界定整數除法問題 包含除與等分除 說明除法教材的處理 除法算則 整數的除法 界定整數除法問題 包含除與等分除 說明除法教材的處理 除法算則

整數除法問題 ６ ５ ６ ５ ５ ６ ５ ６ 盡量分完與全部分完 １ 個蘋果，５個裝一盒，盡量裝完，可裝幾盒，還剩下幾個？ １　個蘋果，５個裝一盒，盡量裝完，可裝幾盒，還剩下幾個？ １　個蘋果，平分給５人，盡量分完，每人可分幾個，還剩下幾個？ １　個蘋果，平分給５人，全部分完，每人可分幾個? １　公升的牛奶，５公升裝一瓶，全部裝完，可裝幾瓶？ ６ ５ ６ ５ ５ ６ ５ ６

用乘法算式把下列問題記下來？ ５×（？）＝１５ （？）×５＝１５ ５個蘋果裝一盒，裝了幾盒會裝了１５個蘋果？ １５個蘋果，５個裝一盒，全部裝完，可裝幾盒？（包含除） １５個蘋果，平分給５人，全部分完，每人可分幾個？（等分除） ５×（？）＝１５ （？）×５＝１５ ５個蘋果裝一盒，裝了幾盒會裝了１５個蘋果？ 有５個人，每個人擁有的蘋果都一樣多，幾個人就會有１５個蘋果？ 包含除可以說是「單位數未知的乘法問題」。 等分除可以說是「單位量未知的乘法問題」。

未學除法前兒童如何解包含除問題 如果我們用a,b,c,d,e…來數東西。現在有ｐ個蘋果，ｅ個蘋果裝一盒，盡量裝完，可裝幾盒，還剩下幾個？

未學除法前兒童如何解包含除問題 １６個蘋果，５個裝一盒，盡量裝完，可裝幾盒，還剩下幾個？ 圖像＋點數 答：可裝３盒，還剩１個 圖像＋點數　 ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ 答：可裝３盒，還剩１個

加法 ５＋５＝１０；１０＋５＝１５； １５＋１＝１６　答：可裝３盒，還剩１個 減法 １６－５＝１１；１１－５＝６； ６－５＝１　答：可裝３盒，還剩１個 乘法 ５×３＝１５；１６－１５＝１ 答：可裝３盒，還剩１個

１６個蘋果，平分給５人，盡量分完，每人可分幾個，還剩下幾個？ 圖像＋點數 ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎

加法 嘗試錯誤發現每人可分３個，再用加法紀錄。 ３＋３＝６；６＋３＝９；９＋３＝１２ １２＋３＝１５；１６－１５＝１ 　答：每人可分３個，還剩１個 透過每人每次分一個，發現每次需分掉５個，再用加法紀錄。 ５＋５＝１０；１０＋５＝１５；１６－１５＝１ 答：每人可分３個，還剩１個 3 1 2

減法 透過每人每次分一個，發現每次需分掉５個，再用減法紀錄。 １６－５＝１１ １１－５＝６ ６－５＝１ 答：每人可分３個，還剩１個

乘法 ３×５＝１５ 　１６－１５＝１ 答：每人可分３個，還剩１個 ５×３＝１５ １６－１５＝１ 因為每人每次分一個，一次要分掉５個。

除法的原型 我們知道減法的原型是拿走型問題，乘法的原型是「一盒有Ｘ個，Ｙ盒有幾個？」那除法的原型呢？

等分除問題→包含除問題 １６個蘋果，平分給５人，盡量分完，每人可分幾個，還剩下幾個？ １６個蘋果，平分給５人，每人每次分一個（每次分５個），盡量分完，每人可分幾個（可分幾次），還剩下幾個？ １６個蘋果，每次分５個，盡量分完，可分幾次，還剩下幾個？

“÷”的引入 １６個蘋果，５個裝一盒，盡量裝完，可裝幾盒，還剩下幾個？ ５＋５＝１０； １０＋５＝１５； １５＋１＝１６ １５＋１＝１６　 答：可裝３盒，還剩１個 １６個蘋果，平分給５人，盡量分完，每人可分幾個，還剩下幾個？ 嘗試錯誤發現每人可分３個，再用加法紀錄。 ３＋３＝６；６＋３＝９；９＋３＝１２ １２＋３＝１５；１６－１５＝１ 　答：每人可分３個，還剩１個 透過每人每次分一個，發現每次需分掉５個，再用加法紀錄。 ５＋５＝１０；１０＋５＝１５；１６－１５＝１ 答：每人可分３個，還剩１個

“÷”的引入 １６個蘋果，５個裝一盒，盡量裝完，可裝幾盒，還剩下幾個？ ５×３＝１５；１６－１５＝１ 答：可裝３盒，還剩１個 １６個蘋果，平分給５人，盡量分完，每人可分幾個，還剩下幾個？ ３×５＝１５ 　１６－１５＝１ 答：每人可分３個，還剩１個 ５×３＝１５ １６－１５＝１

“÷”的引入 １６個蘋果，５個裝一盒，盡量裝完，可裝幾盒，還剩下幾個？ １６－５＝１１； １１－５＝６； ６－５＝１ 答：可裝３盒，還剩１個 ６－５＝１　 答：可裝３盒，還剩１個 １６個蘋果，平分給５人，盡量分完，每人可分幾個，還剩下幾個？ １６－５＝１１ １１－５＝６ ６－５＝１ 答：每人可分３個，還剩１個

“÷”的引入 包含除的“÷”引入： 先引導出連減的解題策略（減法紀錄），再引出包含除的摘要紀錄。 等分除的“÷”引入： 　　　先引導出連減的解題策略（減法紀錄），再引出包含除的摘要紀錄。 等分除的“÷”引入： 　　　先引導出透過每人每次分一個的解題策略→再引減法的紀錄格式→引出包含除的摘要紀錄。

哪一個問題比較難 ６４２５元，平分給７人，盡量分完，每人可分幾元，剩下幾元？ ６４２５元，平分給２７人，盡量分完，每人可分幾元，剩下幾元？

６４２５元，平分給７人，盡量分完，每人可分幾元，剩下幾元？ 　６４２５元，平分給７人，盡量分完，每人可分幾元，剩下幾元？ 　　　　　　　９１７ 　　　　７　６４２５ 　　　　　　６３ 　　　　　　　１２ 　　　　　　　　７ 　　　　　　　　５５ 　　　　　　　　４９ 　　　　　　　　　６　　　　　

６４２５元，平分給２７人，盡量分完，每人可分幾元，剩下幾元？ 　　　　　　　２３７ 　　　２７　６４２５ 　　　　　　５４ 　　　　　　１０２ 　　　　　　　８１ 　　　　　　　２１５ 　　　　　　　１８９ 　　　　　　　　２６　　　　　

　等分除問題的難度依下列何者來區分？ （Ａ）被除數　（Ｂ）除數　（Ｃ）商數

哪一個問題比較難 ２８５個蘋果，７２個蘋果裝一盒，盡量裝完，可裝幾盒，剩下幾個？ ２８５個蘋果，７個蘋果裝一盒，盡量裝完，可裝幾盒，剩下幾個？

２８５個蘋果，７２個蘋果裝一盒，盡量裝完，可裝幾盒，剩下幾個？ ７２×２＝１４４ ２８５－１４４＝１４１ ２８５－７２＝２１３ ２１３－７２＝１４１ １４１－７２＝６９ 答：可裝３盒，剩下 ６９個 　　　　　　１盒 　　　　　　２盒 　　７２　２８５ 　　　　　１４４ 　　　　　１４１ 　　　　　　７２ 　　　　　　６９

２８５個蘋果，７個蘋果裝一盒，盡量裝完，可裝幾盒，剩下幾個？ ２８５－７＝２７８ ２７８－７＝２７１ ． ７×１０＝７０ ７×２０＝１４０ ７×３０＝２１０ ７×４０＝２８０ ２８５－２８０＝５ 答：可裝４０盒，剩下５個

　包含除問題的難度依下列何者來區分？ （Ａ）被除數　（Ｂ）除數　（Ｃ）商數

等分除問題的直式算則教學流程 用有乘號和減號的算式紀錄「除數為一位數」的解題過程。 將被除數是為多單位，並用直式紀錄「除數為一位數」的解題活動。 將被除數是為多單位，透過先進行「商數最多有幾個十」的估算活動，解決「商數為二位數」的等分除問題。

包含除的直式紀錄 空白錄影帶可錄２３時３４分４５秒，每７分８秒錄一段，盡量錄完，可錄幾段，剩下幾分幾秒是空白的？ 都化成以秒為單位→再用除法算則 還有其他的方法嗎？

　　　　　　　　　８ 　　　　　　　　１０ 　　　　　　　　６０　　　倍 ７分８秒　２３時３４分４５秒 　　　　　　７時　８分 　　　　　　２時１０分 　　　　　　　１３０分４５秒 　　　　　　　　７０分８０秒 　　　　　　　　５８分８５秒 　　　　　　　　５６分６４秒 　　　　　　　　　２分２１秒　　 ｝ 180+10+8=198 ×３ ２１時２４分

包含除問題的直式算則教學流程 用有乘號和減號的算式紀錄「商數為一位數」的解題過程。 用直式紀錄「商數為一位數」的解題活動。 解決「商數為二位數」的包含除問題。 透過先進行「商數最多有幾十倍」的估算活動，解決「商數為二位數」的包含除問題。

II. 除法課程的三部曲 除法問題的認識與初步解題 『÷』的引入與摘要紀錄 除法問題解題工具的發展

除法問題的認識與初步解題 在具體物的情境下，認識並解決包含除問題。 能利用圖像、符號紀錄包含除問題的解題活動。 能用算式紀錄包含除問題的解題活動。 在具體物的情境下，認識並解決等分除問題。 能利用圖像、符號紀錄等分除問題的解題活動。 能用算式紀錄等分除問題的解題活動。

『÷』的引入與摘要紀錄 用減法算式紀錄包含除問題的解題活動。 用有『÷』號的算式，摘要紀錄包含除問題的解題活動。 形成使用有『÷』號的算式填充題紀錄包含除問題。 透過「逐一分配」的方式，形成使用「減的方法」 解決等分除問題。 用減法算式紀錄等分除問題的解題活動。 用有『÷』號的算式，摘要紀錄等分除問題的解題活動。 形成使用有『÷』號的算式填充題紀錄等分除的問題。

除法問題解題工具的發展 形成使用「先乘後減」的解題策略。 形成使用直式紀錄紀錄解題活動。 形成使用「先算商數最多有幾個十，再算剩下的可以有幾個一」的解題策略。 形成使用「先算商數最多有幾個百，再算剩下的最多有幾個十，最後算剩下的可以有幾個一」的解題策略。