連比 連比例式的應用 自我評量

搭配頁數 P.120 連比例 連比 子強想在校慶園遊會時，擺設攤位販賣一種「健康多多」的飲料，依照食譜的說明，「健康多多」是按照 3 杯蔓越莓汁、2 杯檸檬汁與 1 杯養樂多的比例所混合調配而成(每杯的容量相同)。

為了方便記錄每份「健康多多」中所含蔓越莓汁、檸檬汁與養樂多成分的比例，可記為 3：2：1。 像這樣三個數或三個以上的數連續的比，稱為連比。 搭配頁數 P.120 為了方便記錄每份「健康多多」中所含蔓越莓汁、檸檬汁與養樂多成分的比例，可記為 3：2：1。 像這樣三個數或三個以上的數連續的比，稱為連比。 由食譜中可知，每份「健康多多」中所含蔓越莓汁與檸檬汁成分的比為 3：2； 檸檬汁與養樂多成分的比為 2：1； 蔓越莓汁與養樂多成分的比為 3：1。

小傑用檸檬汁 1 杯、葡萄汁 5 杯與蘋果汁 3 杯調製成綜合果汁，每杯的容量皆相同， 求： 搭配頁數 P.120 小傑用檸檬汁 1 杯、葡萄汁 5 杯與蘋果汁 3 杯調製成綜合果汁，每杯的容量皆相同， 求： (1)綜合果汁中檸檬汁、葡萄汁與蘋果汁成分的連比。 (2)葡萄汁與蘋果汁成分的比。 1：5：3 解 5：3

由 x：y：z＝a：b：c 可知 x：y＝a：b， y：z＝b：c， x：z＝a：c。 搭配頁數 P.121 如果小雅想製造與「健康多多」相同口味的飲料，分別需要蔓越莓汁、檸檬汁與養樂多各 x、y、z 公升，根據前面「健康多多」的調配比例，可知 x：y：z＝3：2：1，這樣的式子稱為連比例式。 由 x：y：z＝a：b：c 可知 x：y＝a：b， y：z＝b：c， x：z＝a：c。 反過來說，當知道 x：y、y：z 與 x：z 這三個比中的任兩個比，也可求出x：y：z 的連比關係。

設 x：y＝1：2，y：z＝2：3，求 x：y：z。 搭配頁數 P.121 連比例的基本運算 設 x：y＝1：2，y：z＝2：3，求 x：y：z。 因為 x：y 　 ＝ 1：2 解 y：z ＝　 2：3 因此 x：y：z＝1：2：3。

設 x：y＝3：2，x：z＝3：4，求 x：y：z。 搭配頁數 P.121 設 x：y＝3：2，x：z＝3：4，求 x：y：z。 因為 x：y 　 ＝ 3：2 解 x　 ：z ＝ 3　 ：4 因此 x：y：z＝3：2：4。

在例題 1 中，因為相同文字符號 y 所對應的數皆是 2，因此可直接求出 x：y：z＝1：2：3。 搭配頁數 P.122 在例題 1 中，因為相同文字符號 y 所對應的數皆是 2，因此可直接求出 x：y：z＝1：2：3。 如果相同文字符號所對應的數不同時， 例如 x：y＝3：4，y：z＝5：7 ，要如何求出 x：y：z 的連比呢？ 因為 x：y：z＝3：4：z＝(3×5)：(4×5)　：　 ＝15 : 20 x：y：z＝x：5：7＝　x ：(5×4)：(7×4)＝ x：20：28 因此 x：y：z＝15：20：28。

上面的算式也可用直式來表示： x ： y ： z 3 ： 4 5 ： 7 (3×5)： (4×5) (5×4)： (7×4) 搭配頁數 P.122 上面的算式也可用直式來表示： x　 ：　y　：　 z 3　 ：　4　 　　　 5　：　7 (3×5)： (4×5) 　　　 (5×4)： (7×4) 15 ：　20 ：　28

搭配頁數 P.122 從上例可知：兩個比中，如果相同文字符號所對應的數不同時，可將這兩個比分別乘以適當的倍數，使相同文字符號所對應的數相同後，再進一步求出連比。 一般而言，相同文字符號所對應的數不同時，可以選取兩數的最小公倍數或是兩數的乘積，當做相同文字符號所對應的數。

搭配頁數 P.122

設 x：y＝3：4，y：z＝6：7，求 x：y：z。 相同文字符號 y 所對應的兩數為 4、6，取〔4 , 6〕＝12 求連比。 搭配頁數 P.123 連比例的基本運算 設 x：y＝3：4，y：z＝6：7，求 x：y：z。 相同文字符號 y 所對應的兩數為 4、6，取〔4 , 6〕＝12 求連比。 解 一 x　 ：　y　：　 z 3　 ：　4　 　　　 6　：　7 (3×3) ： (4×3) 　　 　 (6×2)： (7×2) 9 ： 12 ：　14 取 4 和 6 的最小公倍數 因此 x：y：z＝9：12：14

設 x：y＝3：4，y：z＝6：7，求 x：y：z。 相同文字符號 y 所對應的兩數為 4、6，取 4×6＝24 求連比。 搭配頁數 P.123 連比例的基本運算 設 x：y＝3：4，y：z＝6：7，求 x：y：z。 相同文字符號 y 所對應的兩數為 4、6，取 4×6＝24 求連比。 解 二 x　 ：　y　：　 z 3　 ：　4　 　　　 6　：　7 (3×6) ： (4×6) 　 　 (6×4)： (7×4) 18 ：　24 ：　28 取 4 和 6 的乘積 因此 x：y：z＝18：24：28＝9：12：14

設 x：y＝5：6，y：z＝9：4，求 x：y：z。 相同文字符號 y 所對應的兩數為 6、9，取〔6 , 9〕＝18 求連比。 搭配頁數 P.123 設 x：y＝5：6，y：z＝9：4，求 x：y：z。 相同文字符號 y 所對應的兩數為 6、9，取〔6 , 9〕＝18 求連比。 解 x　 ：　y　：　 z 5　 ：　6　 　　　 9　：　4 (5×3) ： (6×3) 　　 　 (9×2)： (4×2) 15 ： 18 ： 8 取 6 和 9 的最小公倍數 因此 x：y：z＝15：18：8

＝5：4 x ： y ： z 5 ： y ： 4 6 ： 7 (5×7) ： y ： (4×7) (6×4)： (7×4) 搭配頁數 P.124 分數型的連比例     解 ＝5：4 x　 ：　y　：　 z 5　 ：　y　：　4　 　　　 6　：　7 (5×7) ：　y　： (4×7) 　　 (6×4)： (7×4) 35 ：　24 ：　28 因此 x：y：z＝35：24：28

x：y＝5：2， x：z＝2：9 x ： y ： z 5 ： 2 2 ： 6 ： 9 10 ： 4 ： 45 搭配頁數 P.123   x：y＝5：2， x：z＝2：9 解 x　 ：　y　：　 z 5　 ：　2　 2　 ：　6　：　9 10 ：　4 ：　45 因此 x：y：z＝10：4：45

搭配頁數 P.124     ＝20：35 ， x：z＝3：35 解 x　 ：　y　：　 z 5　 ： 20　：　35　 3　 ：　6　：　35 3 ： 20 ：　35 因此 x：y：z＝3：20：35

且 2x－y＝－3x＋3y，5y＝4z，求 x：y：z。 搭配頁數 P.125 連比例的應用 已知 x、y、z 皆不等於 0， 且 2x－y＝－3x＋3y，5y＝4z，求 x：y：z。 解 化簡 2x－y＝－3x＋3y ，可得 5x＝4y， 即 x：y＝4：5， 由5y＝4z ,可得 y：z＝4：5 x　 ：　y　：　 z 4　 ：　5　：　4　 　　　 4　：　5 (4×4) ：(5×4) ： (4×7) 　　 　 (4×5) ： (5×5) 16 ： 20 ：　25 因此 x：y：z＝16：20：25

已知 x、y、z 皆不等於 0，且 x－2y＝0， 4y－z＝y＋3z，求 x：y：z。 搭配頁數 P.125 已知 x、y、z 皆不等於 0，且 x－2y＝0， 4y－z＝y＋3z，求 x：y：z。 由 x－2y＝0，得 x＝2y， x：y＝2：1 解 由 4y－z＝y＋3z，得 3y＝4z， y：z＝4：3 x　 ：　y　：　 z 2　 ：　1　：　4　 　　　 4　：　3 8 ：　4 ：　3 因此 x：y：z＝8：4：3

搭配頁數 P.126 連比例式的應用  

搭配頁數 P.126 連比例式的應用  

搭配頁數 P.126 連比例的運算 如果 x：5：y＝2：3：4，求 x、y 之值。 解 因為 x：5：y＝2：3：4        

搭配頁數 P.127 如果 3：x：y＝5：7：8，求 x、y 之值。 解 因為 3：x：y＝5：7：8，        

因此 x＝4r，y＝3r，z＝8r 依題意 2x－y＋3z＝58 可得 8r－3r＋24r＝58 29r＝58 r＝2 因此 y＝3r＝6 搭配頁數 P.127 分數型連比例求值     解   因此 x＝4r，y＝3r，z＝8r 依題意 2x－y＋3z＝58 可得 8r－3r＋24r＝58 29r＝58 r＝2 因此 y＝3r＝6

搭配頁數 P.127     解 則 a＝2r，b＝3r，c＝5r，      

已知 2x＝3y＝4z，且 x、y、z 皆不等於 0，求 x：y：z。 搭配頁數 P.128 連比例的運算 已知 2x＝3y＝4z，且 x、y、z 皆不等於 0，求 x：y：z。 解 一 令 2x＝3y＝4z＝r，r ≠ 0，             ＝6：4：3

已知 2x＝3y＝4z，且 x、y、z 皆不等於 0，求 x：y：z。 搭配頁數 P.128 連比例的運算 已知 2x＝3y＝4z，且 x、y、z 皆不等於 0，求 x：y：z。 解 二 由 2x＝3y，得 x：y＝3：2； 由 3y＝4z，得 y：z＝4：3。 x　 ：　y　：　 z 3　 ：　2　：　4　 　　　 4　：　3 (3×2) ：(2×2) ： (4×7) 　　 　 4 ： 3 6 ：　 4 ：　3 因此 x：y：z＝6：4：3

已知 x、y、z 皆不等於 0，且 7x＝3y＝5z，求 x：y：z。 搭配頁數 P.128 已知 x、y、z 皆不等於 0，且 7x＝3y＝5z，求 x：y：z。 由 7x＝3y，得 x：y＝3：7； 解 由 3y＝5z，得 y：z＝5：3。 x　 ：　y　：　 z 3　 ：　7　：　4　 　　　 5　：　3 15 ： 35 ： 21 因此 x：y：z＝15：35：21

設甲、乙、丙三人各分得 x 元、y 元、z 元， 依題意可知 x：y：z＝5：6：4， 因此可設 x＝5r，y＝6r，z＝4r，r≠0。 搭配頁數 P.129 比例分配問題 甲、乙、丙三人合夥作生意，且三人投資金額的比例依序是 5：6：4。已知這次投資共獲利 300 萬元，如果依照投資金額的比例分配獲利，則三人各分得多少元？ 解 一 設甲、乙、丙三人各分得 x 元、y 元、z 元， 依題意可知 x：y：z＝5：6：4， 因此可設 x＝5r，y＝6r，z＝4r，r≠0。 得 5r＋6r＋4r＝3000000   r＝200000 所以x＝5r ＝ 5×200000＝1000000 (元) y＝6r ＝ 6×200000＝1200000 (元) z＝4r ＝ 4×200000＝ 800000 (元) 續下頁

搭配頁數 P.129 比例分配問題 甲、乙、丙三人合夥作生意，且三人投資金額的比例依序是 5：6：4。已知這次投資共獲利 300 萬元，如果依照投資金額的比例分配獲利，則三人各分得多少元？ 解 一 即甲分得 100 萬元，乙分得 120 萬元， 丙分得 80 萬元。

搭配頁數 P.129 比例分配問題 甲、乙、丙三人合夥作生意，且三人投資金額的比例依序是 5：6：4。已知這次投資共獲利 300 萬元，如果依照投資金額的比例分配獲利，則三人各分得多少元？ 解 二 可將盈餘分成 5＋6＋4＝15( 份)， 甲、乙、丙各得 5、6、4 份，       即甲分得 100 萬元，乙分得 120 萬元， 丙分得 80 萬元。

已知三角形三邊長的比例是3：4：5，如果這個三角形的周長是 60 公分，則其三邊長分別是多少公分？ 搭配頁數 P.129 已知三角形三邊長的比例是3：4：5，如果這個三角形的周長是 60 公分，則其三邊長分別是多少公分？ 解 設三邊長為 3r，4r，5r，r ≠ 0。 3r＋4r＋5r ＝60 12r ＝60 r ＝5 3r＝15，4r ＝ 20，5r ＝25 因此三邊長分別為 15 公分，20 公分，25 公分。

設此合金含有金 x 公克，銀 y 公克，銅 z 公克， 解 即 x：y＝3：2，x：z＝1：2。 x ： y ： z 3 ： 2 ： 4 搭配頁數 P.130 連比例的數量差問題 有一塊由金、銀、銅組成的合金，其中所含金、銀的重量比為3：2，金、銅的重量比為1：2，如果此合金所含的銅與銀重量相差36公克，則此塊合金的重量是多少公克？ 設此合金含有金 x 公克，銀 y 公克，銅 z 公克， 解 即 x：y＝3：2，x：z＝1：2。 x　 ：　y　：　 z 3　 ：　2　：　4　 1 　　 4　：　2 設 x＝3r，y＝2r， z＝6r，r ≠ 0。 銅與銀重量相差 36 公克，6r－2r＝36 3 ： 2 ： (4×7) (1×3) 　 4 ： (2×3) r＝9 合金重量 3r＋2r＋6r＝11r＝99(公克) 3 ：　2 ：　6 因此 x：y：z＝3：2：6

設收到紅包子奇 20r 元，小玉24r 元， 建中15r 元，r ≠ 0。 則小玉收到金額為24r＝24×50 ＝1200(元) 搭配頁數 P.130 過年時，子奇和小玉收到的紅包金額比為 5：6，小玉和建中收到的紅包金額比為 8：5。已知子奇收到的紅包比建中多 250 元，則小玉收到的紅包是多少元？ 解 子奇：小玉：建中 5 ：　6　：　4　 　　 4 8 ： 5 子奇收到的紅包比建中多 250 元 ⇒20r－15r＝250 5r＝250 20 ： 24 ： 15 r＝50 設收到紅包子奇 20r 元，小玉24r 元， 建中15r 元，r ≠ 0。 則小玉收到金額為24r＝24×50 ＝1200(元)

搭配頁數 P.131 連比例的圖形問題   解     令 4x＝5y＝6z＝r，r ≠ 0，         ＝15：12：10

搭配頁數 P.131 甲、乙、丙三人皆畫出面積相等的長方形，已知三人所畫長方形的長分別為12公分、 9 公分與 8 公分，如果三人所畫長方形的寬依序分別為 x 公分、 y 公分與 z 公分，求 x：y：z。 面積相等，所以 12x＝9y＝8z 解 由 12x＝9y，得 x：y＝3：4， 由 9y＝8z，得 y：z＝8：9。 x ： y ： z 3 ：　4　：　4　 　　 4 8 ： 9 因此 x：y：z ＝6：8：9 6 ： 8 ： 9

設 a、b、c 皆不等於 0，則 a 比 b 比 c 記作 a：b：c，稱為 a、b、c 的連比。 搭配頁數 P.132 連比： 設 a、b、c 皆不等於 0，則 a 比 b 比 c 記作 a：b：c，稱為 a、b、c 的連比。

由 x：y＝a：b，y：z＝b：c， x：z＝a：c 中的任意兩個比例式， 可求出連比例式 x：y：z＝a：b：c。 搭配頁數 P.132 求連比： 由 x：y＝a：b，y：z＝b：c， x：z＝a：c 中的任意兩個比例式， 可求出連比例式 x：y：z＝a：b：c。 x：y＝2：3，y：z＝3：5， 可求出連比例式 x：y：z＝2：3：5。 x：z＝3：5，y：z＝7：5， 可求出連比例式 x：y：z＝3：7：5。

搭配頁數 P.132 連比例式的應用：    

3-2 求下列各題的連比： (1) x：y＝2：3，y：z＝4：5， 則 x：y：z ＝ ______________。 8：12：15 搭配頁數 P.133 3-2 1 求下列各題的連比： (1) x：y＝2：3，y：z＝4：5， 則 x：y：z ＝ ______________。 8：12：15 解 x ： y ： z 2 ：　3　：　4　 　　 4 ： 5 2 ：　3　：　4　 4 ： 4 ： 5 8 ： 12 ： 15

(2) a：b＝4：5，a：c＝3：8， 則 a：b：c ＝_____________ 。 12：15：32 搭配頁數 P.133 (2) a：b＝4：5，a：c＝3：8， 則 a：b：c ＝_____________ 。 1 12：15：32 解 a ： b ： c 2 ：　3　：　4　 　　 4 ： 5 4 ：　5　：　4　 3 ： 4 ： 8 12 ： 15 ： 32

搭配頁數 P.133   1 18：10：15   解   x ： y ： z 3 ：　2 ： 3　 6 ： 8 ： 5 18 ： 10 ： 15

設 a、b、c 皆不等於 0，且 2a＝3b，4b＝5c，則：(1) a：b：c ＝ ____________。 搭配頁數 P.133 設 a、b、c 皆不等於 0，且 2a＝3b，4b＝5c，則：(1) a：b：c ＝ ____________。 (2) 如果 a－b＝－15，求 a、c 的值。 2 15：10：8 解 (1) 由 2a＝3b，得 a：b＝3：2 a：b ： c 3：2　 5 ： 4 由 4b＝5c，得 b：c＝5：4 因此 a：b：c＝15：10：8 15：10：8 (2) 設 a＝15r，b＝10r，c＝8r，r ≠ 0 a－b＝－15 ⇒ 15r－10r＝－15 ⇒ r＝－3 因此 a＝15×(－3)＝－45 c＝8×(－3)＝－24

已知 a：c＝3：2，b：c＝4：5，且 a＋b＋c＝132，求：(1) a：b：c ＝ ____________。 搭配頁數 P.134 已知 a：c＝3：2，b：c＝4：5，且 a＋b＋c＝132，求：(1) a：b：c ＝ ____________。 (2) a、b、c 的值。 3 15：8：10 解 (1) a：b ： c 3 ： 2　 4 ： 5 15：8 ：10 因此 a：b：c＝15：8：10 (2) 設 a＝15r，b＝8r，c＝10r，r ≠ 0 由 a＋b＋c＝132 得 15r＋8r＋10r＝132 33r＝132 ⇒ r＝4 因此 a＝60，b＝32，c＝40

設 x＝5r，y＝6r，z＝3r，r ≠ 0 依題意 x＋3y－4z＝33 可得 5r＋18r－12r＝33 11r＝33 r＝3 搭配頁數 P.134   4   解 設 x＝5r，y＝6r，z＝3r，r ≠ 0 依題意 x＋3y－4z＝33 可得 5r＋18r－12r＝33 11r＝33 r＝3 則 z＝3r＝3×3＝9

搭配頁數 P.134 如果 12：5：8＝5：x：y，則 x－y＝？ 5   解          

已知 x、y、z 皆不等於 0，且 3x＝4y＝5z， 則 x：y：z＝ ____________。 20：15：12 搭配頁數 P.134 已知 x、y、z 皆不等於 0，且 3x＝4y＝5z， 則 x：y：z＝ ____________。 6 20：15：12 由 3x＝4y，得 x：y＝4：3 解 由 4y＝5z，得 y：z＝5：4 x ： y ： z 4 ： 3　 5 ： 4 20：15：12 因此 x：y：z ＝20：15：12

設三角形 ABC 三個內角分別為 ∠A＝x°， ∠B＝y°，∠C＝z°，且 x：2y＝9：10， 搭配頁數 P.135 設三角形 ABC 三個內角分別為 ∠A＝x°， ∠B＝y°，∠C＝z°，且 x：2y＝9：10， 4y：5z＝1：1，求 ∠A、∠B、∠C 的度數。 7 由 x：2y＝9：10，得 x：y＝9：5 解 由 4y：5z＝1：1，得 y：z＝5：4 所以 x：y：z＝9：5：4 設 x＝9r，y＝5r，z＝4r，r ≠ 0 9r＋5r＋4r＝180 ⇒ r＝10 所以 x＝90，y＝50，z＝40 ： ∠A＝90°，∠B＝50°，∠C＝40°

已知甲、乙、丙三所學校的學生人數比為 4：2：5 ，如果乙校學生人數與丙校學生 人數相差 1050 人，求甲校的學生人數。 搭配頁數 P.135 已知甲、乙、丙三所學校的學生人數比為 4：2：5 ，如果乙校學生人數與丙校學生 人數相差 1050 人，求甲校的學生人數。 8 設甲校有 4r 人，乙校有 2r 人， 丙校有 5r 人，r ≠ 0。 解 乙丙人數相差 1050 人⇒ 5r－2r＝1050 3r＝1050 r＝350 所以甲校學生人數 4×350＝1400 (人) ： 1400人

設老麵糰有 6r 公克，新麵糰有 17r 公克，桂圓有 2r 公克，r ≠ 0。 搭配頁數 P.135 製作冠軍麵包的材料中，老麵糰、新麵糰與桂圓的重量比是 6：17：2。如果將老麵糰、新麵糰與桂圓揉在一起後，秤得的總重量為 750 公克，則所需的桂圓重量是多少公克？ 9 設老麵糰有 6r 公克，新麵糰有 17r 公克，桂圓有 2r 公克，r ≠ 0。 解 總重量 750 公克⇒ 6r＋17r＋2r＝750 25r＝750 r＝30 所以桂圓重量 2×30＝60 (公克) ： 60 公克

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