数学实验 李尚志 教授 中国科学技术大学 数学系
何谓“数学实验” 对数学进行折腾 连蒙带猜找规律 从问题出发，学生自己动手、动眼、动脑，借助于计算机（成千上万次折腾），进行视觉的、数值的、符号的折腾 尝试数学的探索、发现和应用
实验一：微积分基础 利用Mathematica 1.1 函数图象： 画函数 y=f(x) 在区间[a,b] 上的图象的语句: Plot [ f [x], {x,a,b} ]
sin(x)及其Tylor逼近。 sin(x)+sin(3x)/3+… sin(1/x)在x=0附近的性状。
Sin(x) 及其 Tylor 逼近 2019/5/26
sin x+sin3x/3+…+sin nx/n 2019/5/26
彩色图象 Plot[f[x],{x,a,b}, PlotStyle -> {RGBColor[1,0,0]} ] RGBColor 表示红、绿、蓝三色的比例。
求根、求最小值 FindRoot[f[x],{x,a}] 求f(x)在 x=a 附近的根。 FindMinimum[f[x],{x,a}] 求f(x)在 x=a 附近的最小值点。
Sin (1/x) 在 x=0 附近 2019/5/26
画数据点集合 d=Table[{1/n,Sin[n]}, {n,1,1000}] (定义点集） ListPlot[d] （画出点集） Show[fg1,fg2] (几个图象重新显示在同一坐标系里）
Sum[f[k],{k,1,n}] (求和） Product[f[k],{k,1,n}] (求积） f[x_,n_]:= (定义 x,n 的函数）
Table[{1/n,Sin[n]}, {n,1,10000}] 2019/5/26
1.2 数 e 以 e= 2.71828… 为底的 对数称为自然对数 你觉得自然吗 ？
编制对数表 以10为底的对数表 真数 1 10 100 … … 对数 0 1 2 … … lg 2= ? 问题：跳跃太大！
对数表的构造 以1.001为底 真数 1 1.001 … 1.99901 2.00101 对数 0 1 … 693 694 真数 … 9.99264 10.0026 … 对数 … 2303 2304 …
计算lg2 (线性插值) 真数 1.99901 2 2.00101 对数 693 ? 694 log1.0012 = ? = 693 + (2 -1.99901) / (2.00101 - 1.99901)=693.495 同理 log1.00110 = 2303 + (10 - 9.99264) / (10.00264 - 9.99264) = 2303.74 lg2= log1.0012 / log1.00110=0.30103 lg2 精确值 0.3010299956…
自然对数 log1.00110=2303.74 ，log1.0012=693.495 对数值太大！同除以1000 （ log1.00110）/1000=2.30374=logb10 b=1.0011000=2.71692 取 (1+1/n)n 作对数的底，n越大越好。 e = limn (1+1/n)n = 2.71828… 以e为底的对数称为自然对数
对数与指数函数的导数 以10为底的对数 y=lg x 在 x=1处的导数k=limt0 lg(1+t)/t = ? 函数 y = (lg x)/k = logb x 在 x=1处的导数等于 1, 其中 b = 10k = ? y=10x 在 x=0 的导数：q= limx0 (10x-1)/x . y=10x /q 的导数=1= limx0 (10x-1)/qx= limt0 (ct -1)/t 即 y= ct 的导数，c=101/q =?.
1.4 调和级数 与 ln x 相比较 c = limn (H(n) - ln n) 称为 欧拉常数 1.4 调和级数 H（n）= 1+1/2+… +1/n 的图象 与 ln x 相比较 c = limn (H(n) - ln n) 称为 欧拉常数
网址： 202.38.68.76/~mathexp/ 网上实验室 或：http://www.ustc.edu.cn 院系介绍数学系常用连接 网上数学实验 2019/5/26
The End 再见 2019/5/26