發表於2005物理教學示範暑期研討會，國立清華大學物理系主辦 (2005/8/25~26) 速度與速率的迷思 發表於2005物理教學示範暑期研討會，國立清華大學物理系主辦 (2005/8/25~26)

速度和速率有什麼不同？ 速度，不知道！ 速率，沒聽過！ 物理教科書 速度是快慢的意思吧？速率…不知道，不太清楚？ 一樣吧？！ 向量, 有方向 純量, 沒方向 velocity speed 速度是快慢的意思吧？速率…不知道，不太清楚？ 一樣吧？！ 老師都說速度等於距離除以時間，但有的課本是寫速率 速度有方向，速率沒方向 速度和位移有關，速率和路徑長有關。 速度，不知道！ 速率，沒聽過！ 國 一 學 生 文 組 生 國 三 生 理 組 生 小 學 生

velocity 和speed， 哪一個比較常聽到？ 速度和速率， 哪一個比較常聽到？ 速度 velocity 速率 speed 速度。 速率？不知道是什麼意思？ speed 。velocity很少見，應該是專業名詞吧？ 速度。 速率沒聽過 速度 speed 速度 speed 速度 物 理 老 師 成 人 大 學 生 英 文 老 師 美 國 人 高 中 生 國 中 生 英 文 老 師 小 學 生

速度是velocity還是speed？ 從文字用語的瞭解，這真的是一個很有趣的問題。 在中文裡，我們慣用『速度』，而少用『速率』 在英文的使用上，卻是常用speed而少用velocity。 物理課本裡，速度是velocity，速率卻是speed。 國內研究學童這個概念的論文，有的用速度，有的用速率，連英文的對應也有稱speed是速度，velocity是速率的。 字典裡，velocity就是speed的意思，速度也稱速率。 學術用語和日常用語的混淆，對老師的教學及學生的學習，不會造成困擾嗎？是日常生活誤用了？還是物理課本錯了？ 從字源來說，velocity是15世紀左右從拉丁文來的，而speed只是日常的口語。十一世紀到十八世紀的學術著作，幾乎都是拉丁文寫的(如牛頓的《原理》)，或是翻譯成拉丁文，拉丁文是當時學術上的用語，這應該就是物理教科書中用v來代表速度或速率的原因。 高級中學基礎物理龍騰版: 一個質點的位置，隨著時間變動的快慢程度稱為速度(velocity)，速度也是位移對時間的變化率，其大小值稱為速率(speed)，不過在日常生活中這二個名詞常被混用。 英文字典(MSN)對velocity的解釋： speed：the speed at which something moves, happens, or is done. rate of change in position：a measure of the rate of change in position of something with respect to time, involving speed and direction. 國語日報辭典對於速度的解釋： 速度也稱速率，是物體運動所行的路程和所經過的時間的定率。也簡省作『速』，如音速、光速。

例題一：自強號火車 坐自強號火車從台北到花蓮要花3小時，請問自強號的平均速度和平均速率分別是多少？ 題目 根據課本的定義，平均速度等於台北到花蓮的位移(117公里) 除以3小時等於 39公里/小時，還要寫出方向。 平均速率是實際台北到花蓮的路徑長(196公里) 除以3小時，算出來的數值(65.33公里/小時)。 作法 討論 39公里/小時和65.33公里/小時，哪一個能代表火車運動的快慢？ 應該是平均速率(65.33公里/小時)才有實質的意義吧！ 物理課本定義『平均速度』的目的何在？

例題二：秒針 一時鐘之秒針長為10cm，則秒針由10走到12期間，針尖之平均速度大小為多少cm/s？ 題目 位移 10 12 一時鐘之秒針長為10cm，則秒針由10走到12期間，針尖之平均速度大小為多少cm/s？ 題目 這一題的答案要用秒針的位移(10cm)除以時間(10sec)，所以答案是1cm/s，別忘了要寫方向喔！ 作法 討論 這題的目的是讓學生熟悉平均速度的定義。 但是，如果把題目改成秒針從9走到12，或者從6走到12，算出來的平均速度的大小都會不同。 難道是要解釋為秒針繞一圈時，走的快慢不同？還是說『平均速度』的大小不能代表運動的快慢，課本有這麼說的嗎？ 您能想得出來，問題的癥結在哪裡嗎？

例題三：上山下山 山路長3公里，小明上山花了2小時，下山花1小時(原路折返)，請問小明的速度是多少？ 題目 以國小六年級的數學來算，來回山路的總長(6公里)除以上下山總共花的時間(3小時)，因此答案是2公里/小時。 作法 討論 國小裡的速度，其實就是物理課本裡的平均速率。 如果這一題是放在國三或高中的考卷裡，學生就應該要回答，平均速度是0，平均速率是2公里/小時。可能還會有人把上山的平均速率(1.5公里/小時)和下山的平均速率(3公里/小時)加起來除以2得到2.25公里/小時。 同樣的題目，卻有好幾種不同的答案，問題出在哪裡？再說，速度的定義，國小和國中不一樣，數學和物理也不同，是不是不合乎九年一貫的精神？

例題四：速度與速率 甲速度10公尺/秒向東，乙速度10公尺/秒向北，則下列敘述何者正確？ 題目 (A)兩者速度相同，速率不同 (B)兩者速率相同，速度不同 (C)兩者速度與速率都不同 (D)兩者速度與速率都相同 題目 甲 乙 作法 答案(B) 速度的大小即速率，故兩者速率相同。因方向不同，故速度不同。 討論 速度的大小一定就是速率？那為什麼前三個例題的速度大小都不等於速率？

奇怪？為什麼要定義速度是位移除以時間？ 平均速度，能代表運動的快慢？ 平均速度的定義和生活經驗相矛盾。為什麼物理課本要這樣訂？ 10 12 9 6 一時鐘之秒針長為10cm，則秒針由10走到12期間，針尖之平均速度大小為1cm/s。 一時鐘之秒針長為10cm，則秒針由 9走到12期間，針尖之平均速度大小為0.9428 cm/s。 一時鐘之秒針長為10cm，則秒針由 6走到12期間，針尖之平均速度大小為1.3333 cm/s。 三題的答案都不一樣，難道秒針會忽快忽慢？ 我爬山這麼辛苦，速度是0？結果跟沒爬一樣！ 山路長3公里，小明上山花了2小時，下山花1小時(原路折返)，小明的平均速度是0 公里/小時。 台北到花蓮位移117公里 坐自強號火車從台北到花蓮要花3小時，自強號的平均速度是39公里/小時。 算位移？是自強號還是直昇機？ 這麼慢？不會吧？！

平均速度定義為位移除以時間並不奇怪 瞬時速度的二個概念： 平均速度定義為位移除以時間並不奇怪，是我們所舉的例題把它弄奇怪了。 在時間很短很短的情況下，二點之間的路徑長就趨近於位移，這時的平均速度稱為瞬時速度。因此，平均速度的定義是為了讓學生瞭解瞬時速度的一個過渡，這是『逼近』的概念，在微積分裡是非常重要的基本概念。 瞬時速度的二個概念： 時間的逼近：在時間很短的情況下(△t →0 ) 長度的逼近： 單向直線運動，根本不需要考慮這個問題，因為位移本來就等於路徑長。 直線往返運動，並不適合用來講解『路徑長』接近『位移』。 應以二維運動為例，讓學生明瞭『路徑長』接近『位移』的意義。 時間的逼近和長度的逼近，哪一個比較難？

位移和路徑長：該強調它們的不同？還是它們什麼時候會接近？ 筆者認為，老師及教科書應該多舉適當的例子讓學生瞭解及體會，在時間很短的情況下，路徑長會很接近位移，而不是故意舉長時間長距離的例子（如台北到花蓮的自強號、秒針的平均速度、上山下山問題）來強調路徑長和位移的不同，因為在這些情況下，平均速度通常是沒有什麼物理意義的。 長度的逼近，並不難瞭解 阿基米德用內接多邊形和外接多邊形來估計圓周率(西元前三世紀) (三國時代的數學家劉徽,西元263年) “割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣！”

瞬時速度與平均速度的迷思 瞬時速度其實就是時間很短時的平均速度。 只要把這句話背起來就懂了嗎？ 瞬時速度概念是學習加速度概念的基礎。 時間的逼近比較困難 瞬時速度其實就是時間很短時的平均速度。 只要把這句話背起來就懂了嗎？ 研究指出，大一理工科系的學生，有約50%堅信在等加速度直線運動中，二點間的平均速度等於位置中點的瞬時速度。 另一項研究顯示，只有低於20%的高中生能夠提出方法測量小球從斜面滾下來時通過某一點的瞬時速度。 B E D C A 瞬時速度概念是學習加速度概念的基礎。 物理上的各種運動，如自由落體、拋體運動、圓周運動、簡諧運動等，也都需要瞬時速度的概念作基礎。牛頓當年就是從『時間取無窮小』的概念出發而發展出微積分。 因此，適當的利用變速度運動的例子，讓學生真正體會瞬時速度的意義是非常重要的。（注意：這和直接教微積分的意義是不同的！）

位移的迷思 物理老師常會強調位移和路徑長的不同，以讓學生明瞭速度和速率的不同。 其實，直線往返運動和二維運動的位移概念是不太相同的。 二維平面運動的位移問題： 從A逆時鐘跑到B，位移是多少？ （宜結合『極限概念』，讓學生明瞭位移在什麼情況下可以很接近路徑長） 甲 乙 丙 丁 戊 一維往返運動的位移問題： 若路線是甲→丁→丙→戊→甲，位移是多少？ （這稱為『位移組合概念』，根據研究，有超過三分之一的國三學生，不知道在這一題中向上走的路和向下走的路是一樣多的）

平均速度與平均速率 / 平均速度與瞬時速度 運動的分類 平均速度和平均速率 平均速度與瞬時速度 直線單向運動 二者大小相等 平均速度與平均速率 / 平均速度與瞬時速度 運動的分類 平均速度和平均速率 平均速度與瞬時速度 直線單向運動 二者大小相等 在等加速度直線運動中，二點間的平均速度不等於位置中點的瞬時速度 直線往返運動 (如上山下山問題) 二者大小不相等 適合舉例來說明平均速率 不適合用來凸顯位移和路徑長的不同。可以用來讓學生練習『位移組合概念』。 不適合用來算平均速度，因為所算出來的平均速度不能代表運動的快慢。 不適合用來凸顯位移和路徑長的不同或相同。 二維運動 (如跑操場、秒針問題) 不適合用來算平均速度，因為所算出來的平均速度不能代表運動的快慢 宜結合『極限概念』，可以讓學生明瞭二者為何可以視為相等。（不要用長時間長距離的情況下來強調它們的不同）

物理課本對速度與速率的定義 國小六年級和國一的數學，教的是速度=距離÷時間，其實就是公式(1)，但和物理課本使用的名稱不同。 (2) (1) (3) (4) 討論 國小六年級和國一的數學，教的是速度=距離÷時間，其實就是公式(1)，但和物理課本使用的名稱不同。 和公式(2)有關的例題，在長時間或長距離的情況下，會造成很多和課本說法及和日常生活的概念相矛盾的結果（如本文所舉的例題）。因為它只是教瞬時速度的過渡，不應特別太過於強調，以免矯枉過正。 在『瞬時』的情況下，公式(3)和(4)的所算出來的值應該是一樣的，因此公式(3)有點累贅。

狂想？ 一個大膽的建議 刪 掉 距離 速度 (2) (1) (3) (4) 在日常生活中，『距離』通常指的就是路徑長。當時間取得很短很短時，二點之間的『距離』可以用二點之間的直線距離（即位移）來代替。因此，將公式(1)(4)都改用『距離』。這樣可以和國小數學及生活上的用語都達到一致。 公式(2)只是教瞬時速度概念的過渡，因此刪掉並併入公式(4)中。 在瞬時的情況下，公式(3)和(4)是一樣的，因此刪掉公式(3)。 在日常生活中，『速率』很少使用，『速度』比較常用。因此，將公式(1)改為平均速度，這樣可以和國小數學及生活上的用語都達到一致。 說明

狂想？ 如果能重新這樣定義的話 教學上要說明： 如果能這樣子定義，可以解決本文所提到的一些矛盾： (average velocity) (instantaneous velocity) (5) (6) 教學上要說明： 當時間取得很短很短時，二點之間的距離可以用二點之間的直線距離（即位移）來代替。 瞬時速度是一個向量。 如果能這樣子定義，可以解決本文所提到的一些矛盾： 速度和速率，velocity和speed的意思其實都是一樣的，只是白話和文言的差異罷了。 (物理老師就可以不必一直強調速度與速率的不同) 物理課本的定義和數學課本的定義一致。(符合九年一貫的精神) 物理課本的定義不會與日常生活習慣或字典的說法不符。 (學生就比較不容易混淆了） 特別說明 必也正名乎？以上的狂想只是筆者個人的想法，僅提供讓大家思考與討論！

省思（速度與速率的迷思） 必也正名乎？ 以『壓力』和電動勢(electromotive force)為例。 修改課本裡長年來習慣使用的定義，當然是阻力重重。但是，如果教師能明瞭問題所在，應該可以化解因為名詞定義與概念或習慣不同所造成的認知衝突。 孔恩在《科學革命的結構》一書中指出，今日吾人對科學的認識，常受限於教科書中所呈現的看法。我們應該多去瞭解這些概念在發展時的意義，舉適當的例題幫助學生概念發展，而不是讓一些不適當的例題偏離了這些概念的初衷。 速度的相關概念，對各個階段的學生來說，都有相當的學習困擾。根據筆者訪談的經驗，除了物理老師及物理相關專業的人士之外，大多數人連速度和距離及時間的關係是什麼都搞不清楚，更別提速度和位移的關係了。老師那麼努力的教，為什麼好像船過水無痕，學生全忘光了？這才是最值得物理老師們省思的。