第四节 微分 函 数 的 微 分 微分的定义 微分的几何意义 基本初等函数的微分公式 基本初等函数 的微分公式与 微分的运算法则 第四节 微分 微分的定义 微分的几何意义 函 数 的 微 分 基本初等函数的微分公式 基本初等函数 的微分公式与 微分的运算法则 和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则 微分的近似计算 微分在近似计算中的应用 误差估计
一.微分的定义： x0 1.实例——函数增量的构成 函数的增量由两部分构成：
2、微分的定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义， 区间内，如果函数的增量 可表示为 （1） 其中 是不依赖于 的常数，而 是比 高阶无穷小， 那么称函数 在点 是可微的，而 叫做函数 相应于自变量增量x的微分， 记作dy，即： 及 在这 定义
3、问题：函数可微的条件是什么？ 设函数 在点 可微, 则有(1)成立，即 等式两端除以 于是, 当 时, 由上式就得到 因此, 如果函数 在点 可微， 则 也一定可导, 且 根据极限与无穷小的关系, 上式可写为 反之, 如果 在 存在, 可导, 即
则 故上式相当于(1)式, 在点 可微。 则 4.函数可微的充要条件： 函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 即 如函数 的微分为 显然，函数的微分 与 和 有关。
5、微分的几何意义 T y N P M0 Q O x0 x 当 很小时，
例1 求函数 解 函数 例2 求函数 解 先求函数在任意点的微分
通常把自变量的增量称为自变量的微分.记作 即 则函数 的微分又可记作： 这表明, 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫“微商”. 导数（微商）即微分之商。
二.基本初等函数的微分公式与微分运算法则 1. 基本初等函数的微分公式 导数公式 微分公式
2.函数的和、差、积、商的微分法则
函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则 3. 复合函数的微分法则——微分公式的形式不变性。 由此可见，无论是自变量还是中间变量的可微函数，微分形式 保持不变 。 这一性质叫做微分形式不变性。
4、利用微分公式的形式不变性计算 利用微分公式的形式不变性，不仅可以求函数的微分，而且 可以求导数，只要把微分运算进行到只剩自变量的微分，就可以 得到函数的导数。 例3：
利用微分公式的形式不变性，求隐函数的微分和导数的步骤： 1、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行 到dy、dx 。 2、分别按照dx、dy合并同类项。 得到g1(x,y) dy = g2 (x,y) dx 3、
例4 求 解 把2x+1看成中间变量u ，则 在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。 例5 求 解
例6 求 解 应用积的微分法则得： 例7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。 解: (1)因为
三、 微分在近似计算中的应用 例1： 解：
例2： 解：
在 式中，取 得 利用上式可导出工程上常用的几个公式 （ ）： 假定 很小
例3 解 例4 解