第 8 章 旋轉平衡與旋轉動力學

本章大綱 8.1 力矩 8.2 力矩及平衡的兩個條件 8.3 重心 8.4 物體處於平衡的例子 8.5 力矩與角加速度間的關係 8.6 轉動動能 8.7 角動量 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

8.1 力矩 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

力與力矩 力使物體產生加速度。 力矩使物體產生角加速度。 力與力矩之間有相互的關聯性。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

力矩 一門的鉸鏈接於 O 點處，此門可繞著軸自由轉動。 當施一力於門上，有三個因素會影響到此力的開門效率，即 力的大小 (magnitude) 力的作用位置 (position) 作用角度 (angle) Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

力矩 (續) Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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力矩的方向 力矩是向量 當物體受外力作用朝逆時針方向旋轉時，則作用於此物的力矩為正。 物體朝順時針方向旋轉，則作用於物體上的力矩為負。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

多力矩作用 一旦有兩個或以上的力矩作用於一靜止物體上時，則力矩相加。 若淨力矩不為0，則物體開始轉動；若淨力矩為0，則物體的轉動速率不變。 只有在淨力矩不為零時，物體的轉動速率才會改變。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.1　旋轉門的戰鬥 有兩個人要通過同一個旋轉門，如圖8.3所示。站在旋轉門左邊的女子在垂直於門的方向距輪軸1.20 m 處施一 625 N 的力，而右邊的男子則距輪軸 0.800 m 處施一 8.50 × 102 N 的力，求作用於旋轉門的淨力矩。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.1　旋轉門的戰鬥(續) 解 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

力矩的一般定義 作用力通常不會與位置向量垂直。 只有與位置向量垂直的分力，才會使物體轉動。 若作用力與位置向量平行時，不會使物體產生轉動。 當力與位置向量夾一角度時，只有垂直於位置向量的分力才會造成物體的轉動。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

力矩的一般定義 (續) Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

力臂 力臂 d 為轉軸到作用力延長線間的垂直距離。 d = r sin q Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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右手定則 先將力與位置向量調整到二者的出發點(箭尾)重合，然後把右手的四指沿位置向量的方向伸直。 順手腕將四指轉向力的方向。 大拇指的指向即為力矩的方向。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.2　迴轉門 (a) 有一人以 60.0° 角施一力 F = 3.00 × 102 N 於距門鉸鏈 2.00 m 處，見圖8.7a，其中旋轉軸的位置取在鉸鏈，求施於門的力矩；(b) 假設門的另一面，距鉸鏈處卡上一個楔，則楔最少要施多少力，此門始無法被打開？ Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.2 迴轉門(續) 解 (a) 計算由於以所施之力產生的力矩。 (b) 計算楔作用在門的另一端所施之力。 例題8.2　迴轉門(續) 解 (a) 計算由於以所施之力產生的力矩。 (b) 計算楔作用在門的另一端所施之力。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

8.2 力矩及平衡的 兩個條件 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

淨力矩(合力矩) 淨力矩為作用於同一物體上各個力對同一轉軸所產生力矩的向量和。 在求淨力的過程中，請記得各力所產生的轉動效果(力矩的方向)必須加以考慮。 使物體逆時針轉動的力矩為正。 使物體順時針轉動的力矩為負。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

力矩與平衡 平衡的第一個條件：物體所受淨力須為零。 在確保物體是處於力學平衡條件下，這是一個必要但非充分條件。 以上的條件為物體移動方面的平衡條件。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

力矩與平衡 (續) 為了確保處於力學平衡的狀況，我們必須同時對轉動平衡與移動平衡兩條件加以兼顧。 平衡的第二個條件：淨外力矩(外力矩的向量和)須為零。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

轉動軸 若一物處於平衡狀態，這時不論將轉軸選在何處，所求出的淨力矩都會相同(為零)。 轉動軸的位置可以任意選。 通常題目會建議選擇一較為方便的位置來當作轉軸。 解題時，必須先對轉軸加以標定。 一旦轉軸選定後，在整個解題過程中，都一直要以這個軸來處理轉動的問題。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.3　平衡作用 一女人質量 m = 55.0 kg，坐在翹翹板支點的左方 L = 4.00 m 處，如圖8.8所示。(a) 一男人質量 M = 75.0 kg，應坐於何處，始能使翹翹板處於平衝？(b) 如果翹翹板本身質量 mpl = 12.0 kg，求由支點施於翹翹板之正向力；(c) 重複 (a)，但是此次力矩的旋轉軸取在板的左端。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.3　平衡作用(續) 解 (a) 男人應坐在何處才能達平衡狀態？ Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.3　平衡作用(續) (b) 求支點施於板之正向力 。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.3 平衡作用(續) (c) 重複 (a) 部分，選擇板的最左端為新軸。 Copyright © 滄海書局 例題8.3　平衡作用(續) (c) 重複 (a) 部分，選擇板的最左端為新軸。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

8.3 重心 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

重心 作用於物體的重力，有必要特別加以考慮。 在考慮由重力所產生的力矩時，物體上各部分的重量可以看做全部集中於某一點上。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

重心的計算 物體被分割成許多重量(mg)極小的質點。 每一個質點有一組指示其座落位置的座標(x, y) 。 假設物體可以自由繞此中心轉動。 每一質點的重力對轉動軸所產生的力矩，等於力臂乘上該質點的重量。 例如： t1 = m1gx1 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

重心的計算 (續) 我們希望能找到一個位置，此點承受單一作用力，其大小為 w = Fg = Mg (物體的總重量)，而且轉動的效應應與單一質點的總和相同。 此點稱為物體的重心 (center of gravity)，由 w 作用在重心所產生的力矩等同於單一質點所產生力矩的總和。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

重心(質心)的座標 重心的 x 與 y 座標可以透過各個質點分別對 y 軸與 x 軸的力矩和，令其等於總重量乘 x 與乘 y 求得。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

質量均勻分布物體的重心 對於質量均勻，且結構對稱的物體，它的重心必然位於對稱軸上。 通常上述物體的重心即為該物的幾何中心。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

由實驗來決定重心位置 扳鉗分別於兩個不同的懸點懸吊起來。 通過懸點在扳鉗上的鉛直線交會點即為重心的位置。 任何一個剛體都可以用與本身重量相同大小的力，向上作用於物體重心處，將其平衡支撐起來。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.4　重心在哪裡？ (a) 有三個物體在一座標系統，如圖8.11a所示，求其重心；(b) 若左邊的物體往上移 1.00 m，而右邊的物體往下位移 0.500 m (圖8.11b)，則結果會如何？視此物體為質點。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.4　重心在哪裡？(續) 解 (a) 找出圖8.11a系統中的重心。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.4 重心在哪裡？(續) (b) 如圖 8.11b 的系統，其結果又如何？ Copyright © 滄海書局 例題8.4　重心在哪裡？(續) (b) 如圖 8.11b 的系統，其結果又如何？ Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.5　求出一個人的重心 　　 於本例示出如何求一個人的重心。假設人高 L 為173 cm，重w為715 N。使他躺在一均勻平板，板的一端為秤，另一端為普通的支撐，如圖8.12所示。若板重為 wb = 49 N，且秤的讀數 F為 3.50 × 102 N，求此人的重心與平板左端的距離。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.5　求出一個人的重心(續) 解 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

8.4 物體處於平衡 的例子 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

平衡的注意事項 當力矩和為零時，並不代表不會發生轉動。 在淨力矩為零的條件下，物體仍然可以作等角速度的轉動。 這種情形可以拿物體所受和力為零時，仍有可能以等速度移動的現象來作對比。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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例題8.6　負重的前臂 一人的前臂水平握有一重 50.0 N 的球，如圖8.13a所示。二頭肌連於前臂關節前 0.0300 m，且球距關節 0.350 m 處，求二頭肌作用在前臂上的力 與肱骨作用在前臂上的力 (不考慮前臂的重量)。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.6　負重的前臂 (續) 解 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.7　不要爬梯子 一長 10.0 m 之均勻梯子，重 50.0 N，靠在光滑的垂直壁面上，如圖8.14a所示。若梯底與水平成50.0° 時，當梯子開始滑動時，求梯子與地面間的靜摩擦係數。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.7　不要爬梯子(續) 解 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.8　在一水平樑上行走 一長5.00 m 的均勻水平樑，重 3.00 × 102 N，以一栓連於牆上而可旋轉。如圖8.15a所示在另一端由一纜繩支撐，其角度與水平呈 53.0°。若有一人重6.00 × 102 N，站在壁右方 處1.50 m，求繩的張力 及牆對樑所施之力 。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.8　在一水平樑上行走(續) Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.8　在一水平樑上行走(續) 解 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

8.5 力矩與角加速度 間的關係 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

力矩與角加速度 當一剛體受到非零的力矩作用時，它即會獲得角加速度。 角加速度與淨力矩成正比。 力矩與角加速度的關係與移動的 ∑F = ma 式子是對等的。 它也稱為轉動的牛頓第二定律。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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轉動慣量(慣性矩) 角加速度與轉動系統中和質量類比(對等)的物理量成反比。 此一與質量對等的物理量稱為物體的轉動慣量 I。 它的SI制單位為 kg‧m2 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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轉動物體的牛頓第二定律 角加速度與淨力矩成正比。 角加速度與物體的轉動慣量成反比。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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轉動慣量的進一步說明 轉動慣量與質量間的主要差異在於轉動慣量隨物質在剛體中分佈位置的不同而有差異。 轉動慣量同時也隨轉動軸位置不同而改變。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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例題8.9　耍指揮棒的少女 鼓號樂隊的指揮耍弄一指揮棒，如圖8.21所示，此指揮棒由細桿所組成，其四個端點固定有四個球，若細桿之質量可忽略，且一桿長 1.0 m。(a) 求對於細桿交叉點且垂直頁面之軸旋轉的轉動慣量；(b) 若指揮想如圖8.22繞 OO′ 軸旋轉指揮棒，求對於此軸之轉動慣量。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.9 耍指揮棒的少女(續) 解 (a) 如圖8.21所示，計算指揮棒的轉動慣量。 Copyright © 滄海書局 例題8.9　耍指揮棒的少女(續) 解 (a) 如圖8.21所示，計算指揮棒的轉動慣量。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.9 耍指揮棒的少女(續) (b) 如圖8.22所示，計算指揮棒的轉動慣量。 Copyright © 滄海書局 例題8.9　耍指揮棒的少女(續) (b) 如圖8.22所示，計算指揮棒的轉動慣量。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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粗細均勻圓環的轉動慣量 將環想像成是由許多小片段 m1, m2, m3, …所構成。 這些片段到軸的垂直距離都相同。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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例題8.10　進階練習 一棒球投手在投出 0.150 kg 的球之前，先放鬆他的手臂，只使用他的前臂來使球加速 (圖8.24)。若前臂質量 1.50 kg 且長 0.350 m 。當球由靜止開始投出，並在 0.300 s 內達 30.0 m/s 之速率。(a) 求臂與球之角加速度；(b) 求前臂與球之系統的轉動慣量；(c) 利用 (a) 的答案求出作用在球的力矩。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.10　進階練習(續) 解 (a) 求球的角加速度。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.10　進階練習(續) (b) 求系統 (前臂加球) 的轉動慣量。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.10　進階練習(續) (c) 求施於球之力矩。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.11　掉落中的籃子 欲使用一實心無摩擦的圓柱狀繞繩軸，質量 M = 3.00 kg，半徑 R = 0.400 m，將水桶由井中提出 (如圖8.25a)，水桶質量 m = 2.00 kg，連於一細繩繞過了繞繩軸。(a) 求繩的張力 T 及水桶的加速度 a；(b) 如果水桶從井頂由靜止掉至井水面歷時 3.00 s，它掉了多遠？ Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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例題8.11　掉落中的籃子(續) 解 (a) 求繩的張力及水桶的加速度。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.11　掉落中的籃子(續) (b) 求在3.00內，水桶墜落距離。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

8.6 轉動動能 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

轉動動能 一物體以角速率 ω 繞一軸 (轉動慣量 I ) 旋轉，則具有轉動動能 ½ Iω2 。 利用能量的觀點，能有效簡化轉動運動的分析。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

系統的總能量 力學能守恆，這時要將轉動動能一併考慮。 請注意，此一守恆條件僅限保守力作用而無耗損力存在時使用。 對應於任何一項保守力的位能函數均可加入上式中。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

轉動系統中的功－能定理 當物體受耗損力(例如：摩擦力)作用時，就要用較為一般化的功－能定理來取代力學能守恆式。 Wnc = D KEt + D KEr + D PE Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

解一般問題的提示 適用於移動方面的一些解題技巧，亦可應用於轉動的問題上。 移動與轉動間各對應物理量的關係為： Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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例題8.12　一滾下斜坡的球 一球質量 M，半徑 R，從一高 2.00 m 且與水平成30.0°斜坡上由靜止滾下，如圖8.27所示。當球離開斜坡時，線性速率為何？假設沒有滑動。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.12　一滾下斜坡的球(續) 解 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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例題8.13　磚塊與滑輪 兩個具質量 m1 = 5.00 kg 與 m2 = 7.00 kg 的磚塊，由細繩相連如圖8.28a所示。細繩通過一個質量為，半徑為 0.0500 m 的空心圓柱狀之滑輪。滑輪與軸之間無摩擦，而滑輪與繩之間無滑動。磚塊與水平面之間的動摩擦係數為 0.350。求質量為的磚塊落下 2.00 m 時，系統的速率。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.13　磚塊與滑輪(續) Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.13　磚塊與滑輪(續) 解 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

8.7 角動量 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

角動量 在一個線性系統中，與力－動量關係相似的，我們可以利用各量的對應關係求得轉動方面力矩與角動量的關係。 角動量的定義 L ≡ Iω 力矩與角動量的關係則為 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

角動量 (續) 若物體系統所受淨力矩為零，則物體的角動量守恆。 角動量守恆指出，當系統所受的外力矩向量和為零時，系統的角動量守恆。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

守恆定律的總整理 對一孤立系統而言，下列的物理量是守恆的。 角動量 力學能 線動量 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

角動量守恆 (例) 一位花式溜冰選手，將其手腳朝身體靠攏，會使旋轉的角速度加快。 L 守恆，當 I 減少時， ω 即增加。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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例題8.14　旋轉凳 一學生坐在可旋轉凳上，兩手各握有一重物 (圖8.32)。此凳可繞著垂直軸自由旋轉，且人、重物與椅子的轉動慣量為 2.25 kg‧m2，當兩手向外伸出時，每 轉一圈。(a) 此系統的初始角速率為何？(b) 旋轉中，收雙臂，系統的轉動慣量成為 1.80 kg‧m2 。系統的角速率又為何？(c) 在收縮雙臂時，此人作了多少功？(不考慮消耗在肌肉中的能量損失。) Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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例題8.14 旋轉凳(續) 解 (a) 求系統的初始角速率。 (b) 在收手臂後，系統的新角速率為何？ Copyright © 滄海書局 例題8.14　旋轉凳(續) 解 (a) 求系統的初始角速率。 (b) 在收手臂後，系統的新角速率為何？ Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.14　旋轉凳(續) (c) 求人對系統所作之功。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.15　旋轉木馬 將旋轉木馬模型化成一質量為 M = 1.00 × 102 kg，半徑 R = 2.00 m 的圓盤，在一水平面上繞一無摩擦垂直軸旋轉 (圖8.33)。(a) 若有一質量 m = 60.0 kg 的學生跳上圓盤後，系統的角速率降為 2.00 rad/s。若她從邊緣走到距中心 0.500 m 時，系統的角速率為何？(b) 求由於她朝中心移動，所引起系統的轉動動能的變化為何？(c) 當她行走至 r = 0.500 m，求作於此人之功。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.15 旋轉木馬(續) 解 (a) 求學生行走至 r = 0.500 m 時，系統的角速率。 Copyright © 滄海書局 例題8.15　旋轉木馬(續) 解 (a) 求學生行走至 r = 0.500 m 時，系統的角速率。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.15　旋轉木馬(續) Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.15　旋轉木馬(續) (b) 求系統的轉動動能的變化。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

例題8.15　旋轉木馬(續) (c) 求作於此人之功。 Copyright © 滄海書局 第8章 旋轉平衡與旋轉動力學

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