簡介與使用說明 『數學的學習注重循序累進的邏輯結構』 為使初學幾何者更有效率學習所整理的簡報教材， 儘可能使用直觀的「操作模式」來引導、解說圖形性質。 使用說明： 這是 Power Point 2002 簡報檔，動畫表現還可接受， 按滑鼠左鍵或右鍵便能持續進行， 「大綱」是學習順序與該頁的說明重點、 有些補充說明或教學心得可參考或記錄在「備忘稿」。 再提供適時的GSP圖檔強化或輔助操作說明。 【連結GSP使用說明頁】 『大綱』、『投影片』、『備忘稿』、『GSP圖檔』 四者相輔相成，互補短長。 『數學的學習注重循序累進的邏輯結構』是「數學領域--九年一貫綱要 」中第一項「基本理念」中的第一句話。

簡要說明 「圓」是「圓周」、「圓形」的簡稱，也是常使用到，且又具備良好「對稱性」的簡單幾何圖形中之一種。 本單元除了認識與「圓」有關的名稱之外，還會介紹找圓心與畫圓的方法。 「弧」是圓的一部分，是組合成「扇形」與「弓形」的要件。在討論與圓有關的角度（圓心角、圓周角）時，也要以所對的弧來確定對象。 定義了弧的度數之後，可更方便的計算與比較圓周角、圓心角、…等的度數。 等圓周角作圓有其實用性（翰林版），說明其道理的同時，順便可以得到「四點共圓」的條件。

圓的定義 圓：在平面上，所有與一固定點（圓心）等距離（半徑） 的點所形成的圖形。【圓圈部分】 圓心是圓內部一點，通常記為O點，而圓的名稱就以圓心 名稱命名之（例如：圓O）。 通常使用「圓規」工具畫圓，因其原理合乎定義，所作出來的圖形確定是「圓」。 A 又使用半徑相等的圓規 畫出來的兩圓會全等 ，稱為「等圓」。 O

半徑、弦、直徑 半徑：圓心與圓上任一點的連接線段。 例如： 弦：連接圓上相異兩點的線段。（0＜弦長≦直徑） 例如： 半徑：圓心與圓上任一點的連接線段。 例如： 弦：連接圓上相異兩點的線段。（0＜弦長≦直徑） 例如： 直徑：通過圓心的弦，是半徑的兩倍長。 例如： AB BC OA A C O B

點與圓的位置關係 以點到圓心的距離來判斷該點是在圓內、圓上或圓外。 G S P 點與圓的位置關係 以點到圓心的距離來判斷該點是在圓內、圓上或圓外。 如圖，圓O與P點位置關係與半徑r有關： (1) 　 ＜r  P點在圓O內。 (2) 　 ＝r  P點在圓O上。 (3) 　 ＞r  P點在圓O外。 OP O P 又P點與圓O上的任一點Q連接的線段 有長、有短，你知道如何連接 可得到最長、最短的線段呢？ O 本說明可參考「GSP」動畫。 r r P P點到圓O的最短距離是 －r ， 最長距離是 ＋r 。 分別在圓O與直線OP的交點處，則P、Q、O三點共線， 否則，合乎三角形的「兩邊和＞第三邊（ ）＞兩邊差」。 OP PQ

弧 圓上任意兩點（或弦）分圓成兩部分，每一部份稱為弧； 比半圓大的稱為優弧，比半圓小的稱為劣弧， 而直徑所對的弧稱為「半圓」。（劣弧＜半圓＜優弧） 如圖所示，使用弧兩端的點名稱，配合 符號來稱呼弧。 如果沒有特別規定，通常所指稱的弧，指的是劣弧。 所以，也常在弧上多取一點，方便明確表示該弧的路徑。 AB 　 除了表示圖上的位置之外， 還可以表示長度（弧長） ，例如： ＝10。 也可以表示度數（弧度） ，例如： ＝60°。 O C A B D ADB ACB 或 AB

圓心角與圓周角-(1) 圓心角：是兩相異半徑所形成的角（圓心是頂點）； 圓周角：是共端點的兩弦所形成的角（頂點在圓上）。 G S P 圓心角與圓周角-(1) 圓心角：是兩相異半徑所形成的角（圓心是頂點）； 圓周角：是共端點的兩弦所形成的角（頂點在圓上）。 在圖形上，都會有圓心角或圓周角所對的弧；也會有弧所對的圓心角與圓周角。 每個弧，只能對應一個圓心角，但可對應無限多個圓周角。 反過來說，每個圓心角，只有一個對應的弧； 每個圓周角，也只有一個對應的弧。 B O D A C

弧的度數-(2) 因為與圓有關的角度都與所對應的弧有關，定義弧的度數之後，可更方便彼此比較與列式。 與角的度數大小定義相同，弧的度數也是由等分而來， 將圓等分成360份，每一等分的弧定為1度。 但如何量取弧的度數呢？ 因為弧與圓心角是 1對1 關係，將圓360等分的同時， 也產生360等分的圓心角（每一等分的圓心角是1度）。 所以，弧與圓心角有相同的「等分對應」，圓心角的度數，就是弧的度數。 或說 弧的度數就是所對圓心角的度數。 所以還是使用「量角器」，量取「弧」所對的圓心角度數。 弧的度數與圓的半徑大小是無關的 （因為等分）。

G S P 等弧對等圓周角-(3) 比較對同弧的圓心角與圓周角的關係，可分成三種圖形（圓心在圓周角的邊上、內部、外部）分別推算而得「對同弧的圓心角度數是圓周角度數的２倍」。因此透過圓心角的轉換 ，可知對同弧的所有圓周角都會相等。 C B A O C B A O C B A O 本說明可參考「GSP」動畫，確實知道就是「三種」情形。 僅僅用到「外角定理」、「等腰三角形底角相等」與「等量公理」的比較，看懂圖形不是難事。 一弧所對圓周角的度數是它所對圓心角（弧）度數的一半 ，即∠ABC＝ ∠AOC＝ 。 AC

同弧與等弧-(4) 同弧：是指「同一個弧」的意思。 等弧：是指在同一個圓中的兩個相等的弧；或是 在不同的兩個等圓中的兩個相等的弧。 等弧：是指在同一個圓中的兩個相等的弧；或是 在不同的兩個等圓中的兩個相等的弧。 常在敘述中會提到「同弧」或「等弧」，先解釋一下。 「等弧」可經由平移與旋轉後得到重合成為「同弧」，等弧所對的角（圓心角或圓周角等）也就成為同弧所對的角，所以「等弧」與「同弧」具有相同的性質。

半圓（直徑）所對的圓周角-(5) 如圖， 是圓O的直徑，點C、E、F在圓周上， 則∠ACB、∠AEB、∠AFB的度數為何？ G S P 半圓（直徑）所對的圓周角-(5) 如圖，　 是圓O的直徑，點C、E、F在圓周上， 則∠ACB、∠AEB、∠AFB的度數為何？ AB O C B A E F 因為半圓度數是180度， 所對的圓周角是90度。反之， 90度的圓周角所對的弧是半圓（直徑）。 所以，又多知道了一種 作垂直線（直角）的方法； 推廣：已知直角三角形斜邊， 則直角頂點會落在以斜邊為直徑所畫出的圓上。

G S P 圓內角與圓外角-(1) 圓上的弧所對應的角，頂點在圓上是圓周角； 頂點在圓內是圓內角（兩弦相交於內部一點形成的角）； 頂點在圓外是圓外角（兩弦延長線形成的角）。 利用外角定理， 可推算出對同弧（同弦）的圓內角＞圓周角＞圓外角。 本說明可參考「GSP」動畫。 僅要明白「圓內角＞圓周角＞圓外角」即可，不需推演與所夾兩弧的度數關係。 「外角定理」是比較的工具，既重要又容易明白，應該要教、要會。

等圓周角作圓-(2) 反之，若一個角的度數不等於對同弧的圓周角，則該角的 頂點不可能會落在該弧的圓上。【參閱備忘稿】 G S P 等圓周角作圓-(2) 反之，若一個角的度數不等於對同弧的圓周角，則該角的 頂點不可能會落在該弧的圓上。【參閱備忘稿】 由對同弧的圓內角＞圓周角＞圓外角，直接逆向思考： (1) 大於圓周角的角，其頂點必在該弧的圓內； (2) 小於圓周角的角，其頂點必在該弧的圓外。 (3) 等於圓周角的角，其頂點必在該弧的圓上。 A B C 對同弧的圓內角＞圓周角＞圓外角，其頂點位置已經區隔分明，所有頂點在圓內的圓內角就是大於圓周角，所有頂點在圓外的圓外角就是小於圓周角。 因為「頂點位置已經區隔分明」，如同之前「中垂線性質」的（與三一律有關的歸謬證題法），還是可以很直觀的認為：大於圓周角的角，其頂點必在該弧的圓內；小於圓周角的角，其頂點必在該弧的圓外；那等於圓周角的角，其頂點必在該弧的圓上囉。 結論： 對同弧（線段）且度數相等的角， 其頂點會在同一圓上。 明白等圓周角的性質之後，才可利用等圓周角畫圓（弧）。

等圓周角作圓的方法-(3) 當無法使用圓心時，可用等圓周角作圓（弧）。 G S P 等圓周角作圓的方法-(3) 當無法使用圓心時，可用等圓周角作圓（弧）。 (1) 先決定兩固定點與圓周角。 (2) 將圓周角的內側兩邊 分別緊靠兩固定點， 筆尖放在圓周角內部頂點處。 (3) 移動圓周角，則可畫出圓弧。 本說明可參考「GSP」動畫。 圓周角的邊總有寬度，使用圓周角內側緊靠固定點，誤差會較小。 圓周角作圓弧，所『不能畫出』的圓弧部分，恰是圓周角所對的弧。 問題： (1) 另外一小部分的弧該如何完成？ (2) 圓周角的大小與所畫出的弧有何關係？

弧長、扇形、弓形-(1) 弧長是指長度，以所佔圓周長（2πr）的比率計算之， 與半徑大小有關。 兩半徑與弧形成扇形；弦與弧形成弓形。 O B A C 扇形面積依據在圓面積（πr2） 所佔的比率計算之； 弓形面積依據圖形觀察是扇形面積 減去（加上）三角形面積而得。 提供常見的「弧長、扇形、弓形」圖形，可參考「GSP」動畫。 比率：依據弧長與圓周長或圓心角與周角的比值而得。

三角形與圓弧-(2) 某些由「圓弧」所作出的圖形，或要求面積、或要求周長，但經過適當的分割組合，可以簡化求解過程。 G S P 三角形與圓弧-(2) 某些由「圓弧」所作出的圖形，或要求面積、或要求周長，但經過適當的分割組合，可以簡化求解過程。 例如：試求下列圖形的周長。 該如何分割與組合呢？

G S P 方形與圓弧-(3) 例如：試求下列圖形的面積。 該如何分割與組合呢？

又若以直徑為線對稱軸，對稱後的圖形可推得： 兩圓相切時，圓心與切點會在連心線上。 G S P 圓弧與圓弧-(4) 例如：三個半圓周長的和＝大圓周長。 該如何解釋說明呢？ 又若以直徑為線對稱軸，對稱後的圖形可推得： 兩圓相切時，圓心與切點會在連心線上。

找圓心的方法 直徑通過圓心，所以兩相異直徑的交點就是圓心 。 方法一： 圓是對稱圖形（點對稱、線對稱），任取圓上的弦將弦對摺或直接將圓對摺後，都可捏出直徑。 方法二： 使用直角工具畫出直徑。（圓周角90度） 方法三：（八九年級課題） 尺規作圖：任作兩條弦的中垂線。 圓心與弦的端點連線是為半徑（相等） ，故圓心在弦的中垂線上

三點共圓、四點共圓-(1) 通過不在同一直線的相異三點（三角形）可作出 唯一的一個（外接）圓。 習慣上，稱為「三點共圓」。 通過不在同一直線的相異三點（三角形）可作出 唯一的一個（外接）圓。 習慣上，稱為「三點共圓」。 在圓上任取相異四點依序連接可得圓的內接四邊形， 而圓稱為四邊形的外接圓。 圓的內接四邊形對角和＝180度（利用弧的度數計算）。 圓的內接梯形必是等腰梯形； 圓的內接平行四邊形必是矩形。 梯形兩底平行，又是圓上的弦，將弦對摺得到「線對稱」，所以圓的內接梯形是等腰梯形。 圓內接平行四邊形合乎「對角互補」、「對角相等」條件，所以內角都是90度，是為矩形。 並非任意四邊形都有外接圓， 作四邊形外接圓的方法與三角形相同。

四點共圓的條件-(2) 如圖，圓內接四邊形有下列性質（特性）： (1) 對角和＝180度（互補） (2) 同弧（線段）對等圓周角 (2) 在九年級時稱為：「等弦」對「等圓周角」。 還是由圓的內接四邊形的性質逆向思考， 驗證：若四邊形合乎「對角互補」或「同線段對等角」時， 會不會四點共圓？

G S P 對角互補則四點共圓-(3) 要驗證 「對角互補」則四點共圓 的條件，步驟如下： (1) 先做出通過A、B、D三點的圓，接著討論第四個點C在什麼 條件之下也會落在同一圓上。 (2) 在圓上取一點E，做為　　所對的圓周角∠BED，由 「圓內角＞圓周角＞圓外角」，可知當∠BCD＝∠BED時， C 點才會在同一圓上。 (3) 因為∠A＋∠E＝180°，當∠A＋∠C＝180°，即對角互補時 ，可推得∠BCD＝∠BED（等圓周角）。 此時，C 點也在 A、B、D 的圓上， 即 A、B、C、D 四點共圓。 BAD 本說明可參考「GSP」動畫。 A D B C C E C 結論：若四邊形合乎「對角互補」 ，則會四點共圓。

同線段對等角則四點共圓-(4) 如圖， 所對的∠B與∠C相等，則A、B、C、D四點共圓。 G S P 同線段對等角則四點共圓-(4) 如圖，　　所對的∠B與∠C相等，則A、B、C、D四點共圓。 說明步驟如下：（與等圓周角作弧的結論相同） (1) 先做出通過A、B、D三點的圓，接著討論第四個點C在 什麼條件之下也會落在同一圓上。 (2) ∠B是　　所對的圓周角，由 「圓內角＞圓周角＞圓外角」，可知當∠C＝∠B時， C 點就會在同一圓上。 AD A B C D 本說明可參考「GSP」動畫。 結論：如圖，若四邊形合乎「同線段 對等角」（∠B＝∠C）， 則會 A、B、C、D 四點共圓。

謝謝瀏覽　歡迎建議與指教 ◎ 合理的「操作（非實測）」可以觀察圖形性質的產生 或變化，進而培養了幾何推理與邏輯思考的能力，有 助於往後「推理證明」的學習。 ◎ 「直觀操作」與「推理證明」兩者可以相輔相成，在 八九年級時可引導將「操作」轉換成「推理證明」的 敘述。所以，本簡報檔也適用於九年級預習或複習。 ◎ 提供另類方法給您參考，歡迎建議與指教，集思廣益 下，相信您可以找到更好的解說方式，也會有更理想 的內容增減取捨安排。 ◎ 完全開放式的 PPT 與 GSP 檔，可視您的需要自行加 以增減修正，謝謝您的瀏覽與指教。 結束

GSP使用說明頁 左上角的「GSP」是放置在「投影片母片」的「超連結」 設定，可隨時點選呼叫「圖檔全集」。 欲返回 Power Point 只要按 GSP 視窗的「最小化」按 鈕即可。 (4) 可在 www.keypress.com/sketchpad/evaluation 下載安 裝 DEMO 檔（V4.0版，有使用期限、且無存檔功能）， 但不影響圖檔的執行。 (5) GSP圖檔內容請看「Geo_05.gsp」目錄頁。 (6) 感謝「九章出版社」同意提供 GSP 4.06D.exe 程式。 各人「GSP」程式版本或有不同，連結設定請自行修改，自己覺得方便就好。 返回