第三章 圆 第三节 圆周角和圆心角的关系(一)

回顾与思考 O 圆心 如图1 ,∠AOB是 角。 A B C 如图2 , AB=CD ,则∠AOB与∠COD的大小关系是： 。 相等 O D

用心想一想，马到功成 在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。

用心想一想，马到功成 如图，当他站在B，D，E的位置射球时,对球门AC的张角的大小相等吗？ 你能观察到这三个角有什么共同特征吗?

用心想一想，马到功成 为解决这个问题我们先来研究一种角。 观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ A B C

用心想一想，马到功成 观察图中的∠ABC，可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。 A B C 请同学们考虑两个问题： （1）顶点在圆上的角是圆周角吗？ （2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？ 为解决这个问题，我们先回答下面的问题。

下列各图形中的角是不是圆周角？请说明理由。 A B C D E 由圆周角的定义可知，只有C是圆周角，其它都不是。 你能总结出圆周角的特征吗？ 圆周角有两个特征： ①角的顶点在圆上； ②两边在圆内的部分是圆的两条弦。

用心想一想，马到功成 我们再来研究圆周角的性质。 为了解决这个问题，我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。 请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。 A C

用心想一想，马到功成 归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。 A A C A C C O O O B B B ① ③ ② ①∠ABC的一边BC经过圆心O。 请问∠ABC与∠AOC它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同伴进行交流。 ②∠ABC的两边都不经过圆心O。 ③∠ABC的两边都不经过圆心O。

下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。 ∵ ∠AOC是△ABO的外角， B A O C ∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。 ∵ OA=OB， ∴ ∠ABO=∠BAO。 ∴ ∠AOC=2∠ABO， ∴ ∠ABC= ∠AOC。 1 2 如图,我们可以观察到∠AOC是△ABO的外角，∠ABC是△ABO的一个内角，它们两者存在一定关系.

下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。 ∵ ∠AOC是△ABO的外角， B A O C ∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。 ∵ OA=OB， ∴ ∠ABO=∠BAO。 ∴ ∠AOC=2∠ABO， ∴ ∠ABC= ∠AOC。 1 2 那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时，∠ABC与∠AOC又有怎样的大小关系呢？ A B C O B A C O

我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。 也就是借用直径，连接BO并延长，与圆相交于点D。 ∵ ∠1是△ABO的外角， ∴ ∠1=∠2+∠3。 ∵ OA=OB， ∴ ∠2=∠3。 ∴ ∠1=2∠2， ∴ ∠2= ∠1。 1 2 （此时我们得到与图①同样的情形） D A B C O B A O C ① 1 3 2 5 4 1 2 同理, ∠4= ∠5。 ∴ ∠2+∠4= （ ∠ 1+∠5） 。 ∴ ∠ABC= ∠AOC。

如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形） A C O ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠AOD=∠A+∠ABO。 ∵ OA=OB， ∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD， ∴ ∠ABD= ∠AOD。 1 2 B A O C ① D

如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形） A C O ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。 ∵ OA=OB， ∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD， ∴ ∠ABD= ∠AOD。 1 2 B A O C ① D 同理 , ∠CBD= ∠COD。 1 2

如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形） A C O ∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。 ∵ OA=OB， ∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD， ∴ ∠ABD= ∠AOD。 1 2 B A O C ① D 同理 , ∠CBD= ∠COD。 1 2 ∴ ∠ABD－∠CBD= ∠AOD－ ∠COD = （∠AOD－∠COD）。 ∴ ∠ABC= ∠AOC 1 2

认真观察，探求结果 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。 通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结果？ A B C O B A C O B A O C 一半 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。

一题多变 如图，在⊙O中，∠BOC=50°， 则∠BAC= 。 25° B C A O 点拨：此题要选择关键点：∠BOC与∠BAC对着BC，因此∠BOC等于∠BAC的2倍。

一题多变 如图，在⊙O中，∠BOC=50°， 则∠BAC= 。 B C 25° A O 变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上的三点， ∠BAC=40°，则∠BOC= 。 80° A B C O 变化题2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC= 。 50° 由∠BAC=40°可得∠BOC=80°，再由△BOC是等腰三角形可求得∠OBC。

请同学们认真观察∠AOB与∠ACB，∠BOC与∠BAC的关系。 开拓创新 试一试 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC， ∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？ A B C O 答：∠ACB=2∠BAC.理由是: ∵∠AOB=2∠ACB ∠BOC=2∠BAC ∠AOB=2∠BOC ∴2∠ACB =2（2∠BAC） ∴∠ACB=2∠BAC 请同学们认真观察∠AOB与∠ACB，∠BOC与∠BAC的关系。

由∠BCD=100°，我们可求出对应的圆心角∠1是200° ，则∠BOD就可求。 大胆尝试，练一练！ 如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100° ， 求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。 A B C D O 解：∵∠BCD=100° ∴∠1=200° ∴∠BOD=360°－200°=160° 1 由∠BCD=100°，我们可求出对应的圆心角∠1是200° ，则∠BOD就可求。

观察∠BOD与∠BAD的关系就可以求∠BAD的大小。 大胆尝试，练一练！ 如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100° ， 求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。 A B C D O 解：∵∠BCD=100° ∴∠1=200° ∴∠BOD=360°－200°=160° 1 ∴∠BAD= ∠BOD= ×160°=80° 1 2 观察∠BOD与∠BAD的关系就可以求∠BAD的大小。

课内拓展延伸 1.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特点?相互之间有什么关系? 答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心;圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 2.课后思考 如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小相等吗？为什么？

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