定义 设连续型随机变量 概率密度为 分布函数是 特别地， 其概率密度为 一、正态分布的相关内容：

若 则X 落在区间 内的概率是： 查表 特别地， [注1] [注2] 则 若 k 为奇数， 若 k 为偶数，则： 则： 中心矩：

二、二维正态分布 r = 0. 设二维随机变量( X,Y) 的联合概率密度如下： 其中 这种分布称为二维正态分布。 可以证明： 即 结论:

三、正态随机变量的线性函数的分布 定理1 （即：正态随机变量的线性函数仍服从正态分布） 推论 定理2 （即：独立的正态随机变量的和仍服从正态分布） 定理3

四、中心极限定理 列维定理 设独立随机变量 服从相同的分布并且有数 学期望和方差： 则当 时，它们和的极限分布是正态分布，即 则当 时，它们和的极限分布是正态分布，即 (z 为任意实数.) 设独立随机变量 考虑随机变量: 则 服从相同的分布并且有数 四、中心极限定理

德莫威尔—拉普拉斯定理　 其中z 是任何实数， 设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为 随机变量 表示事件A 在n 次实验中发生的次 数，则有 由于随机变量　 服从二项分布 拉斯定理说明：当 n 充分大时，服从 的随机变量 所以德莫威尔—拉普 近似地服从正态分布

五、练习题 1. 解

2. 解

3. 已知某机械零件的直径(mm)服从正态分布 求这种机械零件不合格品率. 解: 设随机变量 X 表示这种机械零件的直径, 由题意: 则

4. 解 测量到某一目标的距离时发生的随机误差X(米)具有概率 密度: 显然 在一次测量中误差的绝对值不超过 30米的概率为： ∴所求的概率为： 设Y 表示在三次独立测量中事件 出现的次数， 则 求在三次测量中至少有一次误 差的绝对值不超过30米的概率。

5. 设随机变量 求:随机变量 的概率密度. 解: 由题意: 且 y > 0 所以: y ≤0时, y > 0时, 0. y ≤0

解 若 6.

解： 7,10.设随机变量 X~N ( 0,1)， 若 n为奇数，则 若 n为偶数，设n = 2k 令 求随机变量函数 ( n 为正整数) 的数学期望与方差及相关系数.

n为奇数 n为偶数

8. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 求 的数学期望和方差. 解

9. 解

解 DX = 16 ， DY=25 ， 求X 与Y 的密度函数. 11. 设二维随机变量( X,Y) 服从正态分布， E(X) = E(Y) = 0，

12. 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布: 求:(X,Y)落在椭圆 内的概率. 解: 令

13. 已知矢径OP 的终点坐标(X,Y)服从二维正态分布: 解: 求:矢径OP 的长度Z=|OP| 的概率密度.

15. 解 16. 两台机床分别加工生产轴和轴衬.设随机变量X(mm)表示轴 直径,随机变量Y(mm)表示轴的内径,已知 在1~3(mm)之间, 显然X与Y是独立的,若轴衬的内径与轴的直径之差 求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率. 则轴与轴衬可以配套使用.

解: 由题意: 即: 17. 证

设随机变量 X,Y,Z 相互独立,都服从标准正态分布N(0,1), 求:随机变量函数 的概率密度, 数学期望与方差. 18. 解: 1) 由题意: 对于任意的实数 u ,

2) 因随机变量 X,Y,Z 相互独立,且服从标准正态分布N(0,1), 1)直接求;2)利用函数的期望,方差求法.

19. 解 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从P(0.2)， 由列维定理知, 所求的概率 求这本书的印刷错误总数不多于70的概率. 设 表示每页中的印刷错误的个数，

(1) 任一时刻有70至86台机床在工作的概率； (2) 任一时刻有80台以上机床在工作的概率； 时间占全部工作时间的80%，求： 20. 已知100台机床彼此独立地工作者，每台机床的实际工作 (1) 已知 n=100, p=0.8, 解 np=80， (2)

21 为了确定事件 A 的概率, 进行了10000次重复独立试验. 解 设事件A 在每次试验中发生的概率为 p， 在n次试验 则 因此，所求事件的概率为 中发生了 次, 且

因 n=10000充分大,由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理: 则:

解 22. 某单位设置一台电话总机, 共有200个分机. 每个分机有5％ 的时间要使用外线通话, 并且各个分机使用外线与否相互独 立. 该单位需要多少外线才能保证每个分机要使用外线时可 供使用的概率达到0.9. 设外线总数为 n 时, 满足要求, 由中心极限定理，有

23. 抽样检查产品质量时，若发现次品多于10个, 则认为这批 产品不能接受。应该检查多少产品时,可使次品率为10％的 一批产品不被接受的概率达到0.9. 并设X 为n个产品中发现的次品个数, p=0.1, 解 设检查产品的个数为 n 时, 满足要求.

补例:无线电台发出的呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，信号 每隔 5秒钟拍发一次，直到收到对方的回答信号为止。发出与收 到信号之间至少经过16秒钟的时间。求双方建立联系以前已拍发 的呼唤信号的平均次数。 解：设ξ表示在双方建立联系以前已拍发的呼唤信号的次数， 则ξ=4,5,6…， 设Ai 表示第i 次发出的信号被对方收到。 ……………………