微積分 Chapter3 微分的應用 Good morning everyone. 國立高雄第一科技大學機械與自動化工程系

微分的應用 3.1 極大和極小值 3.2 均值定 3.3 導數和函數的圖形 3.4 函數圖形的描繪 3.5 最佳化問題 3.6 牛頓法 3.7 反導數

3.1 極大和極小值 如圖1所示為極大直和極小值示意圖，其中 為極大值 ， 為極小值。 圖1 極大和極小值示意圖

定義一(I) 極大值(maximum value) ： 在任意定義域 D中如果函數 f 的 x 滿足下列式： f (c) ≧ f (x) 即函數 f 在 x＝c 時會有絕對極大值(absolute maximum)或稱全域極大值(global maximum)，換句話說f (c)就是函數 f 在定義域D中的極大值(maximum value)。

定義一(II) 極小值(minimum value) ： 任意定義域 D中如果函數 f 的 x 滿足下列式： f (c) ≦ f (x) 即函數 f 在 x＝c 時會有有絕對極小值(absolute minimum)或稱全域極小值(global minimum)，換句話說f (c)就是函數 f 在定義域D中的極小值(minimum value)。 上述的最大和最小值稱為 f 的極值(extreme values)。

定義二 極大值(maximum value) ： 函數 f 對c點附近之 x 都滿足下列式： f (c) ≧ f (x） 即稱 f 在 c 點有區域極大值(local maximum)或稱相對極大值(relative maximum)。 極小值(minimum value) ： f (c) ≦ f (x) 就說 f 在 c 點有區域極小值(local minimum)。

極小值 由圖2為極小值示意圖可知，當x＝0且y＝0時，則極小值為0且沒有極大值。 圖2 極小值

無極大極小值 如圖3所示為無極大極小值示意圖，由圖3可知任意x點與任意y點無法得到極大值與極小值。 圖3 無極大極小值

定義三 極值定理： 函數 f 在一封閉區間[a, b]中連續，則在[a, b]中存在二個值c、d使得f (c)為絕對極大值且f (d)為絕對極小值，如圖4所示。 （a） （b） 圖4 極值定理

定義四 費馬定理： 函數 f 在c點有區域極值，且存在 ，則 如圖5所示，雖 然 但無極大極小值。 如圖6所示，雖有極小值但 不存在。 如圖5所示，雖 然 但無極大極小值。 如圖6所示，雖有極小值但 不存在。 圖5 無極大極小值 圖6 極小值

定義六、七 定義六： 函數 f 在c點使導數 或 不存在時，稱 c 點是函數 f 的一個臨界點(critical point)。 定義七：

閉區間法 依造下列1至3步驟，可求出連續函數 f 在封閉區間[a, b]之絕對極值： 步驟一：在(a, b)的臨界點上求得函數 f 的函數值。 步驟二：求函數f 在端點的值。 步驟三：藉由步驟一和步驟二得到的值中，其最大的值就是 絕對極大值；其最小的值就是絕對極小值。

3.1 習題 請找出下圖中函數的相對和絕對極值。

3.2 均值定理(I) 洛爾( Rolle)定理 ： 假設函數 f 滿足下列三個條件： 條件一：函數f 在封閉區間[a, b]連續。 條件三： 函數f (a)等於函數f (b) 則在(a, b)中存在一c點滿足函數 。

均值定理(II) 如圖7所示，均符合洛爾( Rolle)定理條件一至條件三： （a） （b） （c） 圖7 洛爾定理

均值定理(III) 均值定理(Mean Value Theorem): 當函數 f 滿足下列條件時： 條件一：函數f 在封閉區間[a, b]連續。 條件二：函數f 在封閉區間[a, b]可微。 則在(a, b)區間中存在一c點滿足下列式子： 1. 2.

定理與引理 定理： 若函數 f 在(a, b)區間中，其任一x點都滿足下列式： 則函數 f 在(a, b)是一常數函數。 引理： 如果二個函數 f 和 g 在區間(a, b)中的任一數 x 都滿足 則函數f - g在(a, b)上是一常數函數；換句話說存在一常數c形成下列式： f (x)=g (x) + c

3.2 習題 於函數 f 之圖形中求出c點，其必須在 [0,8]區間中且滿足均值定理：

3.3 導數和函數的圖形 圖8 導數與函數圖形

遞增與遞減 遞增與遞減之檢定： (a)函數 f 如果在區間上滿足下列式： 則函數 f 在這區間是遞增函數。 (b)函數 f 如果在區間上滿足下列式： 則函數 f 在這區間是遞減函數。

一階導數 一階導數之檢定 ： 假設c是連續函數 f 的一臨界點： (a)如果 則函數 f 在c點上有區域極大值。 (b)如果

區域極大極小值 如圖9所示為區域極大值，如圖10所示為區域極小值。 圖10 區域極小值 圖9 區域極大值

無區域極值 如圖11所示為無區域值 （a） （b） 圖11 無區域極值

上凹 上凹(concave upward) ： 函數 f 於I 區間中之圖形如圖12所示，如果都位於任一條切線於上方，稱函數 f 在 I 是上凹(concave upward)的。 圖12 上凹圖

下凹 下凹(concave downward)： 函數 f 於I 區間中之圖形如圖13所示，如果都位於任一條切線於下方，稱函數 f 在I是下凹(concave downward)的。 圖12 下凹圖

定義 反曲點(inflection point) ： 函數 y = f (x)的圖形於P點改變其凹性 (由上凹變下凹或下凹變上凹)稱為反曲點(inflection point)。 函數凹性的檢定： (a)函數 f 在I區間中之任一點滿足下列式： 則函數 f 在 I 中是上凹的 (b)函數 f 在I區間中之任一點滿足下列式： 則函數 f 在 I 中是下凹的

二階導數 二階導數之檢定： 如果函數 在c點附近是連續的。 (a)若 且 則函數 f 在c點有區域極小值。 (b)若 且

3.3 習題 如右圖所示為函數 之圖形。 (a) 函數 f 於何處是遞增的？為什麼？ (b)函數 f 於何處有區域極值 如右圖所示為函數 之圖形。 (a) 函數 f 於何處是遞增的？為什麼？ (b)函數 f 於何處有區域極值 (c)函數 f 於何處是上凹的？在於何處下凹的？ (d)當x於何處會有反曲點？為什麼？

3.5 最佳化問題 絕對極值的一階導數檢定： 若c點是函數 於一區間中之一臨界點： (a)所有x < c如果都滿足下列式： 3.5 最佳化問題 絕對極值的一階導數檢定： 若c點是函數 於一區間中之一臨界點： (a)所有x < c如果都滿足下列式： 而對所有x > c都滿足下列式： 則函數 f (c)就會是函數 f 的一個絕對極大值。 (b)如果對所有x < c如果都滿足下列式： 則函數 f (c)就會是函數 f 的一個絕對極小值。

3.5 最佳化問題(I) P(x)=xQ(x) 商業上之應用： 如果生產x單位商品其它的成本函數(cost function)為W(x) ，則它的導函數 就是邊際成本函數(marginal cost function) 。 以市場角度來看，假設該商品之定價為Q(x)時可以售出x單位，該函數Q 稱需求函數(demand function)（或可稱價格函數(price function)）。如果商品以價格Q(x)賣出x單位，則總收入為下列式： P稱為收益函數(revenue function)，它的邊際收益函數(marginal revenue function)為導數 ，換句話說是總收入相對於銷售量之變化率。 P(x)=xQ(x)

最佳化問題(II) 當商品賣出x單位時，則實際利潤為： C(x)= P(x) - W(x) 函數C稱為利潤函數(profit function)，其導數 則稱為邊際利潤函數(marginal profit function) 。

3.6 牛頓法 如圖13所示是藉由牛頓法所繪製出，其下列式子為牛頓法公式： （a） （b） 圖13 牛頓法

3.7 反導數 反導數 (antiderivative)： 如果函數F在I區間上，其任一x點之導數可表示為： 3.7 反導數 反導數 (antiderivative)： 如果函數F在I區間上，其任一x點之導數可表示為： 則函數F就稱為 f 之一反導數 (antiderivative) 如圖14所示。 圖14 反導數函數

反微分公式 函數 特殊反導數 cf（x） cF(X) cosx sinx f(x)+g(x) F(x)+G(x) -cosx sec2x secx tanx tanx secx