函數與極限 函數 函數的圖形 函數的極限 連續函數 在無窮大處的極限 無窮極限 經濟學上的函數 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

函數的概念 探討自然現象與社會現象等各種問題的過程中，通常需先將實際的問題轉換數學模式，再以數學方法來求其解。而在上述解題的「轉換」過程中，函數 (function)扮演著主要的角色。 函數可用來描述問題中各變量間的關係。產品的銷售量與價格、計程車的車資與里程、信件的重量與郵資、圓的半徑與面積等皆是。描述變量與變量間的對應關係，就是函數的概念。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

函數的範例 圓的半徑與面積: 當圓的半徑為 x 時，此圓的面積為 p x2 。式子 說明了兩個變量 x 與 y 之間的對應關係 此種對應可圖示如下： 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

函數的定義 定義1-1：設 A 與 B 為兩個非空的集合。如果 A 內的每一個元素，在 B 內都恰有一個對應的元素，那麼這種對應法則，就稱為從 A 映至 B 的一個函數。集合 A 稱為函數的定義域(domain)，B 稱為函數的對應域(codomain)。 定義域 對應域 y = f(x) A B 應變數 (dependent variable) 自變數 (independent variable) 值域：所有函數值 f(x) 所成的集合，叫做函數 f 的值域(range)。即 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

函數的範例 以表格表示函數關係： 以式子表示函數關係： 式子不一定表示函數關係 式子 y2 = x2 + 5 並不定義一個函數。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求定義域與值域 試求下列各函數的定義域與值域： 解： 1. 定義域 = R，值域 = 。 2. 定義域 = ，值域 = R 。 3. 定義域 = ，值域 = 。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

多項式函數(Polynomial Function) 若 a0，a1，...，an 為實數，n 為非負整數，則下面這種形式的函數稱為多項式函數或簡稱為多 項式： 多項式函數的定義域為 R。a0，a1，...，an 稱為此多項式函數的係數(coefficient) 。 若 an≠0 ，則稱 an 為 P(x) 的首項係數(leading coefficient)，且稱 P 為 n 次多項式 (polynomial of degree n)。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

多項式函數 常數函數(constant function) f(x) = a，a≠0 ，為零次多項式。而常數函數 f(x) = 0 為零多項式函數，其次數沒有定義。 一次多項式亦稱為線性函數 (linear function)，其形式為 P(x) = ax + b，a≠0。 二次多項式亦稱為二次函數 (quadratic function)，其形式為 P(x) = ax2 + bx + c，a≠0。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

有理函數、 冪函數 若 p(x) 與 q(x) 都是多項式函數，則函數 稱為有理函數 (rational function) 。有理函數的定義為 。每一多項式函數都是有理 函數。 若 k 是不為0的常數，r 為任一實數，則函數 f(x) = kxr 稱為冪函數 (power function)。冪函數的定義域依 r 的值而定。例如 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

絕對值函數 、 高斯函數 函數 稱為絕對值函數(absolute value function)，其定義域為 R。 對於任意實數 x，我們以[ x ]表示小於或等於 x 的最大整數。例如 [ 2.3 ] = 2，[-p] = - 4， [ 5 ] = 5 等。函數 f(x) = [ x ] 稱為高斯函數(Gauss function)或最大整數函數(greatest integer function)，其定義域為 R。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

分段定義函數 求分段定義函數 (piecewise-defined function) 在 t = -2，t = 0 與 t = ½ 的值。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

函數的四則運算 定義1-2: 設 f 與 g 為二個函數，則其和 f + g，差 f - g ，積 f ．g 與商 f / g 分別定義如下: 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

函數的四則運算及其定義域 設 ，g(x) = 2x + 1。求 f + g，f - g， f ．g 與商 f / g 諸函數在 x = 2 之值。並求出各函數的定義域。 解: 因 ， 故得 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

合成函數(Composition Function) 定義1-3:設 f 與 g 為兩個函數，則 f 與 g 的合成函數，以 f。g 表示，定義為 其定義域為 g 定義域中那些滿足「g(x) 在 f 的定義域」的所有元素 x 所成的集合。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

設 f(x) = (x – 1)2，g(x) = 3x+1。求下列各合成函數 求合成函數: 設 f(x) = (x – 1)2，g(x) = 3x+1。求下列各合成函數 (1) f。g (2) g。f (3) f。f (4) g。g 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

合成函數不一定有定義 設函數 ， 。試問合成函數 g。f 是否有定義？ 解: 對任意實數 x 而言，f(x) = -(x2 + 1) < 0，而函數 g 的定義域為 所以 f(x) 並不在 g 的定義域內，故 g(f(x)) 沒有定義，亦即函數 g。f 不存在。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求合成函數的定義域 設 ， 。求合成函數 f。g的定義域。 解: 因此，當 時， f。g 才有定義，也就是說 f。g 的定義域為 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

分解合成函數 事實上，很多函數都是由簡單的函數「合成」的。 將函數 h(x) = (x2 + 1)10 + 3 表示成兩個函數的合成函數。 解: 函數 h(x) 可看成是一個表示式的10次方加上3。因此，若令 f(x) = (x2 + 1) ，g(x) = x10 + 3，則得 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

函數的圖形 定義1-4: 設有一函數 f(x)，其定義域為 A，則在坐標平面上，由所有數對 (x, f(x)) 所成的集合，其中 ，稱為函數 f(x) 的圖形，亦即 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

步驟1: 在函數 f 的定義域中選取一些點 x，並計算函數 f在這些點的值 f(x) 。 畫出函數圖的三個步驟: 步驟1: 在函數 f 的定義域中選取一些點 x，並計算函數 f在這些點的值 f(x) 。 步驟2: 在坐標平面上標出這些點 (x, f(x)) 。 步驟3: 將步驟2所標出的點用平滑曲線連接起來。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

畫多項式函數的圖形 描繪函數 f(x) = x3 的圖形。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

畫有理函數的圖形 描繪函數 的圖形。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

畫分段定義函數的圖形 描繪函數 的圖形。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

垂直線檢驗法 判斷平面上的圖形是否為函數圖形的方法，稱之為垂直線檢驗法 (vertical-line test)。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

經濟學上的函數 本節將介紹經濟學上三個重要的函數： 成本函數 (cost function) 收入函數 (revenue function) 利潤函數 (profit function)。 此外也要介紹供給(supply) 和需求(demand) 的概念。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

設 x 表示所生產或所銷售的單位產品的數量，則定義 C(x) = 生產 x 個單位產品的總成本 R(x) = 銷售 x 個單位產品的總收入 P(x) = 生產且銷售 x 個單位產品的總利潤 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求利潤 設每分鐘生產 x 支原子筆的成本(單位：元)為 且設每支的售價為6元。 求利潤函數。 生產且銷售10支原子筆的利潤為多少？ 生產且銷售2支原子筆的利潤為多少？ 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求利潤 求利潤函數。 生產且銷售10支原子筆的利潤為多少？ 生產且銷售2支原子筆的利潤為多少？ 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

損益均衡 當 P(x) = 0 時，公司損益均衡。使得 R(x) = C(x) 的 x值稱為損益均衡量 (break-even quantity)。y = R(x) 和 y = C(x) 之圖形的交點稱為損益均衡點 (break-even point)。參見下圖。圖中，灰色區域為「利潤」，紫色區域為「損失」。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

圖 1-6 圖 1-8 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求損益均衡點 假設某製造項鍊的公司，每天生產 x 條項鍊的成本為 C(x) = 5x2 + 40x + 600元。若銷售 x 條項鍊的收入為 R(x) = 400x - 25x2元。求損益均衡點。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

需求函數 需求函數 (demand function)是用來描述產品的價格 p 和在該價格下所能銷售的數量(或顧客的需求量)，x 間的關係函數，以 x = D(p) 表示。在自由市場裏，價格的改變會影響銷售量(比如說，價格愈高，銷售量就愈少)；可售量的改變也會影響價格(一般而言，物品愈缺乏，價格就變得愈高)。 下圖為一般的需求曲線 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求需求量和需求函數的定義域 假設某廠牌足球的需求函數為 x = D(p) = -30p+8100其中 p 的單位為元，D(p) 表示在價格 p 時所能銷售的足球數。 當價格為200元時，需求量為多少？ 當價格上漲2元時，對需求量有何影響？ 求函數 D(p) 的定義域。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

解: 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

供給函數 供給函數 (supply function)是用來描述產品的價格 p 和在該銷售價格下生產者所願意生產之量(或銷售者所能供給之量)，x 間的關係函數；以 x = S(p) 表示。在自由市場裏，價格的改變會影響生產量。通常是：當價格較高時，生產量會增加，當價格較低時，生產量會減少。 下圖為一般的供給曲線 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

由供給函數求供給量 設某產品每週的生產量與價格(單位：元)間的關係為 x = S(p) = 50p-150 (1) 求價格為4元時，其生產量為多少？ (2) 當價格低於何種程度時，生產者將不願再生產該項產品？ 解: 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

平衡價格 當價格上揚時，生產量(或供給量)增加，需求量減少，當價格下跌時，生產量減少，需求量增加。此二曲線的交點 (pe, xe) 稱為平衡點 (equilibrium point)，對應於此點的價格 pe 稱為平衡價格 (equilibrium price)。 在此平衡價格時， 消費者願意購買之量和生產者願意生產之量相等，此量即為 xe，稱之為平衡量 (equilibrium quantity)。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

平衡價格 當價格低於平衡價格時，需求量大於生產量，因此，在市場上產生短缺的現象。而當價格高於平衡價格時，生產量大於需求量，因而會產生剩餘的現象。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求平衡價格、平衡量與平衡點 設某產品的需求函數和供給函數分別為：x = D(p) = 590 - 5p，x = S(p) = p2 + 3p - 70 。 (1)求平衡價格　(2)求平衡量　(3)求平衡點 解: 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

函數的極限 微積分的學習是從極限開始的。極限將用來定義微積分的兩個基本工具--導數和積分。 極限是用來描述當自變數 x 趨近於某一定數 a 時，函數 f(x) 的變化情形。它和 f(a) 是不一樣的，因為 f(a) 是 x = a 時的函數值。 考慮如下的函數： 。想要知道當 x 趨近1時，函數 f(x) 的變化情形。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

函數的極限 定義1-5: 當 x 的值愈來愈靠近(但不等於) a ，函數值 f(x) 也跟著愈來愈靠近 L，我們就說：當 x 趨近 a 時，f(x) 的極限為 L (簡稱：f(x)在點 a 的極限為 L)，以符號 表示之。如果當 x 趨近 a 時，函數值 f(x) 不趨近一定數，那麼，我們就說：當 x 趨近 a 時，f(x) 的極限不存在。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求極限 求 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

由函數圖形求極限 根據下圖的函數圖形，求下列各極限。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

三個極限均為 L 的函數 極限乃在描述函數在某一特定點「附近」的變化情形，故與函數在該特定點是否有定義無關。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求極限 設 ，求 。 設 ，求 。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

極限定理 定理1-1: 假設 與 均存在 常數的極限為該常數：對任意常數 c， 。 函數 h(x) = x 在 a 點的極限為 a，即 。 定理1-1: 假設 與 均存在 常數的極限為該常數：對任意常數 c， 。 函數 h(x) = x 在 a 點的極限為 a，即 。 和的極限為極限的和： 差的極限為極限的差： 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

積的極限為極限的積： 商的極限為極限的商： 乘冪的極限為極限的乘冪： 根的極限為極限的根： 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求極限 利用定理求極限 求下列各極限： 定理1-1不適用的例子 設 f(x) = x - 4， ，則 f(x)g(x) = 1，故得 ，但 是不存在的，換句話說，即 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求極限 直接代入求極限 求下列各極限： 化簡後再直接代入求極限 設 ，a = 求 。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

左極限、右極限 定義1-6: 當 x 從 a 的左邊(即 x < a )愈來愈靠近(但不等於) a 時，若函數值 f(x) 也跟著愈來愈靠近 L，我們就說：當 x 趨近 a 時，f(x) 的左極限為 L (簡稱 f(x) 在點 a 的左極限為 L)。以符號 表示之。(left-hand limit) 定義1-7: 當 x 從 a 的右邊(即 x > a )愈來愈靠近(但不等於) a 時，若函數值 f(x) 也跟著愈來愈靠近 L，我們就說：當 x 趨近 a 時，f(x) 的右極限為 L (簡稱 f(x) 在點 a 的右極限為 L)。以符號 表示之。(right-hand limit) 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求單側極限 求下列各單側極限: 根據下圖，求下列各單側極限: 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求分段定義函數的單側極限 設 ，求 與 。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

討論極限是否存在 當 f(x) 在點 a 的極限為 L 時，f(x) 在點 a 的左極限和右極限必定都存在，且都等於 L。反之，若 f(x) 在點 a 的左極限和右極限都存在且都等於 L 時， f(x) 在點 a 的極限也必定存在且等於 L。我們以符號表示如下： 討論當 x 趨近 0 時， 函數 的變化情形。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

連續函數 連續函數(continuous function)是我們最常見到的函數。事實上，很多自然界的現象都可以利用連續函數來描述。例如，運動中的物體，必定會經過運動路線上的每一點。 我們說某一現象是「連續」時，意思是說該現象在進行過程中，不會發生中斷的情形。在數學上，連續的意思與此很類似。 所謂函數 f(x) 在點 x = c 連續 (f(x) is continuous at x = c)，乃是指 f 的圖形在通過點 (c, f(c)) 時，沒有發生斷裂的 情形。 要瞭解 f 的圖形在點 (c, f(c)) 處是否發生斷裂，自然要探討「當 x 很接近 c 時， f(x) 是否很接近 f(c) 」。換句話說，要瞭解 f 在點 c 是否連續，就要探討極限 是否等於 f(c) 。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

連續函數 定義1-8: 若函數 f(x) 滿足下述三條件，則稱函數 f(x) 在點 x = c 連續(continuous at x = c)： (1) f(c) 有定義。 (2) 存在。 (3) 。 若上述三條件中，有一個或一個以上不滿足時，則稱 f(x) 在點 x = c 不連續(discontinuous at x = c)。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

從圖形中求不連續點 下圖中的三個函數在點 c 均不連續，說明其理由。 解: (1) f(c) 沒有定義。 (2) 不存在 (因左極限和右極限不相等)。 (3) 雖存在但不等於 f (c)，即 。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

單側連續 如果函數 f(x) 在某區間(或定義域)內的每一點都連續，我們說 f(x) 在該區間是連續的，或 f(x) 是(該區間上的)一個連續函數。如果區間的端點也在定義域內時，對於這種端點的連續性，我們只考慮單側連續 (one-sided continuity)。 以區間 [a, b] 為例說明如下：對端點 a，考慮在點 a 的右極限，若 ，則稱 f(x) 在點 x = a ，右連續(continuous from the right at x = a)。同樣地，若 ，則稱 f(x) 在點 x = b, 左連續(continuous from the left at x = b )。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

連續函數的範例 常數函數 f(x) = k 圖形為(水平的)直線，所以 f(x) = k 在區間(-∞, ∞) 上為連續函數。 恆等函數(identity function)，f(x) = x 的圖形為一直線，所以 f(x) = x 為連續函數。 因為 ，所以 在區間[0, ∞)上為連續函數。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

連續性定理 函數的連續性不會因為四則運算而有所改變，下面的定理說明這種情形。 定理1-2:若函數 f(x) 與 g(x) 在點 c 都連續，則我們有下列結果： (1) f(x) + g(x) ， f(x) - g(x) 與 f(x)g(x) 在點 c 都連續。 (2) 若 g(x)≠0，則 在點 c 連續。 (3) 在點 c 連續，其中 n 為大於 1 的正整數。若 n 為偶數，則尚需假設 f(x)  0。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

多項式函數與有理函數的連續性 定理1-3: (1)多項式函數在每一點都是連續的。也就是說，多項式函數在區間(-∞, ∞)上為連續函數。 (2)有理函數在分母不等於 0 的每一點都連續。 檢驗連續性:討論下列各函數是否連續。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

合成函數的連續性: g(x) = x3 + 1 與 h(x) = x2 + 4 都是(-∞, ∞)上的連續函數。很明顯的，其合成函數 (g。h)(x) = (x2 +4)3 +1 與 (h。g)(x) = (x3 +1)2 +4 也都是(-∞, ∞)上的連續函數。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

檢驗連續性 討論下述函數在點 x = 2 是否連續。 高斯函數的連續性:討論高斯函數 y = [x] 在各個點的連續性。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

在無窮大處的極限 有些時候我們要考慮當 |x| 無止境地增加(也就是說，當 |x| 變得很大時)，函數 f(x) 的變化情形。此種情形的極限，稱之為在無窮大處的極限 (limit at infinity)，分別以 與 表示之。符號 x →∞，讀作「當 x 趨近無窮大時」。同樣，x →-∞讀作「當 x 趨近負無窮大時」。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

在無窮大處的極限 考慮函數 ，從下表可以看出當 x 變得愈大時，愈接近 0。 上述的情形，我們就說當 x 趨近無窮大時， 的極限為 0，寫成 。當然， 的值永遠不會等於 0。極限僅在描述當 x 無止境地增加時， 的狀況。也就是說，它所描述的是當 x 趨近無窮大時， 的趨勢是朝向 0。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

在無窮大處的極限定理 定理1-4: 設 t 為一正有理數。若 x t 有定義，則 其中 c 為一常數。 求在無窮大處的極限 求下列各極限。 求有理函數的極限 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

漸近線 極限所描述的是當 x 趨近無窮大時，函數值 是趨近於 0 的。從右圖可以看出當 x 趨近無窮大時，其函數圖形是非常的趨近直線 y = 0。這種情形，我們說 x 軸是函數 圖形的漸近線 (asymptote)。 定義1-9:若 或 ，則我們說直線 y = L 為 y = f(x) 函數圖形的水平漸近線。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求水平漸近線 求下列各函數圖形的水平漸近線。 解: (1)因 所以， 為函數圖形的水平漸近線。 (2)因 所以， 為函數圖形的水平漸近線。 (2)因 所以，y = 0 為函數圖形的水平漸近線。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

無窮極限 考慮 。當 x 趨近 a ,時，函數值 f(x) 可能會無止境地增加(也就是說，變成無窮大)。這種情形極限 是不存在。但因函數值是無止境地增加，所以將這種情形寫成 若函數 f(x) 在 x 趨近於 a 時 f(x) 變成負無窮大，寫成 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

無窮極限 下圖表示當 x 從 a 的單側趨近 a 時，函數值無止境的情形。 綜上所述，我們有如下類型的極限，稱之為無窮極限。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

無窮極限定理 定理1-5: (1)若 n 為正整數且為偶數，則 (2)若 n 為正整數且為奇數，則 由定理求無窮極限: 求下列各極限。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

垂直漸近線 由圖形求無窮極限: 由函數 的圖形，得 由函數 的圖形，得 我們發現當現當 x 從( 2 的)右側趨近2 時，函數值是趨近無窮大的，而且其圖形是愈來愈逼近直線 x = 2。 定義1-10:如果 (或-∞)，或 (或-∞)，那麼我們說直線 x = a 是函數 f(x) 圖形的垂直漸近線。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

有理函數的垂直漸近線 垂直漸近線是很容易求得的。因為垂直漸近線只有在分母表示式是 0 的地方才有可能發生。換句話說，欲求垂直漸近線，首先求出使得分母為 0 的 x 值，再檢查其極限是否為無窮大或負無窮大。 定理1-6: 設 ，其中 P 和 Q 是多項式函數。若 Q(a) = 0 且 P(a) ≠ 0，則直線 x = a 是函數 f 圖形的垂直漸近線。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

求漸近線 求函數 圖形的漸近線。 解:因 所以 y = 1 為其圖形的水平漸近線。又 求函數 圖形的漸近線。 解:因 所以 y = 1 為其圖形的水平漸近線。又 所以由定理1-6，得 x = 1 與 x = 3皆為其圖形的兩條垂直漸近線。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限

有理函數在無窮大處的極限性質 定理1-7: 設 ，其中 P 和 Q 是多項式函數。若 P(x) 的次數大於 Q(x) 的次數，則 求極限: 根據定理 1-6 和定理 1-7，我們得知多項式函數的圖形既沒有水平漸近線，也沒有垂直漸近線。 商用微績分 Chapter 1 函數與極限