第八章 函数 主要内容 函数的定义与性质 函数定义 函数性质 函数运算 函数的逆 函数的合成 双射函数与集合的基数

8.1 函数的定义与性质 主要内容 函数定义与相关概念 函数定义 函数相等 从A到B的函数f:AB BA 函数的像与完全原像 函数的性质 单射、满射、双射函数的定义与实例 构造双射函数 某些重要的函数

函数定义 定义8.1 设 F 为二元关系, 若x∈domF 都存在唯一的 y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值. 例 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}  F2={<x1,y1>,<x1,y2>} F1是函数, F2不是函数   定义8.2 设F, G 为函数, 则  F=G  FG∧GF 如果两个函数F 和 G 相等, 一定满足下面两个条件： (1) domF=domG (2) x∈domF=domG 都有F(x)=G(x) 函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1不相等, 因为 domFdomG.

从A到B的函数 定义8.3 设A, B为集合, 如果 f 为函数, domf=A, ranfB, 则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B. 例 f：N→N, f(x)=2x 是从N到N的函数, g：N→N, g(x)=2 也是从N到N的函数. 定义8.4 所有从A到B的函数的集合记作BA, 符号化表示为  BA = { f | f：A→B } |A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm A=, 则BA=B={} A≠且B=, 则BA=A= 

实例 例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中  f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}

函数的像和完全原像 定义8.5 设函数 f：A→B, A1A, B1B (1) A1在 f 下的像 f(A1) = { f(x) | x∈A1}, 函数的像 f(A) (2) B1在 f 下的完全原像 f 1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1} 注意： 函数值与像的区别：函数值 f(x)∈B, 像f(A1)B 一般说来 f 1(f(A1))≠A1, 但是A1f 1(f(A1)) 例 设 f：N→N, 且 令A={0,1}, B={2}, 那么有 f(A) = f( {0,1}) = { f(0), f(1)}={0,2} f 1(B) = f 1({2})={1,4}

函数的性质 定义8.6 设 f：A→B, (1) 若 ranf=B, 则称 f:A→B是满射的 (2) 若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A 使得 f(x)=y, 则称 f:A→B 是单射的 (3) 若 f:A→B 既是满射又是单射的, 则称 f:A→B是双射的 例2 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么? (1) f:R→R, f(x) = x2+2x1 (2) f:Z+→R, f(x) = lnx, Z+为正整数集 (3) f:R→Z, f(x) = x (4) f:R→R, f(x)=2x+1 (5) f:R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集. 

例题解答 解 (1) f:R→R, f(x)=x2+2x1 在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的 (2) f:Z+→R, f(x)=lnx 是单调上升的, 是单射的. 但不满射, ranf={ln1, ln2, …}. (3) f:R→Z, f(x)= x 是满射的, 但不是单射的, 例如f(1.5)=f(1.2)=1 (4) f:R→R, f(x)=2x+1 是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R (5) f:R+→R+, f(x)=(x2+1)/x 有极小值 f(1)=2. 该函数既不是单射的也不是满射的

实例 例3 对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B (1) A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} (3) A=Z, B=N (4) , B=[1,1]

解答 (1) A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. B={f0, f1, … , f7}, 其中 f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>}, f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>}, f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.  令 f:A→B, f()=f0, f({1})=f1, f({2})=f2, f({3})=f3, f({1,2})=f4, f({1,3})=f5, f({2,3})=f6, f({1,2,3})=f7

解答 (2) 令 f:[0,1]→[1/4,1/2], f(x)=(x+1)/4 (3) 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z： 011 2 23 3 …      ↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ N： 0 1 2 3 4 5 6 … 这种对应所表示的函数是： (4) 令 f:[π/2,3π/2]→[1,1]  f(x) = sinx

某些重要函数 定义8.7 (1)设 f:A→B, 如果存在c∈B使得对所有的 x∈A都有 f(x)=c, 则称 f:A→B是常函数. (2) 称 A上的恒等关系IA为A上的恒等函数, 对所有的x∈A都 有IA(x)=x. (3) 设<A, ≼>, <B, ≼>为偏序集，f:A→B，如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1)≼ f(x2), 则称 f 为单调递增的；如 果对任意的x1, x2∈A, x1≺x2, 就有f(x1) ≺f(x2), 则称 f 为严 格单调递增的. 类似的也可以定义单调递减和严格单调递 减的函数

某些重要函数 (4) 设A为集合, 对于任意的A'A, A'的特征函数 A ' :A→{0,1}定义为 A'(a)=1, a∈A' A'(a)=0, a∈AA' (5) 设R是A上的等价关系, 令  g:A→A/R  g(a)=[a], a∈A 称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射

实例 例4 (1) 偏序集<P({a,b}),R>, <{0,1},≤>, R为包含关系, ≤为 一般的小于等于关系, 令 f:P({a,b})→{0,1}, f()=f({a})=f({b})=0, f({a,b})=1, f 是单调递增的, 但不是严格单调递增的 (2) A的每一个子集 A’都对应于一个特征函数, 不同的子集对 应于不同的特征函数. 例如A={a,b,c}, 则有 ={<a,0>,<b,0>,<c,0>}，{a,b}={<a,1>,<b,1>,<c,0>} (3) 不同的等价关系确定不同的自然映射, 恒等关系确定的自然映射是双射, 其他自然映射一般来说只是满射. 例如 A={1,2,3}, R={<1,2>,<2,1>}∪IA g: A→A/R, g(1)=g(2)={1,2}, g(3)={3}

8.2 函数的复合与反函数 主要内容 复合函数基本定理 函数的复合运算与函数性质 反函数的存在条件 反函数的性质

复合函数基本定理 定理8.1 设F, G是函数, 则FG也是函数, 且满足 (1) dom(FG)={x|x∈domF∧F(x)∈domG} (2) x∈dom(FG)有FG(x)=G(F(x)) 证 先证明FG是函数. 因为F, G是关系, 所以FG也是关系. 若对某个x∈dom(FG)有 xF  Gy1和 xFGy2, 则 <x, y1>∈FG∧<x, y2>∈FG t1(<x,t1>∈F∧<t1,y1>∈G)∧t2(<x,t2>∈F∧<t2,y2>∈G) t1t2(t1=t2∧<t1,y1>∈G∧<t2,y2>∈G （F为函数） y1=y2   （G为函数） 所以 FG 为函数

证明 任取x,   x∈dom(FG)    t y(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)    t (x∈domF∧t=F(x)∧t∈domG)    x∈{ x | x∈domF∧F(x)∈domG } 任取x,   x∈domF∧F(x)∈domG   <x,F(x)>∈F∧<F(x),G(F(x))>∈G   <x,G(F(x))>∈FG   x∈dom(FG)∧FG(x)＝G(F(x)) 所以(1) 和(2) 得证

推论 推论1 设F, G, H为函数, 则(FG)H和F(GH)都是函数, 且  (FG)H=F(GH) 证 由上述定理和运算满足结合律得证. 推论2 设 f:A→B, g:B→C, 则 fg:A→C, 且x∈A都有 fg(x)=g(f(x)) 证 由上述定理知 fg是函数, 且 dom(fg)={x|x∈domf∧f(x)∈domg}  ={x|x∈A∧f(x)∈B}=A ran(fg) rang  C 因此 fg:A→C, 且x∈A有 fg(x)=g(f(x))

函数复合与函数性质 定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的

证明 (2) 假设存在x1, x2∈A使得  f g(x1)=f g(x2) 由合成定理有 g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的. 定理8.3 设 f:AB, 则 f = f IB = IAf （证明略）

实例 考虑集合A={a1,a2,a3}, B={b1,b2,b3,b4}, C={c1,c2,c3}. 令  f={<a1,b1>,<a2,b2>,<a3,b3>}  g={<b1,c1>,<b2,c2>,<b3,c3>,<b4,c3>}  f g={<a1,c1>,<a2,c2>,<a3,c3>} 那么 f:A→B和f  g:A→C是单射的, 但g:B→C不是单射的. 考虑集合A={a1,a2,a3}, B={b1,b2,b3}, C={c1,c2}. 令 f={<a1,b1>,<a2,b2>,<a3,b2>} g={<b1,c1>,<b2,c2>,<b3,c2>} f g={<a1,c1>,<a2,c2>,<a3,c2>} 那么g:B→C 和 f g:A→C是满射的, 但 f:A→B不是满射的.

反函数 反函数存在的条件 (1) 任给函数F, 它的逆F 1不一定是函数, 只是一个二元关系. (2) 任给单射函数 f:A→B, 则f 1是函数, 且是从ranf 到A的双 射函数, 但不一定是从B到A的双射函数 (3) 对于双射函数 f:A→B, f 1:B→A是从B到A的双射函数. 定理8.4 设 f:A→B是双射的, 则f 1:B→A也是双射的. 证明思路： 先证明 f 1:B→A，即f 1是函数，且domf 1=B, ranf 1=A. 再证明f 1:B→A的双射性质.

证明 证 因为 f 是函数, 所以 f 1是关系, 且 dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A 对于任意的 x∈B = dom f 1, 假设有y1, y2∈A使得 <x,y1>∈f 1∧<x,y2>∈f 1 成立, 则由逆的定义有 <y1,x>∈f∧<y2,x>∈f 根据 f 的单射性可得y1=y2, 从而证明了f 1是函数，且是满射的. 若存在x1, x2∈B使得f 1 (x1)= f 1 (x2)=y, 从而有  <x1,y>∈f 1∧<x2,y>∈f 1    <y,x1>∈f∧<y,x2>∈f  x1=x2 对于双射函数f:A→B, 称 f 1:B→A是它的反函数.

反函数的性质 定理8.5 (1) 设 f:A→B是双射的, 则 f 1f = IB, f f 1 = IA (2) 对于双射函数 f:A→A, 有 f 1 f = f  f 1 = IA 证明思路： 根据定理可知 f 1:B→A也是双射的, 由合成基本定理可知 f 1f:B→B, f  f 1:A→A，且它们都是恒等函数. 例5 设   求 f  g, g  f. 如果f 和 g 存在反函数, 求出它们的反函数.

求解 解  f:R→R不是双射的, 不存在反函数. g:R→R是双射的, 它的反函数是 g1:R→R, g1(x)=x2

8.3 双射函数与集合的基数 主要内容 集合的等势及其性质 重要的等势或不等势的结果 集合的优势及其性质 集合的基数 可数集

集合的等势 定义8.8 设A, B是集合, 如果存在着从A到B的双射函数, 就称 A和B是等势的, 记作A≈B. 如果A不与B 等势, 则记作A≉B. 集合等势的实例 例6 (1) Z≈N. 则 f 是Z到N的双射函数. 从而证明了Z≈N.

集合等势的实例: N×N≈N N×N≈N. N×N中所有的元素排成有序图形

集合等势的实例: N≈Q N≈Q. 双射函数 f:N→Q, 其中f(n)是[n]下方的有理数. [18] [5] [4] [0] [1] [10] [11] -3/1 -2/1 -1/1 0/1 1/1 2/1 3/1 … [17] [3] [2] [12] -3/2 -2/2 -1/2 0/2 1/2 2/2 3/2 … … [6] [7] [8] [9] … -3/3 -2/3 -1/3 0/3 1/3 2/3 3/3 … [16] [15] [14] [13] … -3/4 -2/4 -1/4 0/4 1/4 2/4 3/4 … … PLAY

实数集合的等势 (4) (0,1)≈R. 其中实数区间 (0,1)={x| x∈R∧0<x<1}. 令 (5) [0,1]≈(0,1). 其中(0,1)和[0,1]分别为实数开区间和闭区间. 令 f : [0,1](0,1) 对任何a, b∈R, a<b, [0,1]≈[a,b]，双射函数 f:[0,1]→[a,b], f(x)=(ba)x+a 类似地可以证明, 对任何a, b∈R, a<b, 有(0,1)≈(a,b).

实例 例7 设A为任意集合, 则P(A)≈{0,1}A. 证 如下构造从P(A) 到 {0,1}A 的函数  f:P(A)→{0,1}A, f(A')=A', A'∈P(A). 其中A‘是集合A’的特征函数. 易证 f 是单射的. 对于任意的 g∈{0,1}A, 那么有 g:A→{0,1}. 令 B={ x| x∈A∧g(x)=1} 则BA, 且B=g, 即B∈P(A), f(B)=g. 从而证明了f 是满射的. 由等势定义得 P(A)≈{0,1}A.

等势的性质 定理8.6 设A, B,C是任意集合， (1) A≈A (2) 若A≈B，则B≈A (3) 若A≈B，B≈C，则A≈C. 证明思路：利用等势的等义. (1) IA是从A到A的双射 (2) 若 f:AB是双射，则f 1:BA是从B到A的双射. (3) 若 f:AB，g:BC是双射，则fg:AC是从A到C的双射

有关势的重要结果 等势结果 N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N 任何实数区间都与实数集合R等势 不等势的结果: 定理8.7 (康托定理) (1) N ≉ R； (2) 对任意集合A都有A≉P(A) 证明思路： (1) 只需证明任何函数 f:N→[0,1]都不是满射的. 任取函数 f:N→[0,1], 列出 f 的所有函数值，然后构造一个[0,1]区间的小数b，使得b与所有的函数值都不相等. (2) 任取函数 f:AP(A)，构造BP(A)，使得B与 f 的任何函 数值都不等.

Cantor定理的证明 证 (1) 规定[0,1]中数的表示. 对任意的x∈[0,1], 令  x = 0. x1 x2 … , 0 ≤ xi ≤ 9 规定在 x 的表示式中不允许在某位后有无数个1的情况. 设 f: N→[0,1]是任何函数，列出 f 的所有函数值： f(0) = 0.a1(1)a2(1)… f(1) = 0.a1(2)a2(2)… … f(n1) = 0.a1(n)a2(n)… 令 y 的表示式为0.b1b2…, 并且满足bi ≠ ai(i), i=1,2,…, 那么 y[0,1], 且y与上面列出的任何函数值都不相等. 这就推出 yranf, 即 f 不是满射的.

Cantor定理的证明 (2) 我们将证明任何函数 g:A→P(A)都不是满射的. 设 g:A→P(A)是从A到P(A)的函数, 如下构造集合B：  B={x| x∈A∧xg(x)} 则B∈P(A), 但对任意x∈A都有 x∈B  xg(x) 从而证明了对任意的 x∈A都有 B≠g(x). 即Brang. 注意：根据Cantor定理可以知道N≉P(N)，N≉{0,1}N.

集合的优势 定义8.9 (1) 设A, B是集合, 如果存在从A到B的单射函数, 就 称B优势于A, 记作A≼B. 如果B不是优势于A, 则记作A⋠B. (2) 设A, B是集合, 若A≼B 且 AB, 则称 B 真优势于A, 记作 A≺B. 如果 B 不是真优势于A, 则记作A⊀B. 实例 N≼N, N≼R, A≼P(A), R⋠N N≺R, A≺P(A), 但N⊀N 定理8.8 设 A, B, C是任意的集合, 则 (1) A≼A (2) 若A≼B且B≼A, 则A≈B (3) 若A≼B且B≼C, 则A≼C

应用：证明等势 例8 证明 {0,1}N≈[0,1). 证 设x[0,1), 0. x1x2… 是 x 的二进制表示. 规定表示式中不 允许出现连续无数个1. 对于x，如下定义 f:[0,1)→{0,1}N, f(x) = tx, 且 tx:N→{0,1}, tx(n) = xn+1, n = 0,1,2,… 例如 x = 0.1 0 1 1 0 1 0 0…, 则对应于x 的函数 tx是： n  0 1 2 3 4 5 6 7… tx(n) 1 0 1 1 0 1 0 0… tx∈{0,1}N, 且对于x,y∈[0,1), x≠y, 必有tx≠ty, 即 f(x)≠f(y). 这就证明了f:[0,1)→{0,1}N是单射的.

构造另一个单射 考虑 t∈{0,1}N, 其中 t(0)=0, t(n)=1, n=1, 2, …. 按照 f 的定义, 只有 x = 0.011… 才能满足 f(x)=t. 但根据规定, 这个数 x 记为0.100…, 所以根本不存在 x∈[0,1), 满足 f(x)=t. 定义函数 g:{0,1}N→[0,1). g的映射法则恰好与 f 相反. 即t∈{0,1}N, t：N→{0,1}, g(t)=0. x1x2…, 其中xn+1=t(n). 将0. x1x2… 看作数 x 的十进制表示. 这样就避免了形如 0.0111…和0.1000….在二进制表示中对应了同一个数的情 况，从而保证了g的单射性. 根据定理有{0,1}N≈[0,1). 再使用等势的传递性得{0,1}N≈R.

自然数的集合定义 定义8.10 设a为集合, 称a∪{a}为a的后继, 记作a+, 即 a+=a∪{a}. 如下定义自然数： 0= 1=0+=+ = {}={0} 2=1+= {}+ = {}{{}}={,{}}={0,1} 3=2+={,{}}+= {,{},{,{}}}= {0,1,2} … n={0, 1, …, n1} … 自然数的相等与大小，即对任何自然数 n和m，有 m=n  mn ， m<n  mn

有穷集和无穷集 定义8.11 (1) 一个集合是有穷的当且仅当它与某个自然数等势； (2) 如果一个集合不是有穷的, 就称作无穷集. 实例： (1) {a,b,c}是有穷集, 因为3={0,1,2}, 且  {a,b,c}≈{0,1,2}=3 (2) N和R都是无穷集, 因为没有自然数与N和R等势 利用自然数的性质可以证明：任何有穷集只与惟一的自然数 等势.

集合基数的定义 定义8.12 (1) 对于有穷集合A, 称与A等势的那个惟一的自然数为A的基数, 记作cardA (也可以记作|A|) cardA = n  A ≈ n (2) 自然数集合N的基数记作0, 即  cardN =0 (3) 实数集R的基数记作, 即  cardR =

基数的相等和大小 定义8.13 设A, B为集合, 则 (1) cardA=cardB  A≈B (3) cardA<cardB  cardA≤cardB∧cardA≠cardB 根据上一节关于势的讨论不难得到： card Z = card Q = card N×N =0 card P(N) = card 2N = card [a,b] = card (c,d) = 0< card A<card P(A) 其中2N = {0,1}N

基数的大小 不存在最大的基数. 将已知的基数按从小到大的顺序排列就 得到： 0, 1, 2, …, n, …, 0, , … 其中： 0, , … 是无穷基数, 0是最小的无穷基数, 后面还 有更大的基数, 如cardP(R)等.

可数集 定义8.14 设A为集合, 若cardA≤0, 则称A为可数集或可列集. 实例： {a,b,c}, 5, 整数集Z, 有理数集Q, N×N等都是可数集, 实数集 R不是可数集, 与R等势的集合也不是可数集. 对于任何的可数集, 它的元素都可以排列成一个有序图形. 换 句话说, 都可以找到一个“数遍”集合中全体元素的顺序. 可数集的性质： 可数集的任何子集都是可数集. 两个可数集的并是可数集. 两个可数集的笛卡儿积是可数集. 可数个可数集的笛卡儿积仍是可数集. 无穷集A的幂集P(A)不是可数集

实例 例9 求下列集合的基数 (1) T={x | x是单词“BASEBALL”中的字母} 例9 求下列集合的基数 (1) T={x | x是单词“BASEBALL”中的字母} (2) B={x | x∈R∧x2=9∧2x=8} (3) C=P(A), A={1, 3, 7, 11} 解 (1) 由T={B, A, S, E, L}知 cardT=5 (2) 由B=, 可知 cardB=0. (3) 由|A|=4 可知 cardC=cardP(A)=|P(A)|=24=16.

实例 例10 设A, B为集合, 且 cardA=0, cardB=n, n是自然数, n≠0. 求card A×B. 解 方法一 构造双射函数 由cardA=0, cardB=n, 可知 A, B都是可数集. 令 A={a0,a1,a2,…}, B={b0,b1,b2,…,bn1} 对任意的<ai,bj>, <ak,bl>∈A×B有  <ai,bj>=<ak,bl>  i=k∧j=l 定义函数  f :A×B→N  f(<ai,bj>)=in+j, i=0,1,…, j=0,1,…,n1 易见f是A×B到N的双射函数, 所以  card A×B=card N = 0

实例 方法二 直接使用可数集的性质求解. 因为 card A=0, card B=n, 所以A, B都是可数集. 方法二 直接使用可数集的性质求解. 因为 card A=0, card B=n, 所以A, B都是可数集. 根据性质(3) 可知 A×B也是可数集, 所以 card A×B≤0 显然当 B≠时, card A card A×B, 这就推出 0 card A×B 综合上述得到 card A×B=0.

第八章 习题课 主要内容 函数，从A到B的函数 f:AB，BA，函数的像与完全原像 函数的性质：单射、满射、双射函数 重要函数：恒等函数、常函数、单调函数、集合的特征函 数、自然映射 集合等势的定义与性质 集合优势的定义与性质 重要的集合等势以及优势的结果 可数集与不可数集 集合基数的定义

基本要求 给定 f, A, B, 判别 f 是否为从A到B的函数 判别函数 f:AB的性质（单射、满射、双射） 熟练计算函数的值、像、复合以及反函数 证明函数 f:AB的性质（单射、满射、双射） 给定集合A, B，构造双射函数 f:AB 能够证明两个集合等势 能够证明一个集合优势于另一个集合 知道什么是可数集与不可数集 会求一个简单集合的基数

练习1 1．给定A, B 和 f, 判断是否构成函数 f:A→B. 如果是, 说明该 函数是否为单射、满射、双射的. 并根据要求进行计算. (4) A=B=R, f(x)=x3 (5) A=B=R+, f(x)=x/(x2+1). (6) A=B=R×R, f(<x,y>)=<x+y, xy>, 令 L={<x,y>|x,y∈R∧y=x+1}, 计算 f(L). (7) A=N×N, B=N, f(<x,y>)=|x2y2|. 计算f(N×{0}), f 1({0})

解答 (1) 能构成 f:A→B, f:A→B既不是单射也不是满射, 因为 f(3)=f(5)=9, 且7ranf. (2) 不构成 f:A→B, 因为 f 不是函数. <1,7>∈f 且<1,9>∈f, 与函 数定义矛盾 (3) 不构成 f:A→B, 因为dom f = {1,2,3,4} ≠ A (4) 能构成 f:A→B, 且 f:A→B是双射的 (5) 能构成 f:A→B, f:A→B既不是单射的也不是满射的. 因为该 函数在 x=1取极大值 f(1)=1/2. 函数不是单调的,且ranf≠R+. (6) 能构成 f:A→B, 且 f:A→B是双射的.  f(L) = {<2x+1,1>|x∈R}=R×{1} (7) 能构成 f:A→B, f:A→B既不是单射的也不是满射的. 因为 f(<1,1>)=f(<2,2>)=0, 2ranf.  f(N×{0}) = {n202|n∈N} = {n2|n∈N} f1({0}) = {<n,n>|n∈N 解

练习2 2. 设 f1, f2, f3, f4RR，且 令Ei 是由 fi 导出的等价关系，i=1,2,3,4，即 xEiy  fi(x)=fi(y) (1) 画出偏序集<{R/E1, R/E2, R/E3, R/E4},T>的哈斯图，其中T 是加细关系： <R/Ei, R/Ej>T  x(xR/Eiy(yR/Ej  xy)) (2) gi:RR/Ei 是自然映射，求gi(0), i=1,2,3,4. (3) 对每个i, 说明 gi 的性质（单射、满射、双射）.

解答 (1) 哈斯图如下 (2) g1(0) = {x | xRx0}, g2(0)={0}, g3(0)=Z, g4(0)=R (3) g1, g3, g4是满射的；g2是双射的. 图1

练习3 3．对于以下集合A和B，构造从A到B的双射函数 f:A→B (1) A={1,2,3}，B={a, b, c} (3) A={x| xZ∧x<0}，B=N (4) A=R，B=R+ 解 (1) f={<1,a>, <2,b>, <3,c>} (2) f:AB, f(x)=2x (3) f:AB, f(x)= x1 (4) f:AB, f(x)=ex

练习4 4.设 证明 f 既是满射的，也是单射的. 证 任取<u,v>RR，存在 使得 因此 f 是满射的 对于任意的 <x,y>, <u,v>RR, 有 因此 f 是单射的.

证明方法 1. 证明 f:AB是满射的方法: 任取 yB, 找到 x (即给出x的表示)或者证明存在xA，使得f(x)=y. f(x1)=f(x2)  …  x1=x2 推理前提 推理过程 推理结论 方法二 x1,x2A, x1x2  …  f(x1)f(x2) 3. 证明 f:AB不是满射的方法： 找到 yB, yranf 4. 证明 f:AB不是单射的方法：找到 x1,x2A, x1x2, 且 f(x1)=f(x2)

练习5 5. 设A, B为二集合, 证明：如果A≈B, 则P(A)≈P(B) 证 因为A≈B，存在双射函数 f:AB，反函数 f 1: BA 构造函数 g:P(A) P(B), g(T) = f(T)，TA （f(T)是T在函数 f 的像） 证明 g 的满射性. 对于任何S B, 存在 f 1(S) A, 且 g(f 1(S)) = f  f 1(S) = S 证明g的单射性. g(T1) = g(T2)  f(T1) = f(T2)  f 1(f(T1) = f 1(f(T2))  IA(T1) = IA(T2)  T1=T2 综合上述得到P(A)≈P(B).

证明集合A与B等势的方法 方法一：直接构造从A到B的双射, 即定义一个从A到B的函数 f:AB，证明 f 的满射性，证明 f 的单射性 方法二：利用定理8.8，构造两个单射 f:AB 和 g:BA. 即 定义函数 f 和 g ，证明 f 和 g 的单射性 方法三：利用等势的传递性 方法四：直接计算A与B的基数，得到card A=card B. 注意： 以上方法中最重要的是方法一. 证明集合A与自然数集合N等势的通常方法是：找到一个“数遍”A中元素的顺序.

练习6 6．已知A={n7|n∈N}, B={n109|n∈N}, 求下列各题： (1) Card A (2) Card B (3) card (AB) (4) card (AB) 解 (1) 构造双射函数 f:NA, f(n)=n7 , 因此 card A=0 (2) 构造双射函数 g:NA, g(n)=n109, 因此card B=0 (3) 可数集的并仍旧是可数集，因此card(AB) 0, 但是 card(AB)  card A=0, 从而得到 card(AB)= 0. (4) 因为7与109互素，card(AB)={n7109 | nN}， 与(1) 类似得到 card(AB)= 0

练习7 7. 已知cardA=0, 且cardB<cardA, 求card(AB) 解 由ABA 得到 card(AB)  cardA, 即 card(AB) 0 由 cardB<cardA 可知 B 为有穷集，即存在自然数n使得 cardB=n. 假设card(AB)< 0，那么存在自然数m，使得 card(AB)=m 从而得到 cardA = card((AB)B)  n+m， 与cardA=0矛盾. 因此， card(AB)= 0.