人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系

引例： 某信息中心接到位 于正东、正西、正 北方向三个观测点 的报告：正西、正 北两个观测点同时 听到一声巨响，正 东观测点听到巨响 的时间比它们晚4s. 已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.(假定声音传播的速度为340m/s,各观测点均在同一平面上.)

1 、坐标法——建立平面直角坐标系： 分析 响声位置P B A C l  建立直角坐标系,确定点P位置 |PB|=|PC| 点P在线段BC的垂直平分线上 |PA|-|PB|=4×340=1360<|AB| P在以点A,B为焦点的双曲线上 建立直角坐标系,确定点P位置

l 以信息中心为原点O,直线BA为x轴,建立直角坐标系. 使要求解的方程简单,并使用到的点尽量多地落到坐标轴上. l: y=－x ① C x y (1020,0) (-1020,0) (0,1020) l P l: y=－x　　　① a=680, c=1020 b2=c2-a2=5×3402 联解①②得 巨响在信息中心的西偏北45方向，距离680 m处

建立不同的直角坐标系解决这个问题,比较不同直角坐标系对解决这问题的过程. 例1 已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC，AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系. C A E B F 建立不同的直角坐标系解决这个问题,比较不同直角坐标系对解决这问题的过程.

建立直角坐标系时，首先要考虑坐标系的定位问题，图形中的垂直、对称、平行等条件，是定位时必须优先考虑的条件，因为这将有利于后面的计算． C A E B F y x C A E B F x y 建立直角坐标系时，首先要考虑坐标系的定位问题，图形中的垂直、对称、平行等条件，是定位时必须优先考虑的条件，因为这将有利于后面的计算． C A E B F y x

解 因此,BE与CF互相垂直 y 如图,以△ABC的顶点A为原点O边AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.由已知,点A,B,F的坐标分别为 x

2.平面直角坐标系中的伸缩变换 y=sinx y=sin2x 叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换 保持y不变,将x缩为原来的1/2 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标y不变,将横坐标x缩为原来1/2,得到点P(x,y) 叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换

y=sinx y=3sinx 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换 保持x不变,将y伸长为原来的3倍 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持横坐标x不变,将纵坐标y伸长为原来的3倍,得到点P(x,y) 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换

y=sinx y=3sin2x 保持y不变,将x缩为原来的1/2 保持x不变,将y伸长为原来的3倍

保持y不变,将x缩为原来的1/2 保持x不变,将y伸长为原来的3倍 P(x,y) P(x,y) 叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

例2 在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 后的图形. (1)2x+3y=0 (2)x2+y2=1

解 (1) 将*代入2x+3y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是 2x+3y=0 x+y=0 x y O x+y=0

(2) 将*代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形方程是 x y O

小结 平面直角坐标系的建立 平面直角坐标系中的伸缩变换

从这向北 2000米。 请问：去?? 中学怎么走？

方向 距离 从这向北走2000米！ 出发点 请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？ 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

二 、极坐标 1. 极坐标系： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 自极点0引一条射线Ox，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位(通常选弧度)及它的正方向（通常取逆时针方向）。 O X 这样就建立了一个极坐标系。

2. 极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M， 用  表示线段OM的长度，用  表示以OX为始边，以OM为终边的角xOM，  叫做点M的极径， 叫做点M的极角， 有序数对（，）就叫做M的极坐标。 M   X O

题组一：说出下图中各点的极坐标

特别规定： 当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。 想一想？ ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ 1.一个点对应着无数个的极坐标

3.点的极坐标的表达式的研究 X O M   如图：OM的长度为4， 请说出点M的极坐标的其他表达式。 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。 本题点M的极坐标统一表达式：

2.一个极坐标可以画出几个点 题组二：在极坐标系里描出下列各点

一个极坐标只能画出一个点 C A B O X D

原因在于：极角有无数个。 4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 [1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。 O X P M (ρ,θ)… [1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、都可以作为它的极坐标.

4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 [3] 如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π (或－π＜θ≤ π), [3] 如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π (或－π＜θ≤ π), 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.

1. 在极坐标系中，与点 (3, )重合的点是( ) A A.(3, ) B. (3, － ) C. (3, ) D. (3, － ) 1. 在极坐标系中，与点 (3, )重合的点是( ) A A.(3, ) B. (3, － ) C. (3, ) D. (3, － ) 2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( ) B A.(ρ,θ) B.(ρ, － θ) C.(ρ,θ＋π) D.(ρ,π－θ)

小结 [1]建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数种。是因为极角引起的。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ，2kπ+θ）

极坐标和直角坐标的互化 平面内的一个点的直角坐标是(1, ) 这个点如何用极坐标表示?

θ 点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ) 平面内的一个点的直角坐标是(1, ) 平面内的一个点的直角坐标是(1, ) 在直角坐标系中, 以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长度单位 O x y θ 点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)

1.极坐标与直角坐标的互化关系式: O x y 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ) θ x=ρcosθ, y=ρsinθ

2. 互化公式的三个前提条件： (1). 极点与直角坐标系的原点重合; (2). 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴 重合; (3). 两种坐标系的单位长度相同.

例1. 将点M的极坐标 化成直角坐标. 解: 所以, 点M的直角坐标为

已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。

例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标. 解: 因为点在第三象限, 所以 因此, 点M的极坐标为

练习: 已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.

极坐标方程的概念与 圆的极坐标方程

曲线的极坐标方程 定义： 如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系

探究 如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？ O x C(a,0) ＝2acos 

＝r ＝2rcos  ＝2rsin  求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为r； 圆心的极径与圆的半径相等 (5) 中心在Ｃ(0，０)，半径为ｒ 2+ 0 2 -2  0 cos( - ０)= r2

2、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互换 x=ρcosθ, y=ρsinθ

练习2 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和 ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少

练习3 曲线 关于极轴对称的曲线是： C

直线的极坐标方程

新课引入： 思考：在平面直角坐标系中 1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为 x=3 x=3 2、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_______ x=a 特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。

新课讲授 例1：求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。 o M x ﹚ 分析： 如图，所求的射线上任一点的极角都是 ，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为

思考： 1、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。 o M x 易得 2、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。 ﹚ o M x 和

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？ 为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。

[1]作射线OP，使XOP=  1、负极径的定义 说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？） 对于点M（-，）负极径时的规定： （，） P  [1]作射线OP，使XOP=  M O X [2]在OP的反向延长 线上取一点M，使OM=    （-，）

2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M（－3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4 [2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3 M O X

2、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。 或 ﹚ o M x

解：如图，设点 o x ﹚ A M 例题2:求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。 为直线L上除点A外的任意一点，连接OM 在 中有 即 可以验证，点A的坐标也满足上式。

求直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图； 2、设点 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 的方程， 并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。

﹚ o M x A 解：如图，设点 为直线 上A异于的点 连接OM， 在 中有 显然A点也满足上方程。 即 练习：设点A的极坐标为A ，直线 过点A且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 ﹚ o M x A 解：如图，设点 为直线 上A异于的点 连接OM， 在 中有 显然A点也满足上方程。 即

小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴 3、过某个定点，且与极轴成一定的角度

例题3设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 o x M P ﹚

解：如图，设点 点P外的任意一点，连接OM 为直线上除 o ﹚ 则 由点P的极 坐标知 设直线L与极轴交于点A。则 在 由正弦定理得 x M P ﹚ 则 由点P的极 坐标知 设直线L与极轴交于点A。则 在 由正弦定理得 显然点P的坐标也是它的解。

3、直线的直角坐标方程与极坐标方程的互换 x=ρcosθ, y=ρsinθ