Chapter 6 離散型機率分配，通常以直方圖之圖形或公式就可以指出其分配。 由不同之統計實驗所產生之觀察值若具有相同形式之圖形或公式，則可視為具有同樣的機率分配。

6.1　離散均勻分配 離散均勻分配 : 定理6.1: 若隨機變數X服從離散均勻分配

自班上抽出一人: 男生、女生 自生產線上抽驗一件產品: 擲一個銅板: 擲一粒骰子: 一張發票兌獎: 正面、反面 參加英文檢定考試: 良品、不良品 正面、反面 大於3、不大於3 中獎、不中獎 合格、不合格

6.2 伯努利分配 一隨機試驗只進行一次 只有成功和失敗兩種結果。 令隨機變數X=1代表成功的事件， X=0代表失敗的事件， 6.2　伯努利分配 一隨機試驗只進行一次 只有成功和失敗兩種結果。 令隨機變數X=1代表成功的事件， X=0代表失敗的事件， 成功事件發生的機率為p，失敗發生的機率為1-p 伯努利機率分配

定理6.2 若隨機變數服從伯努利分配，則

在統計分析中對單次的伯努利試驗並不感興趣。 最常見的是一序列的伯努利試驗。 1.重複進行相同且獨立的伯努利試驗， 直到試驗成功為止 稱為『幾何試驗』 例: 參加英文檢定考試， 直到合格為止 共考了幾次?

在統計分析中對單次的伯努利試驗並不感興趣。 最常見的是一序列的伯努利試驗。 2. 重複進行相同且獨立的伯努利試驗， 直到試驗成功k次為止。 稱為『負二項試驗』 例: 站在罰球線投籃， 直到投中5球為止， 共投了幾球?

在統計分析中對單次的伯努利試驗並不感興趣。 最常見的是一序列的伯努利試驗。 3. 重複進行n次相同且獨立的伯努利試驗。 稱為『二項試驗』 例: 投擲一枚銅幣10次，出現幾次人頭? 例: 站在罰球線投籃10球， 投中幾球?

在統計分析中對單次的伯努利試驗並不感興趣。 最常見的是一序列的伯努利試驗。 4. 連續進行n次的成功機率改變的伯努利試驗。 自一含S個成功類的N個群體中，抽出n個。 稱為『超幾何試驗』 例: 自一個有19個男生的班級(50人)， 抽出5個人，抽到幾個男生?

幾何分配 重複進行相同且獨立的伯努利試驗， 直到試驗成功為止， 所需試驗次數的機率分配， 稱為幾何分配。 試驗的次數X稱為幾何隨機變數。

某製造過程中， 已知平均每100個產品中有一個不良品； 那麼在一個不良品發現時， 共檢驗5個產品的機率為何？

1.假設某藍球隊在比賽中進攻時有40%的機會得分，則該球隊在第三次拿到球進攻而攻進第一球的機率為何(假設每一次進攻之事件為獨立)？

負二項分配 重複進行相同且獨立的伯努利試驗， 直到試驗成功達到K次為止， 所需試驗次數的機率分配， 稱為負二項分配。 試驗次數X稱為負二項隨機變數。 X的機率分配為：

過年的氣氛愈來愈濃厚，每個人都會在新的一年中去廟裡祈求平安，假設在廟裡擲出「聖筊」的機率為0 過年的氣氛愈來愈濃厚，每個人都會在新的一年中去廟裡祈求平安，假設在廟裡擲出「聖筊」的機率為0.5，則連續擲10次之後， (1)才出現第2個聖筊的機率為何？ (2)才出現第5個聖筊的機率又為何？

2.某八卦雜誌電話訪問讀者發現有80%的讀者相信某女明星說謊。求下列機率值： (l)訪問至第8位時是第5位相信她說謊的人。 (2)訪問至第4位時，才有一位相信她說謊的人。

3. 假定有甲、乙兩隊爭奪今年職棒總冠軍，比賽採用7戰4勝制，假定每場比賽甲隊贏球的機率為0 3.假定有甲、乙兩隊爭奪今年職棒總冠軍，比賽採用7戰4勝制，假定每場比賽甲隊贏球的機率為0.6，且每一場皆是獨立的。請問，甲隊獲得總冠軍的機率為何？

4. 假定有甲、乙兩隊爭奪今年職棒總冠軍， 比賽採用3戰2勝制， 假定每場比賽甲隊贏球的機率為0 4.假定有甲、乙兩隊爭奪今年職棒總冠軍， 比賽採用3戰2勝制， 假定每場比賽甲隊贏球的機率為0.6， 且每一場皆是獨立的。 請問，甲隊獲得總冠軍的機率為何？

二項分配 重複進行相同且獨立的伯努利試驗n次， 試驗成功次數的機率分配稱為二項分配 成功次數X稱為服從參數n，p的二項隨機變數， 記為X~B(n,p) X的機率分配為 X的期望值E(X)=np 變異數V(X)=np(1-p)

有3位顧客走進馬丁服飾店，根據過去的經驗，進店顧客購買服飾的機率是0.2。那麼請問3人中恰有1人會購買的機率是多少？ 解：以S代表購買(「成功」)，以F代表不購買(「失敗」) 可能結果 機　率 x SSS SSF SFS FSS SFF FSF FFS FFF (0.2)(0.2)(0.2) (0.2)(0.2)(0.8) (0.2)(0.8)(0.2) (0.8)(0.2)(0.2) (0.2)(0.8)(0.8) (0.8)(0.2)(0.8) (0.8)(0.8)(0.2) (0.8)(0.8)(0.8) 3 2 1 =0.384 查表P.416

投擲一公正的骰子5次，設出現2點的次數為X，求P(X=3)

假定一新藥品能治癒某疾病的機率為0.4，如果以10位病患進行試驗，試求下列機率： (a)最多6個人治癒； (b)治癒的人數介於6與10間； (c)治癒人數至少5個人； P(X≦6)= 0.9452 P(6≦X≦10)= 1-0.8338=0.1663 P(X≧5)= 1-0.6331=0.3669 n= 10 k P 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.99 0.9044 0.5987 0.3487 0.1074 0.0282 0.0060 0.0010 0.0001 1 0.9957 0.9139 0.7361 0.3758 0.1493 0.0464 0.0107 0.0017 2 0.9999 0.9885 0.9298 0.6778 0.3828 0.1673 0.0547 0.0123 0.0016 3 0.9990 0.9872 0.8791 0.6496 0.3823 0.1719 0.0548 0.0106 0.0009 4 0.9984 0.9672 0.8497 0.6331 0.3770 0.1662 0.0473 0.0064 5 0.9936 0.9527 0.8338 0.6230 0.3669 0.1503 0.0328 6 0.9991 0.9894 0.9452 0.8281 0.6177 0.3504 0.1209 0.0128 7 0.9877 0.9453 0.8327 0.6172 0.3222 0.0702 0.0115 8 0.9983 0.9893 0.9536 0.8507 0.6242 0.2639 0.0861 0.0043 9 0.9940 0.9718 0.8926 0.6513 0.4013 0.0956

0.0328 0.8926-0.1209=0.7719 1-0.3222=0.6778 n= 10 k P 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.99 0.9044 0.5987 0.3487 0.1074 0.0282 0.0060 0.0010 0.0001 1 0.9957 0.9139 0.7361 0.3758 0.1493 0.0464 0.0107 0.0017 2 0.9999 0.9885 0.9298 0.6778 0.3828 0.1673 0.0547 0.0123 0.0016 3 0.9990 0.9872 0.8791 0.6496 0.3823 0.1719 0.0548 0.0106 0.0009 4 0.9984 0.9672 0.8497 0.6331 0.3770 0.1662 0.0473 0.0064 5 0.9936 0.9527 0.8338 0.6230 0.3669 0.1503 0.0328 6 0.9991 0.9894 0.9452 0.8281 0.6177 0.3504 0.1209 0.0128 7 0.9877 0.9453 0.8327 0.6172 0.3222 0.0702 0.0115 8 0.9983 0.9893 0.9536 0.8507 0.6242 0.2639 0.0861 0.0043 9 0.9940 0.9718 0.8926 0.6513 0.4013 0.0956

P.175 二項機率分配 8.9 右偏分配 圖8.10 對稱分配 圖8.11 左偏分配 P>0.5 P=0.5 P<0.5

X的期望值E(X)=np 變異數V(X)=np(1-p)

5. 若X~B(n,p)，試利用二項機率表，求下列各機率： (1)n=5，p=0.1，P(X=3)=？ k P 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.99 0.9510 0.7738 0.5905 0.3277 0.1681 0.0778 0.0313 0.0102 0.0024 0.0003 1 0.9990 0.9774 0.9185 0.7373 0.5282 0.3370 0.1875 0.0870 0.0308 0.0067 0.0005 2 0.9988 0.9914 0.9421 0.8369 0.6826 0.5000 0.3174 0.1631 0.0579 0.0086 0.0012 3 0.9995 0.9933 0.9692 0.913 0.8125 0.6630 0.4718 0.2627 0.0815 0.0226 0.0010 4 0.9997 0.9976 0.9898 0.9688 0.9222 0.8319 0.6723 0.4095 0.2262 0.0490

5. 若X~B(n,p)，試利用二項機率表，求下列各機率： (2)n=15，p=0.5，P(0≦X≦12) =？ k P 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.99 0.8601 0.4633 0.2059 0.0352 0.0047 0.0005 1 0.9904 0.8290 0.5490 0.1671 0.0353 0.0052 2 0.9996 0.9638 0.8159 0.3980 0.1268 0.0271 0.0037 0.0003 3 0.9945 0.9444 0.6482 0.2969 0.0905 0.0176 0.0019 4 0.9994 0.9873 0.8358 0.5155 0.2173 0.0592 0.0093 0.0007 5 0.9999 0.9978 0.9389 0.7216 0.4032 0.1509 0.0338 0.0001 6 0.9997 0.9819 0.8689 0.6098 0.3036 0.0950 0.0152 0.0008 7 0.9958 0.9500 0.7869 0.5000 0.2131 0.0500 0.0042 8 0.9992 0.9848 0.9050 0.6964 0.3902 0.1311 0.0181 9 0.9963 0.9662 0.8491 0.5968 0.2784 0.0611 0.0022 10 0.9993 0.9907 0.9408 0.7827 0.4845 0.1642 0.0127 0.0006 11 0.9981 0.9824 0.9095 0.7031 0.3518 0.0556 0.0055 12 0.9729 0.8732 0.6020 0.1841 0.0362 0.0004 13 0.9995 0.9948 0.9647 0.8329 0.4510 0.1710 0.0096 14 0.9953 0.9648 0.7941 0.5367 0.1399

5. 若X~B(n,p)，試利用二項機率表，求 (3)n=25，p=0.2，P(X>10) k P 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.99 0.7778 0.2774 0.0718 0.0038 0.0001 1 0.9742 0.6424 0.2712 0.0274 0.0016 2 0.9980 0.8729 0.5371 0.0982 0.0090 0.0004 3 0.9999 0.9659 0.7636 0.2340 0.0332 0.0024 4 0.9928 0.9020 0.4207 0.0905 0.0095 0.0005 5 0.9988 0.9666 0.6167 0.1935 0.0294 0.0020 6 0.9998 0.9905 0.7800 0.3407 0.0736 0.0073 0.0003 7 0.9977 0.8909 0.5118 0.1536 0.0216 0.0012 8 0.9995 0.9532 0.6769 0.2735 0.0539 0.0043 9 0.9827 0.8106 0.4246 0.1148 0.0132 10 0.9944 0.9022 0.5858 0.2122 0.0344 0.0018 11 0.9985 0.9558 0.7323 0.3450 0.0778 0.0060 12 0.9996 0.9825 0.8462 0.5000 0.1538 0.0175 13 0.9940 0.9222 0.6550 0.2677 0.0442 0.0015 14 0.9982 0.9656 0.7878 0.4142 0.0978 0.0056

6.某科技大學根據全校一年級學生進行數學能力檢定，發現有60%的學生會作一般性的計算。現隨機抽出15位一年級學生，求下列之機率： (1)不超過4人會作一般性的計算。 (2)至少有5人會作一般性的計算。 (3)恰有6人不會作一般性的計算。 n= 15 k P 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.99 0.8601 0.4633 0.2059 0.0352 0.0047 0.0005 1 0.9904 0.8290 0.5490 0.1671 0.0353 0.0052 2 0.9996 0.9638 0.8159 0.3980 0.1268 0.0271 0.0037 0.0003 3 0.9945 0.9444 0.6482 0.2969 0.0905 0.0176 0.0019 4 0.9994 0.9873 0.8358 0.5155 0.2173 0.0592 0.0093 0.0007 5 0.9999 0.9978 0.9389 0.7216 0.4032 0.1509 0.0338 0.0001 6 0.9997 0.9819 0.8689 0.6098 0.3036 0.0950 0.0152 0.0008 7 0.9958 0.9500 0.7869 0.5000 0.2131 0.0500 0.0042 8 0.9992 0.9848 0.9050 0.6964 0.3902 0.1311 0.0181 9 0.9963 0.9662 0.8491 0.5968 0.2784 0.0611 0.0022 10 0.9993 0.9907 0.9408 0.7827 0.4845 0.1642 0.0127 0.0006 11 0.9981 0.9824 0.9095 0.7031 0.3518 0.0556 0.0055 12 0.9729 0.8732 0.6020 0.1841 0.0362 0.0004 13 0.9995 0.9948 0.9647 0.8329 0.4510 0.1710 0.0096 14 0.9953 0.9648 0.7941 0.5367 0.1399

7.設X為二項隨機變數，且E(X)=7, Var(X)=6，問此二項分配之n及P值為何？

8.一盒中裝有20支小零件，設有4個為不良品，如由此盒中隨機抽出5個(以放回抽樣)，試求下列機率： (a)僅有一個不良品。 (b)至少有3個不良品。 (c)不良品之期望值與變異數。 n= 5 k P 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.99 0.9510 0.7738 0.5905 0.3277 0.1681 0.0778 0.0313 0.0102 0.0024 0.0003 1 0.9990 0.9774 0.9185 0.7373 0.5282 0.3370 0.1875 0.0870 0.0308 0.0067 0.0005 2 0.9988 0.9914 0.9421 0.8369 0.6826 0.5000 0.3174 0.1631 0.0579 0.0086 0.0012 3 0.9995 0.9933 0.9692 0.9130 0.8125 0.6630 0.4718 0.2627 0.0815 0.0226 0.0010 4 0.9997 0.9976 0.9898 0.9688 0.9222 0.8319 0.6723 0.4095 0.2262 0.0490

9. 小胖鞋店的記錄顯示，平均100位顧客中有30位使用信用卡付款。某天晚上有20位顧客來到店裹買鞋，求下列機率： (l)恰有6位顧客使用信用卡。 (2)至少有3位顧客但不超過6位顧客使用信用卡。 (3)至少有9位顧客不是使用信用卡。 (4)使用信用卡付款人數的期望值。 n= 20 k P 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.99 0.8179 0.3585 0.1216 0.0115 0.0008 1 0.9831 0.7358 0.3917 0.0692 0.0076 0.0005 2 0.9990 0.9245 0.6769 0.2061 0.0355 0.0036 0.0002 3 0.9841 0.8670 0.4114 0.1071 0.0160 0.0013 4 0.9974 0.9568 0.6296 0.2375 0.0510 0.0059 0.0003 5 0.9997 0.9887 0.8042 0.4164 0.1256 0.0207 0.0016 6 0.9976 0.9133 0.6080 0.2500 0.0577 0.0065 7 0.9996 0.9679 0.7723 0.4159 0.1316 0.0210 8 0.9999 0.9900 0.8867 0.5956 0.2517 0.0565 0.0051 0.0001 9 0.9520 0.7553 0.4119 0.1275 0.0171 0.0006 10 0.9994 0.9829 0.8725 0.5881 0.2447 0.0480 0.0026 11 0.9949 0.9435 0.7483 0.4044 0.1133 0.0100 12 0.9987 0.9790 0.8684 0.5841 0.2277 0.0321 0.0004 13 0.9935 0.9423 0.7500 0.3920 0.0867 0.0024 14 0.9984 0.9793 0.8744 0.5836 0.1958 0.0113

10.設X與Y皆為二項分配，且互為獨立，其中X～B(4,0.3)，X～B (3,0.4)。令Z=X+Y，試求P(Z=1)。