，则a、b、c全不为零，为假命题． 原命题的否命题是： (1)若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题； (2)若abc≠0，则a、b、c全不为零，为真命题．

[题后感悟]　原命题“若p，则q”，则其否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”，并且注意否定量词的使用．

3.写出下列命题的否定形式和否命题，并判断真假． (1)a，b为整数，若a＋b 为偶数，则a，b都是偶数； (2)a，b，c是实数，当a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0时，a＝b＝c.

命题的否命题： (1)a，b为整数，若a＋b不为偶数，则a，b不都是偶数．真命题． (2)a、b、c为实数，当a2＋b2＋c2－ab－bc－ac≠0时，a、b、c不全相等．真命题．

1．命题“p∧q”与“p∨q”的否定 根据“且”“或”的含义，“p∧q”的否定为“(綈p)∨(綈q)”， “p∨q”的否定为“(綈p)∧(綈q)”．

2．正确认识命题的否定与否命题的关系 命题的否定形式与否命题是两个不同的概念，只有弄清它们之间的区别与联系才不会出错． 区别： (1)概念：命题的否定形式是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定后组成的命题． (2)构成：对于“若p，则q”形式的命题，其命题否定为“若p，则綈q”，也就是不改变条件，只否定结论；而其否命题则为“若綈p，则綈q”．

(3)真值：命题的否定真值与原来的命题相反；而否命题的真值与原命题无关． 联系：它们在否定过程中，对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的(如“至多有一个”的否定形式为“至少有两个”)．

◎已知命题p：关于x的不等式ax2＋2x＋3≥0的解集为R，如果綈p是真命题，求实数a的取值范围．

【错因】　p为假命题时，不等式ax2＋2x＋3≥0的解集应该不是R，而不应该判断为空集．綈p是真命题，则p为假命题．可按p为真命题时，求出a的范围，再求其在R中的补集，即为所求．

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