本章大綱 7.1 Integration by Parts 分部積分 7.2 Trigonometric Substitution and Trigonometric Integral 三角換元法及三角函數積分 7.3 Integration by Partial Fractions 部分分式積分法 7.4 Improper Integral瑕積分

7.1 Integration by Parts 分部積分 7.1.1 Basic Integration Formulas 積分公式

作積分問題時，我們可嘗試將被積函數表示乘積分公式中的形式， 再套公式求出積分。

例題1. 用換元法簡化被積函數 Evaluate 。 解： 。(公式4) 令 ，則

例題2. 用配方法簡化分母 Evaluate . 解： 令 , ，則

例題3. 先將次方展開再用三角恆等式化簡 Evaluate . 解： ，又 (公式1，8，10)

例題4. 消除根式 Evaluate . 解： 因為 ，所以

例題5. 簡化分式 Evaluate . 解： 因為 ，所以

例題6. Evaluate . 解： 令 ，則 或 故 又 因此

例題7. Evaluate . 解： 令 ，則

7.1.2 Integration by Parts 3.1.1導數的幾何意義

例題8. Find . 解： 令 , ，則 , .

例題9. Find . 令 , ，則 , . 解： 有時需多次使用分部積分法或混合使用其他方法才能解決問題。

例題10. Evaluate . 解：

例題11. Evaluate . 解：

7.1.3Integration by parts formula for Definite integrals

例題12. Find the area of the region bounded by the curve and the from to . 解：

7.1.4 Tabular integration 列表積分 則

例題13. Evaluate . 解：

例題14. Evaluate . 解：

7.2 Trigonometric Substitution and TrigonometricIntegral 三角換元法及三角函數積分 當被積函數是複雜的三角函數的組合時，我們通常需利用三角恆等式處理，使其符合積分公式的形式後才能積分。 7.2.1 關於積分 或 做變換 或 把它化為 或

例題1. Evaluate . 解：

7.2.2 Form

例題2. Find . 解：

例題3. Find (1) (2) . 解： (1)

解： (2)

7.2.3 Form

例題4. Find (1) (2) . 解： 令 ，所以 (1)

(2) 解： (令 )

例題5. Find (1) (2) . (1) 解： 令 ，則 ，又 所以

令 則 (2) 解： 因此

7.2.4 Forms , , . 我們可以用下列的積化和差三角公式―來計算

例題6. Find (1) (2) . (1) 解： (2)

例題7. Calculate . 因為 所以 於是 解：

7.2.5 Trigonometric substitutions

例題8. Evaluate . 解：

例題9. Prove . 證明：

例題10. Prove . 證明：

例題11. Find the area enclosed by the ellipse 解：

例題12. Find . 解：

7.2.6 Form .

例題13. Find . 解： 對三角函數有理式的積分都可以用變量代 但這種變量代換法不一定是最簡單的。

例題14. Find . 解：

7.3 Integration by Partial Fractions 部分分式積分法

例題1. 將下列有理式表為部分分式之和 (1) (2) (3) 解： (1)

(2)

(3)

7.3.2 Integration by Partial Fractions 簡單的分式類型有

例題2. Find . 解：

例題3. Find . 解：

例題4. Find . 解：

例題5. Find . 解：

7.3.3 Form (1) (2) 型(1) 可設 並將積分函數改寫成 的函數。

例題6. Find . 解：

例題7. Find . 解：

例題8. Find . 解：

例題9. Evaluate (a) (b) (c) (d) 解：

(b) 解： (b)

(c) 解： (c)

(d) 解： (d)

例題10. Evaluate . 解：

例題11. Evaluate . 解：

例題12. Find . 解：

例題13. Evaluate (1) (2) . 解：

解：

例題14. Calculate . 解：

誤解：

例題15. Evaluate (1) (2) . 解：

解：

例題16. 定積分公式 證明：

因此

其中 a 為任意常數。 [這一等式指出，週期為T的連 續函數，在任一長度為 T 的區間上的積分值都相等。 . 例題17. (1) Calculate . (2) 設 是週期為 T 的連續函數，則 其中 a 為任意常數。 [這一等式指出，週期為T的連 續函數，在任一長度為 T 的區間上的積分值都相等。 .

解： (1)

解：(2)

7.4 Improper Integral瑕積分 在定積分時，我們總是設定積分的區間是有限的，而被積函數 ( 如果可積的話 ) 一定是有界的，但不論是理論上或實際應用上都需要去掉這兩個限制，也就是把定積分的概念擴大為： (1)無窮 ( 即：積分區間無限 ) 的積分 (2)無界函數的積分 本節將分別討論這兩個問題

7.4.1 Improper Integral – type 1 (infinite intervals)

說明：

我們已知：

例題1. Evaluate (1) (2) . 解：

解：

7.4.2 定理 說明：

7.4.3 Improper Integral of type 2

例題2. Evaluate . 解：

例題3. Evaluate . 解： 注意：

例題4. Show that is convergent when and divergent when 。 證明：

例題5. Evaluate . 解：