◆ 第7節 氣體動力論 一、氣體動力論 二、氣體動力論與氣體壓力 三、氣體分子的平均動能與溫度 四、單原子理想氣體的總動能與內能 五、方均根速率 六、理想氣體的混合 七、熱力學第一定律 範例 1 範例 2 範例 3 範例 4 範例 5 範例 6 範例 7 範例 8 範例 9 範例10 1

一、氣體動力論 1.氣體動力論(kinetic theory of gas)所做的，就是從微觀的原子出發，配合我們所熟悉的牛頓力學，來解釋壓力、溫度、熱量等巨觀量。如此一來，由於用牛頓力學就可以推導出熱學的定律，所以在邏輯上，熱學變成是力學的一個分支，這是物理很重要的一個進展。

2.空氣是由許多很小的、不停運動的粒子所組成，這些粒子可以是原子或分子（這裡統稱分子），它們會不斷撞擊器壁而產生壓力，如右圖所示。

二、氣體動力論與氣體壓力 為了簡化分析，在這裡我們假設氣體為理想氣體，並以微觀的角度來解釋壓力。考慮一個正方形的密閉容器，邊長為 l，體積V＝l3，容器內裝有N個質量m而不停地進行無規運動的理想氣體分子，如下頁圖(b)所示。我們先分析單一分子的運動，計算它對右側器壁所造成的壓力。設氣體中有某一分子以v的速度撞向器壁，其速度可分解成vx、vy、vz三個分量。當一個分子撞擊器壁中的yz平面時，由於器壁的表面光滑及碰撞為完全彈性碰撞，故其vy及vz分量不變，但vx在碰撞後即變成－ vx ，如下頁圖(c)所示。

1.一個分子與器壁每碰撞 一次其動量變化為 2.一個氣體分子連續碰撞yz 面兩次所需的時間為 6

3.故yz面施於一個分子之平均作用力為 而一個分子作用於yz面之平均作用力為 7

4.設容器中有 N 個分子，各分子在 x 方向的速度為 vx1、vx2、vx3…..vxN，則施予yz面的總力即為 5.故每單位面積所受 N 個分子之力（即壓力）為

6.因第 i 個分子的速度平方值 故所有分子速度平方的平均值為 9

7.由於分子的數目 N 極大，且屬於自由運動，所以分 子之運動並不偏於某一方向，故 v 指向各方向的機 會均等，即 10

◎碰撞頻率

三、氣體分子的平均動能與溫度 上述兩個公式若所使用的單位相同，則兩式應是相等的

1.上式即為一個氣體分子的質心平均動能的公式，此式在物理學的重要意義為： (1)在熱力平衡狀態下，一個氣體分子的質心平均動能與絕對溫度成正比，即溫度為氣體分子質心平均動能的量度。 講義第45頁 (2)即使是分子量不同的理想氣體，只要溫度相同，每個氣體分子的質心平均動能均相同。

2. 式中 ，稱為波茲曼常數，是一個分子的氣體常數。 a理想氣體方程式可改寫為 講義第45頁

四、單原子理想氣體的總動能與內能 2.氣體內部全體分子的 與分子間的 的總和，稱為氣體的內能，此項能量不包含原子內與原子核內的能量。 動能 2.氣體內部全體分子的 與分子間的 的總和，稱為氣體的內能，此項能量不包含原子內與原子核內的能量。 動能 位能

3.若我們僅考慮單原子理想氣體，因理想氣體分子間沒有作用力存在，無分子間位能，故單原子分子理想氣體的內能即為其總動能 16

五、方均根速率 上式中，m為一個分子的質量；M為1莫耳分子的質量（數值等於分子量）；N0為亞佛加厥常數，另外，我們定義 ，稱為方均根速率(root-mean-square-speed，即先平方、再平均、再開根號)。

（注意：上式中，m的單位為 ，M的單位為 ）。 公斤 18

某系統有5個質點，速率分別為1公尺/秒、2公尺/秒、3公尺/秒、4公尺/秒、5公尺/秒，則其方均根速率

星際間之氫氣溫度為3K，則氫原子在此溫度下的方均根速率

◎氣體巨觀物理量與微觀物理量的比較 巨觀 微觀 兩者 關係 使用時機 描述以「莫耳」為單位的氣體行為時 描述以「分子」為單位的氣體行為時 理想氣體方程式 PV = nRT PV = NkT 氣體數目 n （莫耳） N （分子數）

巨觀 微觀 兩者 關係 理想氣體常數 質量 方均根 速率 M （分子量） m （一個分子的質量）

巨觀 微觀 兩者 關係 氣體的質心平均動能 氣體的總動能

1 質心動能 已知太陽的表面溫度為6000K，則 (1)接近太陽表面的氫分子之質心平均動能約為 莫 耳。 範例1 已知太陽的表面溫度為6000K，則 (1)接近太陽表面的氫分子之質心平均動能約為 莫 耳。 (2)設鄰近太陽表面的壓力為2.50×10－3大氣壓，則太陽 表面處的氫氣之分子密度為 個/公尺3。

解

2 氣體質心動能的應用 範例2 在地球表面，若空氣平均一個分子的重量為5.0×10－25牛頓，地球的半徑為6.4×106公尺，則空氣分子要逃離地球表面時，地球表面的溫度至少應為 【72日大】

解

3 氣體分子的總動能 (1)當溫度為300K時，在一靜止的容器內有2.00莫耳 的氦氣，其氣體分子的總動能約為 焦耳。 範例3 (1)當溫度為300K時，在一靜止的容器內有2.00莫耳 的氦氣，其氣體分子的總動能約為 焦耳。 (2)有一密閉容器內裝有氦氣的理想氣體，其壓力為 5.00大氣壓、體積為2.00公升、溫度為300K，則 容器內氣體總動能約為 焦耳。

解

4 方均根速率 範例4 一圓形氦氣球，直徑1公尺、溫度27℃、壓力為一大氣壓。若有一氦分子以方均根速率橫過此氣球直徑，所需的時間約為 秒。【81日大】

解

5 密度與方均根速率 範例5 某理想氣體壓力為P，絕對溫度為T，密度為ρ，則該氣體分子的方均根速率為 。 解

六、理想氣體的混合 1. 不起化學反應的理想氣體混合時，遵 守 與 守恆。 莫耳數（分子數） 能量 守 　與　 　守恆。 莫耳數（分子數） 能量 2.設兩氣體混合前、後的條件如下圖所示，則混合後：

6 氣體的混合--莫耳數 範例6 兩同體積之氣室以一體積可以忽略之細管相連通，兩氣室內含有一大氣壓，27℃之氦氣。若將其中一氣室加溫至127℃，另一氣室降溫至－73℃，則氣室中氦氣之最終壓力為 大氣壓。【88日大】

1.設兩室的體積均為V，原來各有n莫耳的氣體，溫度變化且平衡後，兩室的壓力相等，設皆為P。兩室所含氣體的莫耳數不同，設各為n1、n2，如上圖所示。

解

7 氣體的混合--溫度 範例7 兩個絕熱容器內裝有相同的理想氣體，壓力相等，其中一個容器的體積為V，溫度為150K，另一個容器的體積為2V，溫度為450K。若使這兩個容器互相連通，則熱平衡時氣體的溫度為　(A)200K　(B)270K　(C)300K　(D)350K　(E)375K。【82日大】

解

8 氣體的混合--壓力 範例8 在室溫時，甲容器體積為V，內有氦氣，壓力為 2P，乙容器體積為 ，內有氦氣，壓力為P。把乙容器之氦氣全部加到甲容器內，若氦氣可視為理想氣體，並假設溫度不變，則甲容器內之氦氣壓力變為 P 的 倍。【83日大】

解

9 氣體的混合--速率 範例9 溫度各為 T1 K、T2 K 和T3 K的同種單原子理想氣體，其分子方均根速率分別為v1 、v2和v3 。設氣體分子的質量為m，今從三種溫度的氣體中各取相同的分子數 N 加以混合，當溫度達到平衡時，分子方均根速率等於 。

解 設平衡時的方均根速率為v，由能量守恆可得

七、熱力學第一定律 1.熱力學第一定律 若自外界輸入ΔQ的熱能到系統中，此熱能一部分使系統對外作功ΔW，剩下的部分則儲存於系統內部，使得系統的內能增加ΔU，這就是熱力學第一定律。其數學表示法為 。

2.定壓加熱過程（僅討論單原子理想氣體） (1)如右圖所示，在體積為 V 的絕熱系統中，裝有 壓力為 P、溫度為 T 的 n 莫耳的單原子理想氣 體。若自外界輸入ΔQ 的熱能到系統中，使氣 體溫度升高ΔT，同時氣 體對截面積為 A 的自由 活塞作功，使其右移Δ 的距離（氣體體積增加 ΔV）。 49

(2)若膨脹過程中，氣體作功ΔW，活塞內外的壓力均保持定值P 50

51

3.定容加熱過程 如果系統自外界吸收了ΔQ 的熱能，但系統的 體積卻沒有變化，即ΔV＝0，則氣體作功 ΔW＝ 。 53

◎ P-V 圖面積的意義 如圖所示，P-V 圖線與V 軸所圍成的面積 ＝氣體對外所作的功ΔW。

10 熱力學第一定律 範例10 依照氣體動力論，在絕對溫度為 T 時，理想氣體分子的平均移動動能為 kT，k為波茲曼常數。設絕對溫度為 T 時，在裝有活塞的密閉氣室內，有 N 個某種單原子的理想氣體分子，加熱使氣溫增加ΔT，而維持氣室內氣壓不變，則下列敘述哪一項正確？　(A)所加的熱能大於 kNΔT　(B)所加的熱能等於 kNΔT 　(C)所加的熱能小於 kNΔT　(D)所加的熱能等於 kNT。【97學測】

解

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