4.1 带通信号的低通复包络 4.2 线性带通系统 4.3 非线性与时变系统 第四章 带通信号与系统的低通仿真模型 4.1 带通信号的低通复包络 4.2 线性带通系统 4.3 非线性与时变系统

如前章所述，要产生射频带通信号，需要大量的采样值。正因为如此，射频信号一般不用在波形级的仿真中。作为带通信号，射频信号的载波频率通常超过带宽B几个数量级。在仿真中使用带通信号的低通表示，通常会极大地加快仿真的运行，并能大大地降低对数据存储和信号处理的要求。在仿真中如何使用信号和系统的低通仿真模型将是本章的重点。

4.1 带通信号的低通复包络 4.1.1 复包络：时域 一般的带通信号可表示成： 这里 是信号的幅度，或者说是实包络， 是相位偏移， 4.1 带通信号的低通复包络 4.1.1 复包络：时域 一般的带通信号可表示成： (4－1) 这里 是信号的幅度，或者说是实包络， 是相位偏移， f0是载波频率， 是未调制裁波的瞬时相位。 根据欧拉公式，式(4－1)可以写成： (4－2) 即 (4－3)

复包络的实部和虚部分别代表 的同相分量和正交分量。 (4－4) 其中 就是实信号 的复包络。 式(4－4)是复包络的极坐标 形式或指数形式。 通常可用矩形波的形式来表示复包络，即： (4－5) 复包络的实部和虚部分别代表 的同相分量和正交分量。 运用欧拉公式，由式(4－4)得：

实际应用中所关心的A(t)和 是低通函数，其带宽远小于f0 ，所以 和 也是低通信号 (4－6) 因此 和 实际应用中所关心的A(t)和 是低通函数，其带宽远小于f0 ，所以 和 也是低通信号 根据复数的定义， 和 与 有如下的关系

这样，时域信号x(t)可以写成 也就是

4.1.2 复包络：频域 从式(4－3) 我们可以得到 (4－7) 乘以 得： (4－8) 或者 (4－9)

是一个低通信号(信号的频谱仅在f=0附近是非零的). 抽取其低通部分得到: 式(4－9) 的傅立叶变换为 因为 是一个低通信号(信号的频谱仅在f=0附近是非零的). (4－10)

从　　　　 得到 图(４－１)

如上图所示，X(f)在除了f=±f0附近之外的所有地方都为零，其中X+(f)表示X(f)的正频率部分， X-(f)表示X(f)的负频率部分。这一项 对 并不会产生影响。只有 对 起作用，并且 这等效于 可以用传递函数为H(f)=U(f+ f0)的滤波器来实现低通滤波器。因此，

4.1.3 从 推导出 显然有 用-f代替f得 因为 和 是实函数， 因此上式可写成： 取复共轭得： (4－11) (4－12) (4－13) 取复共轭得： (4－14)

推导出 由以上四个式子可得： (4－14) 图(４－2) 同相和正交分量的频谱

推导出 实带通信号x(t)的频谱X(f)关于f0不对称，因此，低通复包络 的抽样值取复数值。 的实部 和虚部 都具有B／2的带宽，它是实带通信号 带宽的一半。因此 和 必须以每秒大于2(B／2)＝B个样值的速率来采样，采样操作的结果是每秒至少能产生2B个采样。相反，如果X(f) 关于f0共轭对称， 就关于f=0共轭对称。这样， 就是实数，而且不用再对正交部分取样了。

4.1.4　能量与功率 从线性系统理论可知，帕塞瓦尔定理告诉我们傅利叶变换能保持功率和能量不变。但复包络的能量(或功率)与其相应的带通信号的能量(或功率)并不相同。 由式(4－7)可得 (4－14) 的瞬时功率。由上式可得： 为

进行乘法得： 又 (4－15) 由定义，实带通信号　　的平均功率（也称实功率）是 (4－16)

因此，信号的复包络功率是对应的实带通信号功率的两倍。 低通复包络　　的功率（也称复功率）是 (4－17) 将式(4－16)和式(4－17)代入式(4－15) 得 (4－18) 因此，信号的复包络功率是对应的实带通信号功率的两倍。

4.1.5　随机带通信号的正交模型 通过使用傅里叶变换，信号的领域表示说明了信号具有确定的能量。带通随机信号也有对应的同相和正交分量的低通表达式。 例如，考虑用下式定义的一个窄带随机过程 这里 为均匀分布在[- ， ] 之间的任意相位。上式又可以写成： 或者等效地写为

假定已知n(t)的功率谱密度(PSD)，问题是如何确定nd(t)、nq(t)和 的功率谱密度。 在直角坐标系下 实包络R(t)是 和 假定已知n(t)的功率谱密度(PSD)，问题是如何确定nd(t)、nq(t)和 的功率谱密度。

性质： (均值) 由于n(t)是一个带通过程，则它是零均值的。从而nd(t)和nq(t) 也都是零均值的。因此：

(nd(t)和nq(t)的功率谱密度) nd(t)和nq(t)的功率谱密度相等且由n(t)的功率谱密度 确定。 是 nd(t)和nq(t)的功率谱密度。

（互功率谱密度) nd(t)和nq(t)的互功率谱密度。 （nd(t)和nq(t)的互相关） 我们再一次运用维纳-辛钦定理 来定义 对于一个带宽受限的过程， 是不相关的。但是，在 时可能是相关的。 nd(t)和nq(t)

（1）复包络 的均值 性质： （2）复包络 的方差

这说明了，带通信号的低通复包络表示具有的功率是对应的实带通信号功率的两倍。 （3）复包络 的功率谱密度 这说明了，带通信号的低通复包络表示具有的功率是对应的实带通信号功率的两倍。 nd(t)和nq(t)的功率谱密度相等。

4.1.6　信噪比 从基本的通信原理可知，接收机输入端的信噪比(SNR)通常是决定系统性能的主要因素。在接收机输入端，信号和噪声都是带通的。假定信号和噪声都是加性的， 于是接收机输入信号为： x(t)为信号，n(t)表示噪声。 信噪比可定义为：

4.1.6 信噪比 这里 和 分别指实带通信号和相应的低通 复包络的信噪比。 4.1.6　信噪比 这里 和 分别指实带通信号和相应的低通 复包络的信噪比。 作为标准的仿真方法，可将带通信号(信号和噪声)表示为相应的低通等效信号，且能保持信噪比不变。

4.2 线性带通系统 我们下面的讨论重点从信号转向系统。基本的问题是，在假定系统的输入及系统单位冲激响应都表示为低通复包络形式的带通信号这个前提下，如何确定线性系统在时域中的输入输出响应曲线。所得结果将为我们提供一种基于低通模型进行线性系统波形级仿真的方法论。 4.2.1 线性时不变系统 线性时不变系统对于给定输入x（t），则可用卷积 计算输出y（t） 其中h(t)是系统的单位冲激响应。

由定义，线性时不变系统输入的复包络 及输出的 复包络 ，可定义为 由定义，线性时不变系统输入的复包络 及输出的 复包络 ，可定义为 如果我们要求 和 之间的关系满足

带通系统的单位冲激响应h(t)和其对应的复包 络必须满足关系： 乘以系数2后的结果是单位增益的带通滤波器跟单位低通滤波器的复包络相对应。倍数2导致了单位增益带通滤波器到单位增益低通滤波器的转换，从而倍数2保持了滤波器的带通增益不变。理想带通滤波器的传递函数表示为 这里的 和 分别为带通滤波器传递函数的正频率部分和负频率部分。

用f+f0代替f，则有 很明显 是低通因数，并将其定义为 。因此有 也可以写成 很明显 是低通因数，并将其定义为 。因此有 也可以写成 可见，单位增益带通滤波器映射到了单位增益低通滤波器，因为通过简单的频移就可以从带通滤波器的传递函数的正频率部分得到 ，而且不会牵涉幅度的缩放。

可以看出，给定带通输入信号和网络的单位冲激响应， 在时域上有两种方法可以用于计算线性 时不变系统的输出，两种方法如下图所示： 带通信号的低通复包络表示和线性带通系统低通等效表示的比较 那么，用低通复包络表示带通信号，可得 而用低通等效表示线性带通系统，可得 除系数2外，这两个等式是等效的。 可以看出，给定带通输入信号和网络的单位冲激响应， 在时域上有两种方法可以用于计算线性 时不变系统的输出，两种方法如下图所示：

实卷积 用带通信号进行系统分析 确定 复包络 复数 卷积 用复包络信号进行系统分祈

由于和的卷积是卷积的和(又是线性运算)，我们有 因此，线性系统输出的同相分量为 而线性系统输出的正交分量由下式给出

正如两个复数的乘积等效于四个实数的乘积，两个复函数的卷积等效于四个实函数的卷积。用于推导线性带通系统同相分量和正交分量的运算，由如下图所示的运算定义。 线性带通系统的模型

4.2.2从H(f) 推导出hd(t)和hq(t) 为了仿真一个含有带通部分(如带通滤波器)的系统，我们通常知道传递函数H(f) 。要为基于H(f)的复包络的滤波器建立仿真模型，必须由带通 滤波器的传递函数H(f)确定hd(t)和hq(t) 。可用两个基本的方法求解hd(t)和hq(t)。 第一个方法：从H(f) Hd(f)和Hq(f) 对Hd(f)和Hq(f)作逆变换来 hd(t)和hq(t) 。 第二个方法：从H(f) hd(t)和hq(t)

无论用哪种方法由H(f)来确定hd(t)和hq(t) ，首先都要确定 。根据定义有 作傅里叶反变换得 在式(4-126)中-f代替f得 由于hd(t)和hq(t)都是时间的实函数。基本的博里叶变换理论告诉我们Hd(-f)是Hd(f)的复共轭，Hq(-f) 是Hq(f)的复共轭。因此，式(4-128)可以写为

注意到 和 不是复共轭对，这是因为 通常不是时间的实函数。取式(4-29)的复共扼得 将式(4-126)和式(4-130)相加得 将式(4-126)和式(4-130)相减得

分别对Hd(f)和Hq(f)进行傅里叶反变换可得hd(t)和hq(t) 。如果 ，从而 和hq(t)均为零，则称H(f)关于f0共轭对称。 在感兴趣的许多实际场合，可以选择f0使得对所有的t有 。在这种情况下， hq(t)往往可以忽略，因而冲激响应的复包络可近似成一个实函数而不会导致明显的精度损失。因为略去hq(t)可将滤波运算的运算负荷减半。从基本的傅里叶变换理论可知，如

关于 关于f=0共轭对称(偶幅度谱和奇相位谱)，则 是实函数。如果带通滤波器的传递函数H(f)关于f0共轭对称，就会出现这种情况。如果滤波器的带宽相对于滤波器的中心频率较小， 大部分的滤波器设计很近似地具有这个特性。正交分量可看成是H(f)关于f0非共轭对称的一个量度。

4.3 多载波信号 考虑M个信号的频分复用(FDM)的情况 其中ai(t)和 分别表示第i 个载波上的幅度和相位调制，fi是第i 个载波的频率。因为ai(t)是实数，我们可以将上式写成 定义

得出 我们可以定义y(t)的复包络为 其中f0暂时保持为可任选。根据这种定义，y(t)可以写成

因此，y(t)的复包络为 从而，FDM信号的同相分量和正交分量分别为

4.3 非线性与时变系统 全章的重点是定常(时不变)线性系统。实际中感兴趣的许多系统包含时变成分，如无线信道，或非线性成分，如工作在饱和点附近的大功率放大器。使用传统的数学工具设计和分析这些非线性的，或者是时变的，或者既是非线性的又是时变的系统，往往是非常困难的甚至是不可能的。因此，经常用仿真作为这些系统的设计和分析工具。

4.3.1 非线性系统 对于非线性系统没有定义传递函数这一基本概念。尽管可以测量非线性系统的冲激响应。但通常并没有通过卷积将系统的输入和输出关联起来。我们所熟悉的卷积积分基于叠加的概念，而对非线性系统叠加不再成立。当然肯定可以建立非线性系统的仿真模型，只不过它们通常是建立在对物理系统进行测量的基础上。有时可以通过分析来建立非线性系统的仿真模型，但是这些方法通常是专用的而且很难推广。多解调器都是基于非线性运算的。例如，包络和平方律解调器都是非相关的非线性解调器的实例。

4.3.2 时变系统 与非线性系统不同，若系统是线性时变的，则本章所介绍的许多工具即可用于分析和系统建模。原因在于，只要系统是线性的，就能够用卷积在时域上将系统的输入和输出联系起 来，用传递函数在频域上将系统的输入和输出联系起来，可以为线性时变系统定义系统冲激响应和系统传递函数。然而，要对付系统的时变特性．时变系统的冲激响应和传递函数都需 要对时不变系统的对应定义进行修改。

如果一个线性系统是时变的，那么系统的输入x(t) 和输出y(t)通过复包络的卷积联系起来： 其中 是系统的时变冲激响应。冲激响应 定义为在时刻t 测量到的系统对此前 秒在其输入端所加冲激信号的响应。换句话说，也就是在 时刻将冲激脉冲加到系统输入端，而在t 时刻测量响应，“滞后”了时间 。