基本不等式

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

探究1 思考：这会标中含有怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？

探究１： b a > 1、正方形ABCD的 面积S=＿＿＿＿＿ ２、四个直角三角形的 面积和S’ =＿＿ ３、S与S’有什么 　　样的不等关系？ S>S′即 > (a≠b) 问：那么它们有相等的情况吗？

> 猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 A D B C E F G H b a D a A C ＝ 猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。

思考：你能给出不等式 的证明吗？ 证明：（作差法）

问题一 重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 问题一

问题一 替换后得到： 即： 即： 问题二 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？

问题二 分析法 证明不等式： 证明：要证 只要证 ① 要证①，只要证 ② 要证②，只要证 ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.

基本不等式 适用范围： a>0,b>0 文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ≥ 通常我们把上式写作： 当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 适用范围： a>0,b>0 在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数； 文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

问题三 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? D 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. A B a O C b ①如何用a, b表示OD? OD=______ E ②如何用a, b表示CD? CD=______ Rt△ACD∽Rt△DCB，

问题三 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? D 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. A B a O C b ①如何用a, b表示OD? OD=______ E ②如何用a, b表示CD? CD=______ ≥ ③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD ＞ 几何意义：半径不小于弦长的一半

填表比较： a,b∈R a>0,b>0 a=b a=b 注意从不同角度认识基本不等式 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a,b∈R a>0,b>0 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 a=b a=b 注意从不同角度认识基本不等式

例1. 求函数 f(x)=x + (x＞ -1) 的最小值. 1 x+1 ∴ f(x)=x + 1 x+1 =(x +1)+ -1 1 x+1 =1, ≥2 (x+1)∙ -1 1 x+1 当且仅当 取“=”号. ∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1. x+1= , 即 x=0 时, 1 x+1

例2. 若 0<x< , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值. 配凑系数 分析: x+(1-2x) 不是 常数. 2 =1为 解: ∵0<x< , ∴1-2x>0. 1 2 ∴y=x(1-2x)= ∙2x∙(1-2x) 1 2 ≤ ∙[ ]2 2x+(1-2x) 2 1 1 8 = . 2x=(1-2x), 即 x= 1 4 当且仅当 时, 取“=”号. ∴当 x = 时, 函数 y=x(1-2x) 的最大值是 . 1 4 8

若x、y皆为正数， 则当x+y的值是常数S时， 当且仅当x=y时， xy有最大值_______ 若x、y皆为正数， 则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最小值_______.

１．已知函数 ，求函数的最小值和此时x的取值． “美女”找茬 １．已知函数 ，求函数的最小值和此时x的取值． 运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件．

２．已知函数　　　　　　　　　　， 求函数的最小值． 用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．

用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.

小结： 1. 两个重要的不等式 2. 利用基本不等式求最值 求最值时注意把握 “一正，二定，三相等” 已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P  x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S  xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 1 4 求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”

练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值． 当x=6,y=4时,最小值为48 2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值． 最小值为8 3.已知x<0，求函数 的最大值. 4 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 的最小值．

典例剖析 题型一　分式形函数的最值求法