功與功率 功為力與位移的乘積 為一純量(scalar) dW≡F‧dr [單位]=[Nm]=[joule(J)]焦爾 =[kg(m/s2)m]=[kg(m/s)2]
A = Ax i + Ay j + Az k ; B = Bx i + By j + Bz k A‧B=|A||B|cosθ 向量內積滿足 交換律 結合律 若向量以直角座標系統來表示時，向量內積可寫為 A = Ax i + Ay j + Az k ; B = Bx i + By j + Bz k A‧B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
例題一：一鋼珠沿一平滑凹球面畫下（如圖所示），球重力對它所作的功。 F=mg dr r F = mg k r = rcos i + rsin k ; d r =- rsin d i + rcos d k
人們定義功對時間的變化量為”功率”(power)。平均功率的定義為 而瞬間功率(instantaneous power)則為
一小型車的重量為800kg，而它的引擎效率只有18%（亦即燃燒汽油後所得到的能量僅有18%能傳輸出去）。利用已知數據，燃燒一加侖汽油能得到1 一小型車的重量為800kg，而它的引擎效率只有18%（亦即燃燒汽油後所得到的能量僅有18%能傳輸出去）。利用已知數據，燃燒一加侖汽油能得到1.3 108 Joule，問該汽車由靜止加速到27 m/s (60 mi/h)需耗費多少汽油？ 假設所需耗費汽油x加侖，則 計算可得 x = 0.013 gal
若此汽車以速度60 mi/h行進時所測得的耗油量為35 mi/gal。問此時引擎的輸出功率為何？ 由於汽車受力的情況不明，故我們可先計算每小時耗油量，再轉換成功率。 每小時耗油量 (60 mi/h)/(35mi/gal)=12/7 gal/h 功率
功-動能定理(Work-Kinetic Energy Theorem) Spring-Mass System (彈簧重物系統) 當彈簧受外物影響而產生形變時，彈簧會對此外物產生一與形變量成正比且方向相反的阻力 F=-kx 考慮初態 xi=-D, vi=0 末態1 xf1=0, vf1=? 末態2 xf2=?, vf2=0
在討論力僅依賴於位置的情況時，若其函數形式為可積分的，這相當於求和過程中與所經路徑無關（與其歷史無關），僅與其初始與最終位置有關，則我們稱具有此性質的力為”保守力” (conservative force)。 I r2 r1 II
由於保守力所作之功僅與初始和最終位置有關，因而可以引進僅依賴於位置r的純量函數U(r)（記得功為一純量），稱之為位能(potential)。 位能的數學定義： 或 dU=-F‧dr
彈性位能Spring-Mass System 選擇US(0)=0，則彈性位能 動能和位能之和我們稱之為力學能(Mechanical Energy)。由上面說明可發現，若一力能定義位能，那麼，在僅有此力作用的情形下，力學能守恆。
重力位能(Gravitational Potential Energy) 令Ug(0)=0，則重力位 能可寫為Ug (y)=mgy