第12章 导体电学 Conductor electricity (Conductor electricity) (4)

导体的静电平衡状态—导体内部和表面都没有电荷作宏观定向运动的状态 。 §12-1 静电场中的导体(金属导体) 一 .导体的静电平衡条件 导体的静电平衡状态—导体内部和表面都没有电荷作宏观定向运动的状态 。 Eo 图12-1 静电感应 导体内部的场强: =0 外 感

2.静电平衡下的导体是等势体,其表面是等势面。 因此,导体处于静电平衡的条件是 1.导体内部的场强处处为零, 即 。 =0 2.导体表面附近的场强方向垂直于导体表面。 导体处于静电平衡只需:10-14~ 10-13s! 二.静电平衡下导体的性质 1.导体内部的场强处处为零。 2.静电平衡下的导体是等势体,其表面是等势面。 a b c 图12-2

s 三 .静电平衡下,实心导体所带的电荷只能分布在导体的表面上 q =0 即任一闭合曲面内均无净电荷，所以电荷只能分布在外表面上。 图12-3 =0 s 即任一闭合曲面内均无净电荷，所以电荷只能分布在外表面上。 四.导体表面附近的场强 (p171) E 图12-4  (12-1) 方向：垂直于导体表面。

五.尖端放电 导体表面上的电荷面密度与曲率成正比。 导体表面曲率半径愈小处(即曲率愈大处),电荷面密度愈大，电场也愈大，以致空气被击穿，从而形成尖端放电。 在高压设备中,为了防止因尖端放电而引起的危险和漏电造成的损失,输电线的表面应是光滑的。具有高电压的零部件的表面也必须做得十分光滑并尽可能做成球面。与此相反,人们还可以利用尖端放电。例如,火花放电设备的电极往往做成尖端形状,避雷针也是利用尖端的缓慢放电而避免“雷击”的。

(2)空腔所带电荷只能分布在外表面上, 内表面上无电荷。 q §12-2 静电场中的空腔导体 一.腔内无电荷 图12-5 s (1)导体内的场强处处为零。 (2)空腔所带电荷只能分布在外表面上, 内表面上无电荷。 =0 空腔内表面可否有等量异号电荷呢？ a b a b 这表明，空腔内表面根本就无电荷(等量异号也不可能)。

如果把仪器放入此导体空腔中, 则不会受到任何外电场的影响。这就是静电屏蔽原理。 (3)空腔内空间中的场强处处为零。 图12-5 如果把仪器放入此导体空腔中, 则不会受到任何外电场的影响。这就是静电屏蔽原理。 .a .b (4)空腔导体(包括空腔中的空间)是一个等势区。

(2)腔内有带电体q的导体空腔若带电Q, 则空腔内表面带电-q, 空腔外表面带电q+Q。 二.腔内有电荷 (1)导体内的场强处处为零。 (2)腔内有带电体q的导体空腔若带电Q, 则空腔内表面带电-q, 空腔外表面带电q+Q。 q+Q 图12-6 q S q Q 则空腔外表面就为q+Q。 (3)空腔内的空间中存在电场。 (4)空腔导体本身是一个等势体, 而空腔中各点的电势一般是不同的。

解 设四个表面上的面电荷密度分别为1、2 、3和4 ,如图12-7所示，则 例题12-1 A、B为平行放置的两块大金属平板,面积为S,相距d, A板带电QA, B板带电QB,求两板各表面上的电荷面密度及两板间的电势差(忽略金属板的边缘效应)。 A B d 图12-7 s 解 设四个表面上的面电荷密度分别为1、2 、3和4 ,如图12-7所示，则 1 2 3 4 (1+ 2)S=QA P1 P2 (3+ 4)S=QB P1点: P2点:

(1+ 2)S=QA s (3+ 4)S=QB 1 2 3 4 d 解上面四个式子得 (相对面等量异号) A B P2 P1 图12-7 s P1 P2 解上面四个式子得 (相对面等量异号)

讨论：若QA=-QB (电容器带电时就是这样)，则 1 2 3 4 A B d 图12-7 s P1 P2 两板间的电场： 两板间的电势差为 讨论：若QA=-QB (电容器带电时就是这样)，则 1=4=0，

则C板右面将带电-q1，B板左面将带电-q2。显然 q1 q2 q1+q2= q (1) -q1 -q2 根据题意：uA-uB=uA-uC 例题12-2 A、B、C是三块平行金属板，面积均为S=200cm2, d2=4.0cm, d1=2.0cm，如图12-8所示。设A板带电q=3.0×10-7C, 不计边缘效应，求B板和C板上的感应电荷，以及A板的电势。 解 设A板左面带电q1，右面带电q2; 图12-8 C A B d1 d2 则C板右面将带电-q1，B板左面将带电-q2。显然 q1 q2 q1+q2= q (1) -q1 -q2 根据题意：uA-uB=uA-uC

q1+q2= q (1) q1 q2 -q1 -q2 (2) d1 d2 解式(1)、(2)得： 图12-8 C A B d1 d2 q1 -q1 q2 -q2 (2) 解式(1)、(2)得： q1=2.0×10-7C, q2=1.0×10-7C。 A板电势：

例题12-3 如图12-9所示，一内外半径分别为R1、R2的金属球壳，带有电量q2, 球心有一点电荷q1,设无穷远为电势零点，求金属球壳的电势。 解 电荷在金属球壳上怎样分布？ 内表面: -q1 , 外表面: q1 +q2 。 金属球壳的电势, 由电势叠加原理得： q1+q2 -q1 图12-9 o R1 R2 q1. r 或

例题12-4 如图12-10所示，一内外半径分别为a、b的金属球壳，带有电量Q；在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q。设无穷远为电势零点，求球壳上的电荷分布及球心的电势。 解 由静电感应知： 球壳内表面带电-q; q+Q 图12-10 q r o a b 球壳外表面带电q＋Ｑ。 q 由电势叠加原理，球心的电势：

解 内球表面带电q1,外球壳内表面带电-q1,外球壳外表面带电q1+q2。 　 例题12-5 两同心金属球壳，半径分别为R1、R2、R3 ，如图12-11所示;内球带电q1, 外球壳带电q2。求空间电势分布及两球的电势差。　 q1 -q1 q1+q2 　解 内球表面带电q1,外球壳内表面带电-q1,外球壳外表面带电q1+q2。 图12-11 R2 R3 o R1 0r  R1: . r

R1 r  R２: q1+q2 -q1 q1 R2 r  R3: r  R3: 两球的电势差： R3 r R2 r o R1 图12-11 R2 R3 o R1 q1 -q1 q1+q2 r r R2 r  R3: r  R3: 两球的电势差：

第13章 电 介 质 (Dielectric) (4)

电介质(绝缘体)和导体的主要区别是：导体中有可以自由移动的电子，而电介质中正、负电荷束缚很紧,没有可以自由运动的电荷 。 §13-1 电介质的极化 电介质(绝缘体)和导体的主要区别是：导体中有可以自由移动的电子，而电介质中正、负电荷束缚很紧,没有可以自由运动的电荷 。 电介质分为两类:有极分子电介质和无极分子电介质。 有极分子电介质：正、负电荷重心不重合,而相隔一固定的距离,一个分子就形成一个电偶极子。 电矩：pe=ql 图13-1 -q +q l 无极分子电介质的正、负电荷重心重合，固有电矩为零。

无极分子电介质的正负电荷受电场力的作用而发生微小位移, 成为在外电场方向排列的电偶极子。 在外电场的作用下, 无极分子电介质的正负电荷受电场力的作用而发生微小位移, 成为在外电场方向排列的电偶极子。 在外电场的作用下, 有极分子电介质在外电场的力矩作用下也转向沿外电场的方向, 如图13-2所示。  E 图13-2 无论是有极分子电介质还是无极分子电介质，在外电场的作用下，电介质表面附近的电荷会越过介质表面而在均匀电介质的表面上出现一层束缚(极化)电荷。这种现象称为电介质的极化。 结果：

式中r称为相对介电常数，由介质特性确定。 §13-2 极化强度和极化电荷 体积V中分子电矩的矢量和 体积V (13-1) 极化强度: 实验证明: (13-2) 式中r称为相对介电常数，由介质特性确定。 在电介质表面上取一面元dS, 并在电介质中沿极化强度方向取一如图13-3所示的斜柱体。 图13-3 dl dS P   由于极化,表面附近分子的正、负电荷重心将越过dS而成为表面的极化电荷。

即电介质表面的极化电荷面密度等于该处极化强度的法向分量 。 此斜柱体相当于一个电偶极子，其电矩为 =(柱内分子电矩的矢量和) 斜柱体体积：dV=dSdlcos 图13-3 dl dS P   于是极化强度为 束缚(极化)电荷面密度为  =Pcos=Pn (13-3) 即电介质表面的极化电荷面密度等于该处极化强度的法向分量 。

由此可知,通过电介质中某一闭合曲面S的P通量 就等于 因极化而越过此面的极化电荷总量。 显然，由于极化而越过dS的极化电荷为 dq=  dS =PdScos =P.dS P.dS 称为通过面元dS的元通量。  =Pcos 由此可知,通过电介质中某一闭合曲面S的P通量 就等于 因极化而越过此面的极化电荷总量。 图13-3 dl dS P   因为电介质是中性的,由电荷守恒定律可知，由于极化而留在封闭面S内的极化电荷总量应为 (13-4)

§13-3 电介质中的静电场 (13-5) 电介质中的高斯定理应写为  (13-6) 电介质的场强：E= Eo + E 自由电 荷产生 §13-3 电介质中的静电场 电介质的场强：E= Eo + E (13-5) 自由电 荷产生 极化电 荷产生 电介质中的高斯定理应写为  (13-6) 自由 电荷 极化 电荷

§13-4 电位移矢量 一、电位移矢量  (13-6) 而 (13-4) 令: 式中D 称为电位移矢量。

二、高斯定理的电位移表述 (13-7)  此式说明:通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭曲面所包围的自由电荷的代数和。 三、D和E的关系

由电介质中的高斯定理容易证明：在无限大均匀电介质中(或两等势面间充满均匀电介质)的电场： 因为 所以 (13-8)  叫做电介质的介电常数 。 由电介质中的高斯定理容易证明：在无限大均匀电介质中(或两等势面间充满均匀电介质)的电场： (13-9) 式中Eo是真空中(自由电荷产生)的电场。

例题13-1 一带正电荷q,半径为R1的金属球,被一内外半径分别为R1和R2(R1<R2)的均匀电介质同心球壳包围,已知电介质的相对介电常数为r ,介质球壳外为真空,求: (1)空间的电场分布; (2)球心o点的电势; (3)电介质球壳内表面上的极化电荷总量。 解 (1)电介质中的高斯定理 图13-4 R1 R2 o q r 取半径r的球面为高斯面，有 D4 r2

D4 r2 = 图13-4 R1 R2 o q r

图13-4 R1 R2 o q r

(2)取无穷远处为电势零点,则球心o的电势可由定义式求得 图13-4 R1 R2 o q r

(3)电介质球壳内表面的极化电荷面密度 ：  =Pcos = -P = -o(r –1)E2 所以电介质球壳内表面的极化电荷总量是 图13-4 R1 R2 o qo r P

电容在国际单位制(SI)中的单位: F(法拉)。1F=106μF=1012pF 。 §12-3 电容器和它的电容 一 .孤立导体的电容 q V 图12-12 (12-2) 电容在国际单位制(SI)中的单位: F(法拉)。1F=106μF=1012pF 。 二 .电容器的电容 电容器—任意形状的两个导体的集合。 设电容器两个极板带有等量异号的电荷+q和-q, 两板间的电势差(电压)为U , A B 图12-13 则该电容器的电容为 +q -q U (12-3)

要注意,电容器的电容C只决定于两导体的形状、大小、相对位置和周围电介质的性质,与电容器是否带电无关。 三 .电容器的串联和并联 (1)串联 (12-4) C1 C2 Cn 图12-14 特点：各电容器上的电量相等。 C1 C2 Cn 图12-15 (2)并联 C=C1+C2+…+Cn (12-5) 特点：各电容器上的电压相等。

例题12-6 求如图12-16所示的平行板电容器的电容。 解 设两极板分别带电± , 板间真空中的电场： 例题12-6 求如图12-16所示的平行板电容器的电容。 解 设两极板分别带电± , 板间真空中的电场： r t d 图12-16 S A B  板间介质中的电场： 两板间的电势差： 由定义式 , 该电容器的电容：

r t d 图12-16 S A B 讨论 :(1)对真空电容器, 有 (2)对充满电介质的电容器, 有 (12-6) (12-7)

(3)若记住了式(12-6)，本题也可用串联公式求解。 r t d 图12-16 S A B

例题12-7 圆柱形电容器由两个同轴的金属圆筒组成。设圆筒的长度为L, 两筒的半径分别R1和R2,两筒之间充满相对介电常数为r的电介质，如图12-17所示。求这电容器的电容。(忽略圆柱两端的边缘效应) 解 设同轴圆筒分别带电± ， r 图12-17 L R1 R2 + -

根据 q=CU，由于电容器组上的电压U不变， C增大， q就增大(即各串联电容器上的电量q都增大)。 例题12-8 两个空气电容器C1和C2串联后与电源连接，再把一电介质板插入C1中，问：电容器组的总电容C、C1和C2上的电量、电势差如何变化？ 解 串联电容器组的电容为 C1 C2 图12-18 U r 插入介质板后，C1增大，所以C增大。 根据 q=CU，由于电容器组上的电压U不变， C增大， q就增大(即各串联电容器上的电量q都增大)。 因为q增大，由q=CU知，C2上的电压增大； 而总电压U不变，故C1上的电压减小。

因而静电平衡下的导体中无电荷作宏观定向运动，即导体中无电流。 §12-4 传导电流 在静电平衡下, 导体内部的场强处处为零。 因而静电平衡下的导体中无电荷作宏观定向运动，即导体中无电流。 若将导体的两端接到电源上, 导体中便有持续的电流，这种存在导体中的电流称为传导电流。 一 .电流密度 在稳恒电流的情况下，一条导线中各处电流强度相等，与导线的横截面积无关。 I S 图12-19

电流密度矢量 J 的大小等于垂直于电流方向流过单位面积的电流强度,方向与该点正电荷的运动方向(即该点的场强方向)相同。 I S 图12-19 电流密度矢量 J 的大小等于垂直于电流方向流过单位面积的电流强度,方向与该点正电荷的运动方向(即该点的场强方向)相同。   (12-8)

例题12-9 设导体中载流子的电量为q,单位体积内的载流子数为n,平均漂移速度为，求导体中的电流密度。 解 凡在此柱体内的电荷在单位时间内都会通过S面，所以 S 图12-20 I I=n sq 故电流密度为 j=nq (12-9)

在导体中取一如图所示的极小的直圆柱体 , 由欧姆定律有 二.欧姆定律的微分形式 在导体中取一如图所示的极小的直圆柱体 , 由欧姆定律有 dS dl V V+dV 图12-21 dI (12-10)  是导体的电导率。

一个电容器充电后，接上外电路，要维持电路中的稳恒电流,就要有一种非静电力不断地将正电荷从负极搬运到正极。 §12-5 电源的电动势 一个电容器充电后，接上外电路，要维持电路中的稳恒电流,就要有一种非静电力不断地将正电荷从负极搬运到正极。 在这个过程中，非静电力克服静电力所作的功，就转换为电路中的电能。电源就是这种装置。 I 图12-22 为了描述电源把其他形式的能量转变为电能的本领,引入电动势的概念：将单位正电荷绕闭合电路一周的过程中,电源中的非静电性电场力所作的功, 称为电源的电动势。

对非静电力只存在部分电路(电源内部)的情况，电动势应为 则电源的电动势为 用Ek表示电源内的非静电性电场， (12-11) 对非静电力只存在部分电路(电源内部)的情况，电动势应为 I 图12-22 (12-12) 这个式子的意义是：将单位正电荷经电源内部从负极移到正极的过程中,电源中的非静电性电场力所作的功,就是电源的电动势。

我们通常把电源内从负极指向正极的方向, 也就是电势升高的方向, 规定为电动势的方向。 1.电动势是标量,但有方向。 I 图12-22 我们通常把电源内从负极指向正极的方向, 也就是电势升高的方向, 规定为电动势的方向。 2.电动势的表示法 图12-23 §12-6 恒 定 电 流 电 路 定 律 (自学)

把一个电容为C的电容器接到电源上充电,这个过程实质上是电源逐步把正电荷从电容器的负极搬运到正极的过程。 §13-6 电场的能量 一.电容器的储能 把一个电容为C的电容器接到电源上充电,这个过程实质上是电源逐步把正电荷从电容器的负极搬运到正极的过程。 在此过程中, 外力(电源中的非静电力)克服静电力所作的功, 就以电能的形式储存在电容器中。 设某一瞬时,电容器两极板的带电量分别为+q和-q,而极板间的电势差为U, 那么电源将电荷dq由电容器负极板搬运到正极板时所作的功 q 图13-5 dq

在极板上的电荷由零增加到Q的过程中电源所作的总功 利用Q=CU,可以得到电容器的储能公式为 (13-10) dq 图13-6 Q

电场是具有能量的。下面以平行板电容器为例研究它的计算公式。 二 .电场的能量 电场是具有能量的。下面以平行板电容器为例研究它的计算公式。 图13-7 q S d 电场的能量密度(即单位体积内储存的电能): (13-11) 上式表明：电能是储存在电场中的。就是说，场是能量的携带者。

例题13-2 一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两板间充满各向同性、均匀电介质，则电容C、电压U、电场强度的大小E、电场能量W四个量各自与充介质前比较，增大()或减小()的情况为 (A) C, U, E, W (B) C, U, E, W (C) C, U, E, W (D) C, U, E, W

例题13-3 一电容器的电容C1=20. 0F，用电压Uo=1000V的电源对其充电，然后断开电源，再与另一个未充电的电容器(C2=5 例题13-3 一电容器的电容C1=20.0F，用电压Uo=1000V的电源对其充电，然后断开电源，再与另一个未充电的电容器(C2=5.0 F)两端相连，求:(1)连接后两电容器所带的电量、电压及储存的电能；(2)两电容器连接过程中损失了多少电能？ 解 (1) C1充电后带电： C1 +q -q C2 q=C1Uo=2.0×10-2C q1+q2= q 并联时两电容器上的电压相等： C1 +q1 -q1 C2 +q2 -q2 解得: q1=1.60×10-2C, q2=0.40×10-2C

q1=1.60×10-2C, q2=0.40×10-2C C1=20.0F， C2=5.0 F， Uo=1000V 而 (2)两电容器连接过程中损失的电能为 问题：损失的电能到哪里去了？

例题13-4 一球形电容器由两个同心导体球壳组成，其间充满相对介电常数为r的各向同性均匀电介质，外球壳以外为真空。内球壳半径为R1，带电量为q1；外球壳内、外半径分别为R2和R3，带电量为q2。求：(1)空间的电场分布；(2)该电容器的电容；(3)电介质中的电场能量。 q1 -q1 q1+q2 解 (1)由高斯定理： R1 R2 R3 r 图13-8 o o

r q1+q2 dr -q1 q1 q1 电容为 r (3) 电介质中的电场能量： 电场能量也可用下式求得： (2)两球的电势差为： R3 图13-8 o q1 -q1 q1+q2 r dr 电容为 q1 (3) 电介质中的电场能量： 电场能量也可用下式求得：

例题13-5 假设从无穷远处陆续移来微量电荷使一半径为R导体球带电。 (1)当导体球上已带有电荷q时，再将一个电荷元dq从无穷远处移到球上的过程中，外力作多少功？ (2)使球上电荷从零开始增加到Q的过程中，外力作多少功？ 解 (1)外力的功： (2)