24.2 与圆有关的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系

观 察 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，右图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？

· 问 题 探 究 问题２：设⊙O半径为 r , 说出来点A，点B，点C与圆心O 的距离与半径的关系： www.czsx.com.cn OA < r， OB = r， OC > r.

· 问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否 判断点和圆的位置关系？ 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有： 问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否 判断点和圆的位置关系？ 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有： 点P在圆内 d ＜ r ； 点P在圆上 d = r； 点P在圆外 d ＞ r . P 符号 读 作“等价于”，它 表示从符号 的左端可以得到右 端从右端也可以得 到左端． P · P O r A

你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 ？ 射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，他们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数来表示．弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击的成绩越好.

点和圆的位置关系 点在圆内 d﹤r 点在圆上 d＝r O 点在圆外 d>r 设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。则 ● 点在圆上 d＝r ● ● O ● 点在圆外 d>r 练习：已知圆的半径等于5厘米，圆上的点到圆心的距离是:A、8厘米 B、4厘米 C、5厘米。 请你分别说出点与圆的位置关系。 www.czsx.com.cn

典型例题 例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米 （1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？ (B在圆上，D在圆外，C在圆外) （2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？ A D C B (B在圆内，D在圆上，C在圆外) （3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？ (B在圆内，D在圆内，C在圆上)

思考 1,画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形. · 3cm 2cm O

思考 体育课上，小明和小雨的铅球成绩分别是 6.4m和5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？

练一练 1、⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 。 圆内 圆上 圆外 2、⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在 ； 当OP 时点P在圆内；当OP 时，点P不在圆外。 圆上 ＜6 ≤6 3、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A 。 上 外 上 4、已知AB为⊙O的直径P为⊙O 上任意一点，则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为( ) (A)在⊙O内 (B)在⊙O 外 (C)在⊙O 上 (D)不能确定 c

对于一个圆来说,过几个点能作一个圆,并且只能作一个圆？ 类比探究： 对于一个圆来说,过几个点能作一个圆,并且只能作一个圆？

过一点能作几个圆？ A 无数个 过A点的圆的圆心有何特点？ 平面上除A点外的任意一点

过两点能作几个圆？ 过A、B两点的圆的圆心有何特点？ 经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. ●O ●O A B www.czsx.com.cn 经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.

1、三点不共线 ⊙O就是所求作的圆 已知：不在同一直线上的三点 A、B、C 求作：⊙O，使它经过A、B、C 作法： D 已知：不在同一直线上的三点 A、B、C 求作：⊙O，使它经过A、B、C F A B 作法： O 1、连结AB，作线段AB的垂直平分线DE， C E G 2、连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点O， 3、以O为圆心，OB为半径作圆， ⊙O就是所求作的圆

请你证明你作的圆符合要求 在上面的作图过程中. 证明:∵点O在AB的垂直平分线上， ∴OA=OB. 同理,OB=OC. ∴OA=OB=OC. ∴点A,B,C在以O为圆心，OA长为半径的圆上. ∴⊙O就是所求作的圆, 在上面的作图过程中. ∵直线DE和FG只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等, ∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.

我们的收获 定理： 不在同一直线上的三点确定一个圆 A B C O

1。由定理可知：经过三角形三个顶点可以作一个圆.并且只能作一个圆. 2。经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3。三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 A B C O www.czsx.com.cn

A 圆的内接三角 形 三角形的外接 圆 O C B 三角形 的外心 外心 1。三边垂直平分线的交点 2。到三个顶点距离相等

三角形的外心是否一定在三角形的内部？ A B C O O 直角三角形外心是斜边AB的中点 钝角三角形外心在△ABC的外面

练一练 √ × × √ B 1、判断下列说法是否正确 (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ). (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ). (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( ) √ × × √ 2、若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的 形状为( ) A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 B

思考： 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心． ∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等， A B C 又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， O D ∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.

如何解决“破镜重圆”的问题： A B C O 圆心一定在弦的垂直平分线上

思考：任意四个点是不是可以作一个圆？请举例说明. 不一定 1. 四点在一条直线上不能作圆； 2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上不能作圆； 3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆. A A A B B B B A D C D C D C D C

巩固练习 1,如图，等腰⊿ABC中， ， ，点O为外心， 求外接圆的半径。 O A D C B

2、为美化校园，学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池，在三角形三个顶点处各有一棵名贵花树(A、B、C），若不动花树，还要建一个最大的圆形喷水池，请设计你的实施方案。

3. 如果直角三角形的两条直角边分别是6,8,你能求出这个直角三角形的外接圆的半径吗?是多少? 4.在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,试求这个三角形的外接圆的面积.

问：如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，以A为圆心，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，求此圆半径R的取值范围。

问：在⊙O中，点M到⊙O的最小距离为3，最大距离是19，那么⊙O的半径为（ ） 11或8

提升：已知菱形ＡＢＣＤ的对角线为AC和 BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证E、F、G、H四个点在同一个圆上。 试一试 提升：已知菱形ＡＢＣＤ的对角线为AC和 BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证E、F、G、H四个点在同一个圆上。 O 思路：要证明几个点在同一圆上，就是证明这几个点到某一个定点的距离相等

我学会了什么 ？ 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆.圆心在以已知两点为端点的线段的垂直平分线上. 过三点 作圆 实际问题 直线公理 过一点可以作无数个圆 过三点 过不在同一条直线上的三点确定一个圆 过在同一直线上的三点不能作圆 外心、三角形外接圆、圆的内接三角形 作圆 引入 解决 类比

什么叫反证法？ 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．

回忆思考： 过一点可作几条直线？过两点可以作几条直线？过三点呢？ 过两点有且只有一条直线(直线公理) （“有且只有”就是“确定”的意思） 经过一点可以作无数条直线； ●A ●A ●B www.czsx.com.cn 过两点有且只有一条直线(直线公理) （“有且只有”就是“确定”的意思）

过三点 直线公理：两点确定一条直线 1、若三点共线，则过这三点只能作一条直线. A B C 2、若三点不共线，则过这三点不能作直线，但过任意其中两点一共可作三条直线. A B C 直线公理：两点确定一条直线