等差級數的和 自我評量

在下水道工程的工地旁放著一堆水管（如圖1-2） ，翰翰想知道這堆水管共有多少根。 第一層3根 第一層4根 第一層5根 第一層6根 第一層7根 第一層8根

我們將圖1-2 上下顛倒成為圖1-3，再將圖1-2、圖1-3 拼成圖1-4。

圖1-4 共有6列，每列都有11 根水管，總共有6× 11 根水管，而這恰好是圖1-2 的兩倍，所以圖1-2 中的水管共有 ＝33根。

被譽為「數學王子」的德國數學家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855），小時候就用過類似的方法。據說，在高斯十歲那年，有一天老師要求全班同學計算出1＋2＋3＋4＋5＋⋯⋯＋98＋99＋100 的和。當老師將題目寫完後不久，高斯就在他的小石板上寫出5050，並舉手告訴老師這個答案。你知道高斯是怎麼算出來的嗎？

要計算1＋2＋3＋⋯ ⋯＋98＋99＋100 的和，我們可以先假設 S＝1＋2＋3＋⋯⋯＋98＋99＋100， 同樣地，我們也可以寫成 S＝100＋99＋98＋⋯⋯＋3＋2＋1。 將兩式相加可得： ＋)

所以2S＝101 × 100 S＝ ＝5050

刻苦勤學的高斯 高斯出生於一個貧苦的家庭，他的父親從事園藝、建築等粗工。就像許多貧困的人們一樣，高斯的父親希望他長大後趕快賺錢，以便改善家庭經濟，因此從不鼓勵他學習高深的學問。

高斯從小就極為勤學，由於在校中的優異表現，高斯獲得學校老師的推薦，及費迪南公爵( Carl Wilheim Ferdinand )經濟上的資助，於1795 年進入哥庭根大學（Gottingen University）學習，1798 年轉入黑爾姆斯泰特大學（Helmstedt University），並完成《算術研究》一書（1801 年出版），1799年獲得博士學位。

高斯精通數種語言，在數學、天文學、電磁學、大地測量等領域都有相當重要的成就。德國人為了紀念這一位傑出的數學家，在紙幣上印有高斯的肖像，並發行過以高斯為主題的郵票。

將一個數列的各項用「＋」號連接，所成的式子稱為級數。例如，2, 4, 5, 7, 9 就是一個數列，2＋4＋5＋7＋9 就是一個級數。又如，2, 5, 8, 11, 14 是一個等差數列，2＋5＋8＋11＋14 就是一個等差級數。

一個級數中所有的項形成一個等差數列時，這個級數就稱為等差級數。即，當a1, a2, a3, ⋯⋯, an為等差數列時，則a1＋a2＋a3＋⋯⋯＋an為等差級數。

　　在高斯計算1＋2＋3＋4＋5＋⋯⋯＋98＋99＋100＝5050 的式子中，1＋2＋3＋4＋5＋⋯⋯＋98＋99＋100 是一個等差級數，5050 是這個級數的和。 仿照高斯的作法，我們也能求出任何等差級數的和。

1 求等差級數的和 試仿照高斯的作法，求下列各等差級數的和： (1) 3＋5＋7＋9＋11 (2)（－9）＋（－5）＋（－1）＋3＋7＋11

(1) 設S＝3＋5＋7＋9＋11 解 ＋) 所以2S＝14 × 5 S＝ ＝35 因此3＋5＋7＋9＋11＝35

(2)設S＝(－9)＋(－5)＋(－1)＋3＋7＋11 ＋) 所以S＝ ＝6 因此(－9)＋(－5)＋(－1)＋3＋7＋11＝6

試仿照高斯的作法，求下列各等差級數的和： (1) 98＋85＋72＋59＋46＋33 設S＝98＋85＋72＋59＋46＋33 ＋) 所以2S＝131 × 6 S＝393

(2) 52＋68＋84＋100＋116＋132＋148 設S＝52＋68＋84＋100＋116＋132＋148 ＋) 所以2S＝200 × 7 S＝700

最深奧的數學研究的全部結果，最終都一定可以表示成整數性質的簡單形式。 ——克羅涅克（Leopold Kronecker，1823-1891）

接下來，我們要仿照高斯的作法，推導出等差級數求和的公式。 設一個等差級數共有5 項，首項為 a，公差為 d，末項為 b，則此等差級數的和為 S5＝a＋（a＋d）＋（a＋2d）＋（a＋3d）＋（a ＋4d）……..

換個角度想，我們可將此等差級數看成首項為 b，公差為－d，末項為 a，則此等差級數的和為 S5＝ b＋〔b＋（－d）〕＋〔b＋2（－d）〕＋ 〔b＋3（－d）〕＋〔b＋4（－d）〕 ＝b＋（b－d）＋（b－2d）＋（b－3d）＋ （b－4d）…….

式加式可得 ＋) 共有5個(a＋b) 所以2S5＝5（a＋b） S5＝

若一個等差級數的首項為 a1，公差為 d，前n 項的和為 Sn，依上面的作法可得 ＋) 共有n 個(a1＋an)

所以2Sn＝（a1＋an） Sn＝ 等差級數的和＝ 。

2 利用公式Sn＝ 求和 試利用等差級數和的公式，求等差級數5＋8＋11 ＋14＋17＋20 的和。 解 首項a1＝5，項數n＝6，末項a6＝20。 由公式Sn＝ 得 S6＝ ＝75 即5＋8＋11＋14＋17＋20＝75

試利用等差級數和的公式，求等差級數23＋27＋31＋35＋39＋43＋47 的和。 a1＝ 23，n＝7，an＝47，代入公式Sn＝ 得 S7＝ ＝245

已知等差級數41＋38＋35＋⋯⋯＋5 ，求其項數與和。 3先求n，再代入公式Sn＝ 求和 已知等差級數41＋38＋35＋⋯⋯＋5 ，求其項數與和。 配合習作基礎題 1、 2

首項a1＝41，末項an＝5， 公差d＝38－41＝－3。 由1-1 節知an＝a1＋（n－1）d，得 5＝41＋（n－1）×（－3） 解 首項a1＝41，末項an＝5， 公差d＝38－41＝－3。 由1-1 節知an＝a1＋（n－1）d，得 5＝41＋（n－1）×（－3） n＝13 因此S13＝ ＝299 即41＋38＋35＋⋯⋯＋5＝299

1.求等差級數2＋6＋10＋⋯⋯＋42 的和。 a1＝2，d＝4，an＝42， 代入公式an＝ a1＋（n－1）d 得 42＝2＋（n－1）× 4 42＝2＋4n－4 n＝11 代入公式Sn＝ 得S11＝ ＝242

2.求等差級數5＋1＋（－3）＋⋯⋯＋（－39）的 和。 a1＝5，d＝－4，an＝－39， 代入公式an＝ a1＋（n－1）d 得 －39＝5＋（n－1）×（－4） －39＝5－4n＋4 n＝12 代入公式Sn＝ 得S12＝ ＝－204

設一等差級數的首項是29，末項是－22，和是63，求其項數與公差。 4 代入公式求項數與公差 設一等差級數的首項是29，末項是－22，和是63，求其項數與公差。 配合習作基礎題 3、4

設項數為n，公差為d。 由公式Sn＝ 得63＝ 7n＝126 n＝18 又－22＝29＋（18－1）d 17d＝－51 d＝－3 解 設項數為n，公差為d。 由公式Sn＝ 得63＝ 7n＝126 n＝18 又－22＝29＋（18－1）d 17d＝－51 d＝－3 an＝a1＋(n－1) d

設一等差級數的首項是－5，末項是135，和是1365，求其項數與公差。

a1＝－5，an＝135，Sn＝1365 ， 代入公式Sn＝ 得 1365＝ n＝21 代入公式an＝a1＋（n－1）d 得 135＝（－5）＋（21－1）d 135＝－5＋20d d＝7

由1-1 節我們知道an＝a1＋（n－1）d，代入 公式Sn＝ 得 Sn＝ ＝ 因此，在不知道末項an的情形下，我們也可以直 接由首項a1 、公差d與項數n求出等差級數的和。

設一等差級數的首項為3，公差為－2，求此等差級數前12 項的和。 5利用公式Sn＝ 求和 設一等差級數的首項為3，公差為－2，求此等差級數前12 項的和。 配合習作基礎題 5 解 首項a1＝3，公差d＝－2，項數n＝12。 由公式Sn＝ 得 S12＝ ＝－96 故前12 項的和為－96。

設一等差級數的首項為7，公差為3，求此等差級數前20 項的和。 a1＝7，d＝3，n＝20， 代入公式Sn＝ 得 S20＝ ＝ ＝710

6 代入公式求項數 設等差級數－2＋2＋6＋⋯⋯前n 項的和為126，求 n。

首項a1＝－2，公差d＝2－（－2）＝4。 第n 項an＝（－2）＋（n－1）× 4＝4n－6 由公式Sn＝ 得126＝ 126＝ 解一

首項a1＝－2，公差d＝2－（－2）＝4。 由公式Sn＝ 得126＝ 4n2－8n－252＝0 n2－2n－63＝0 解二 首項a1＝－2，公差d＝2－（－2）＝4。 由公式Sn＝ 得126＝ 4n2－8n－252＝0 n2－2n－63＝0 （n－9）（n＋7）＝0 n－9＝0 或n＋7＝0 n＝9 或n＝－7（不合）

1.等差級數1＋5＋9＋⋯⋯前n 項的和為153，求n。 a1＝1，d＝4，Sn＝153， 代入公式Sn＝ 得 153＝ n（2n－1）＝153，2n2－n－153＝0， （n－9）（2n＋17）＝0，n＝9 或－ (不合)

2.等差級數（－76）＋（－68）＋（－60）＋⋯⋯ 前 n 項的和為－384，求n。

a1＝－76，d＝8，Sn＝－384， 代入公式Sn＝ 得 －384＝ n（4n－80）＝－384，n2－20n＋96＝0， （n－8）（n－12）＝0，n＝8 或12

第1秒 4.9 公尺 7 等差級數的應用 一直昇機空拋救災物資，第 1 秒落下4.9 公尺，以後落下的距離每秒增加9.8 公尺（即第2秒落下4.9＋9.8＝14.7 公尺，第 3 秒落下4.9＋9.8＋9.8＝24.5公尺）。如果救災物資空拋 6 秒後剛好到達地面，求當時直昇機離地面的高度。 第2秒 14.7 公尺 第3秒 24.5 公尺

第 6 秒落下的距離為 4.9＋（6－1）× 9.8＝53.9（公尺） 所以救災物資每秒落下的距離依次為 其和為S6＝ ＝176.4（公尺） 解 第 6 秒落下的距離為 4.9＋（6－1）× 9.8＝53.9（公尺） 所以救災物資每秒落下的距離依次為 4.9 公尺、14.7 公尺、24.5 公尺、⋯ ⋯、53.9 公尺， 其和為S6＝ ＝176.4（公尺） 所以直昇機離地面的高度為176.4 公尺。

1.甲向乙借款，約定分二十年償還，第一年還10 萬元，第二年還 14 萬元，第三年還 18 萬元， ⋯⋯，各年度償還的金額成等差數列。請問這二十年甲共付給乙多少元？ a1＝10，d＝4，n＝20 ， 代入公式Sn＝ 得 S20＝ ＝960（萬元）

2.奈美計畫暑假到國外旅遊，從三月一日開始，第一天存款15 元，第二天存款17 元，第三天存款19 元，⋯⋯，每天的存款數成等差數列。請問到六月三十日奈美總共存款多少元？ n＝31＋30＋31＋30＝122 a1＝15，d＝2，代入公式Sn＝ 得 S122＝ ＝16592（元）

1.級數：將一個數列的各項用「＋」號連接， 所成的式子稱為級數。 2.等差級數：一個級數中所有的項形成一個等 差數列時，這個級數就稱為等差級數。即， 當a1, a2, a3, ⋯ ⋯, an 為等差數列時，a1＋a2＋a3 ＋⋯⋯＋an 為等差級數。

3.等差級數求和公式： (1) 如果一個等差級數的首項為a1，末項為 an，則此等差級數前n 項的和為 Sn＝ 。即，等差級數的和＝ 。

(2) 將an＝a1＋（n－1）d 代入等差級數和的公 式Sn＝ 得 Sn＝

1-2 自我評量 1.求下列各等差級數的和： (1) 1＋2＋3＋⋯⋯＋70 a1＝1，d＝1，an＝70 ∴ n＝70 代入公式Sn＝ 得S70＝ ＝2485

(2) 8＋11＋14＋⋯⋯＋278 a1＝8，d＝3，an＝278， 代入公式an＝a1＋（n－1）d 得 278＝8＋（n－1）×3 n＝91 代入公式Sn＝ 得S91＝ ＝13013

(3)（－99）＋（－97）＋（－95）＋⋯⋯＋（－1） a1＝－99，d＝2，an＝－1， 代入公式an＝a1＋（n－1）d 得 －1＝（－99）＋（n－1）× 2 n＝50 代入公式Sn＝ 得S50＝ ＝－2500

(4) 74＋67＋60＋⋯ ⋯＋（－10） a1＝74，d＝－7，an＝－10， 代入公式an＝a1＋（n－1）d 得 －10＝74＋（n－1）×（－7） n＝13 代入公式Sn＝ 得S13＝ ＝416

(5) 1.2＋1.5＋1.8＋⋯⋯＋5.4 a1＝1.2，d＝0.3，an＝5.4， 代入公式an＝a1＋（n－1）d 得 5.4＝1.2＋（n－1）×0.3 n＝15 代入公式Sn＝ 得S15＝ ＝49.5

2.設一等差級數的首項為－8，公差為3，求這個 等差級數前16 項的和。 a1＝－8，d＝3，n＝16， 代入公式Sn＝ 得 S16＝ ＝232（元）

3.設一等差級數的首項為5，末項為138，和為 1430，求這個等差級數的項數與公差。 a1＝5，an＝138，Sn＝1430， 代入公式Sn＝ 得 1430＝ ，n＝20 代入公式an＝ a1＋（n－1）d 得 138＝5＋（20－1）d，d ＝7

4.求1 至1000 的整數中，所有3 的倍數的和。 a1＝3，d ＝3，an＝999， 代入公式an＝ a1＋（n－1）d 得 999＝3＋（n－1）×3，n＝333 代入公式Sn＝ 得 S333＝ ＝166833

5.等差級數15＋18＋21＋⋯⋯前 n 項的和為600， 求 n 。 a1＝15，d ＝3，Sn＝600， 代入公式Sn＝ 得 600＝ 1200＝n（3n＋27），n2＋9n－400＝0， （n－16）（n＋25）＝0，n＝16 或－25 (不合)

6.設一等差級數的第4 項為15，第7 項為27，和為 903，求這個等差級數的首項、公差與項數。 式－式得3d＝12，d＝4 代入式得a1＝3 代入公式Sn＝ 得903＝ 2n2＋n－903＝0，（n－21）（2n＋43）＝0， n＝21 或－ （不合）  

7.全民戲院共有25排座位，自第二排起，每一排 比前一排多 2 個座位。已知最後一排有80個座 位，問全民戲院共有多少個座位？ a1＝80，d＝－2，n＝25， 代入公式Sn＝ 得 S25＝ ＝1400 (個)

8. 圖一 圖二 圖三 圖n 上方各圖是由火柴棒排成的正方形所組成，圖一有1個正方形，圖二有2個正方形，⋯⋯，圖n有n個正方形。若圖一至圖n共用去286根火柴棒，試問圖n用了幾根火柴棒？

a1＝4，d＝3，Sn＝286， 代入公式Sn＝ 得 286＝ 3n2＋5n－572＝0，（n－13）（3n＋44）＝0， n＝13 或－ （不合） 代入公式an＝ a1＋（n－1）d 得 a13＝4＋（13－1）× 3＝40 (根)

費氏數列（Fibonacci Sequence） 在本章開頭，課文中提出了一個有規律的數列 2, 3, 5, 8, 13, 21,⋯⋯，其中蘊含的規律在數學上有特殊的意義，曾經有許多數學家致力探討。

義大利數學家費波那契（Leonardo Pisano Fibonacci，1170-1250），在他所著的《算經》（Liber Abaci）中，提出一個有趣的問題：「某人將一對成年的兔子（雌雄各一）養在一個足夠大的封閉圍籬內，在理想的狀況下，一年後圍籬內有多少對兔子呢？」

問題中假設每對成兔每個月的月初都生一對小兔子，而小兔子經過一個月就能完全長成。那麼第一個月有1＋1＝2 對兔子；第二個月小兔子長成，而原來的成兔又生了一對小兔子，因此第二個月共有2＋1＝3對兔子；第三個月已有兩對成兔，各生一對小兔子，而上個月生下的小兔子則在這個月長成，因此第三個月有3＋2＝5 對兔子；⋯ ⋯

一年內各個月兔子的對數如下表： 月數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 兔子對數 13 21 34 55 89 144 233 377

由上表中發現，自第三個月起，每個月的兔子對數等於前兩個月的兔子對數之和，因此兔子的對數依次為2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ⋯⋯，這個數列稱為費氏數列。

如下圖，鳳梨表面三列突起（釘眼）的個數分別為 5、8、13，成費氏數列。自然界中還有許多隱含費氏數列的例子，同學們可多用心探索。