多變數函數的極值(含Lagrange法) 極大值與極小值 相對極值檢測法 拉格朗日法(Lagrange’s Method) 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

定義一：(相對極大值與相對極小值) 令點 為在 平面上某一圓形區域的中心(點 的鄰域)，對任一函數 來說，若所有 ( 的定義域)落在此圓形區域裡皆滿足 則 為一相對極大值(Relative Maximum) [相對極小值(Relative Minimum)] 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

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定義二：(絕對極大值與絕對極小值) 則 為一絕對極大值(Absolute Maximum) 若點 落在函數 的定義域裡且滿 足 對所有的 則 為一絕對極大值(Absolute Maximum) [絕對極小值(Absolute Minimum)] 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

若點 為函數 的一相對極大值或相對極小值，且 和 皆存在，則 定理一：(極值的發生處) 若點 為函數 的一相對極大值或相對極小值，且 和 皆存在，則 且 重點： 但 並不保證極值一定存在 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

定義三：(臨界點) 對任一函數 來說，所有滿足 或者 與 有任一個不存在的所有點 稱為函數 的臨界點(Critical Point) 對任一函數 來說，所有滿足 或者 與 有任一個不存在的所有點 稱為函數 的臨界點(Critical Point) 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

若點 為臨界點，但既不是極大值也不是極小值則此點稱為鞍點(Saddle Point) 定義四：(鞍點) 若點 為臨界點，但既不是極大值也不是極小值則此點稱為鞍點(Saddle Point) 舉例來說，對函數 而言， 因此(0,0)為一臨界點(也是鞍點) 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

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範例一 試求 的臨界點 解： 所以求得點(-4,2)為此函數的唯一臨界點 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

定理二：(相對極值檢測法) 對任一函數 來說，令二階偏導數 ， 以及 皆存在於以點 為中心的 平面上某一圓形區域(點 的鄰域)，且 和 。 對任一函數 來說，令二階偏導數 ， 以及 皆存在於以點 為中心的 平面上某一圓形區域(點 的鄰域)，且 和 。 定義 則 a.若 且 ，則 為一 相對極大值 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

b.若 且 ，則 為一 相對極小值 c.若 ，則 為一鞍點 d.若 ，則無法判斷 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

範例二 續範例一，請問點(-4,2)是相對極大值、相對極小值，或兩者皆不是？ 解： 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

範例三 請找出函數 的所有相對極大值及相對極小值 解： 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

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範例四 有一公司正研發一不含酒精的新飲料，其生產的成本為 ，其中 為糖的公斤數， 為香料的公克數。請問該如何調配使成本最低？又最低成本為多少？ 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

解： 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

所以 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

範例五 請找出函數 的所有極值與鞍點 解： 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

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範例六 將一正數 表示為三數的和，使這三數的乘積 為最大值 解：令 為此三數，則 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

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範例七 有一條長 的線欲切成(至多)3段以形成一個圓 及二個正方形，每一者可能為退化圖形，如何 切成使其所圍成的面積為最大值及最小值？ 有一條長 的線欲切成(至多)3段以形成一個圓 及二個正方形，每一者可能為退化圖形，如何 切成使其所圍成的面積為最大值及最小值？ 解：將此線切成三段，其長度分別為 ， 則 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

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範例七 有一條長 的線欲切成(至多)3段以形成一個圓 及二個正方形，每一者可能為退化圖形，如何 切成使其所圍成的面積為最大值及最小值？ 有一條長 的線欲切成(至多)3段以形成一個圓 及二個正方形，每一者可能為退化圖形，如何 切成使其所圍成的面積為最大值及最小值？ 解：將此線切成三段，其長度分別為 ， 則 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

舉例來說，在滿足 的條件下，若想求函數 的最小值，該怎麼作？ 拉格朗日法(Lagrange’s Method)： 舉例來說，在滿足 的條件下，若想求函數 的最小值，該怎麼作？ 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

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定理三：(拉格朗日法) 對滿足限制式 的函數 來說，其相對極值可以從滿足此聯立方程式 的點 裡求得， 其中 且所有的偏導數存在。 對滿足限制式 的函數 來說，其相對極值可以從滿足此聯立方程式 的點 裡求得， 其中 且所有的偏導數存在。 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

重點： 1. 2. 我們這裡雖只考慮兩個自變數的情況，但可 推廣至多個自變數 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

範例八 在滿足 的限制下,求出函數 的最小值。 解：步驟1：限制式 步驟2： 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

步驟3~5： 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

問題：如何知道所求的值612為最小值？ 答案：＜方法一＞ 代入(6,9)附近的點去做驗證(仍要滿足限 制式) 舉例來說，令 ， ，則 舉例來說，令 ， ，則 ＜方法二＞ 利用電腦繪圖做觀察 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

拉格朗日法步驟： 2.寫出拉格朗日函數 3.求出 4.寫出聯立方程組 5.求解並找出極值。 1.把限制式表示成 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

範例九 假設有一建築商想在控制成本為 50萬的狀況下，將一新大樓的 樓層面積極大化，請問他該怎麼蓋？若成本函數 ，其中 代表樓層寬度， 代表樓層長度。 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

解：步驟1： 步驟2： 步驟3~5： 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

範例九 假設有一建築商想在控制成本為 50萬的狀況下，將一新大樓的 樓層面積極大化，請問他該怎麼蓋？若成本函數 ，其中 代表樓層寬度， 代表樓層長度。 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

解：步驟1： 步驟2： 步驟3~5： 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

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範例十 在控制材料為6平方英呎的狀況下，請問該如何才能做出最大的矩形箱子？ 解：令 , 和 分別表示此箱子的長寬高 步驟1： 步驟2： 解：令 , 和 分別表示此箱子的長寬高 步驟1： 步驟2： 步驟3~5： 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

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範例十 在控制材料為6平方英呎的狀況下，請問該如何才能做出最大的矩形箱子？ 解：令 , 和 分別表示此箱子的長寬高 步驟1： 步驟2： 解：令 , 和 分別表示此箱子的長寬高 步驟1： 步驟2： 步驟3~5： 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

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範例十一 一長方形盒子的底部材料成本，每平方英呎為其邊及頂部材料成本的三倍。若其材料總值為$12時，且底部材料每平方英呎值$0.6，求這樣一個盒子的最大容量 解：令 , 和 分別表示此盒子的長寬高 步驟1： 步驟2： 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

步驟3~5： 2019/5/22 多變數函數的極值(含Lagrane法)

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