第五章 真空中的恒定磁场 §1 磁感应强度 磁场的高斯定理 §2 毕奥 – 沙伐尔定律及其应用 §3 安培环路定理及其应用 第五章 真空中的恒定磁场 §1 磁感应强度 磁场的高斯定理 §2 毕奥 – 沙伐尔定律及其应用 §3 安培环路定理及其应用 §4 磁场对载流导线的作用 §5 洛伦兹力公式与霍尔效应 2019/6/2

§5 -1：磁感应强度 磁场的 高斯定理 一、基本磁现象： 1、基本磁现象： （1）磁性： 磁极（N极，S极） 同性相斥 异性相吸。 §5 -1：磁感应强度 磁场的 高斯定理 一、基本磁现象： 1、基本磁现象： （1）磁性： 磁极（N极，S极） 同性相斥 异性相吸。 （2）铁磁性：铁、钴、镍等及某些合金有被磁铁吸引的性质，被称为铁磁性。 （3）磁极与电荷： 磁铁的两个极不能被分割为独立的N极与S极。这是磁极与电荷的基本区别。 2、电流与磁性： （1）载流导线附近的磁针会发生偏转。 （2）介质对磁场的作用会有影响，一切物质都可称为磁介质。

指南针的发明与使用, 是中华民族对全人类的伟大贡献之一. （3）安培假说：一切磁现象的根源是电流。任何物质中的分子都存在有回路电流, 称为分子电流. 分子电流相当于一个基元磁铁, 物质对外显出磁性, 就是物质中的分子电流在外界作用下趋向沿同一方向排列的结果. ---------安培分子电流假说 3、磁场的对外表现： （1）磁场对磁场内的运动电荷，或载流导线(或线圈)会有力(或力矩)的作用。 （2）载流导体在磁场内移动时，磁场的作用力会对载流导体作功。 （3）磁场能使处于磁场内磁介质发生磁化。 指南针的发明与使用, 是中华民族对全人类的伟大贡献之一. 电流的磁效应 1820年 奥斯特 磁针的一跳

力 矩 r F 预备知识介绍: x y z M  o A A点受力 A点对O点的位置矢量是 定义: 是力 对O点的力矩. 力 矩 x y z M r F  o A A点受力 A点对O点的位置矢量是 定义: 是力 对O点的力矩. 用表示叉乘积, 或称矢量积, 其被定义为: 力矩的方向 a) 相乘的结果 是一个矢量 b) 大小为:

二.磁感应强度 1) 载流线圈的磁矩: 例:一点电荷q以速率v沿半径为R的圆周运动. 求:该闭合电流的磁矩的大小. I 解: 2) 磁感应强度的定义: 可以利用检验线圈来定义磁感强度. 为此, 要求检验线圈的面积S和电流I0都要很小.

实验表明:检验线圈在磁场中所受到磁力矩的作用 具有以下特点: A) 当检验线圈磁矩沿空间某一方向时, 其所受磁力矩为零且线圈处于稳定平衡状态。规定这时检验线圈磁矩的方向为该点的磁感应强度B的方向. B) 当检验线圈在磁场中时所受磁力矩的大小会随其磁矩沿空间指向的不同而不同, 但会有一个极大值 Mmax 且有: 则定义B的大小为 单位: T

三、磁场的高斯定理 磁感应线特点 1、磁感应线 磁通量 规定：方向：磁感应线上每一点的切线方向为该点磁感强度的矢量的方向 1、磁感应线 磁通量 规定：方向：磁感应线上每一点的切线方向为该点磁感强度的矢量的方向 大小：对磁场中任一点，通过垂直于该点磁感强度矢量方向单位面积上的磁感应线条数，等于该点磁感强度大小 1. 无头无尾的闭合曲线。任意两条磁感应线不会相交 磁感应线特点 2.与形成磁场的电流相互套连.

I I q ++++++++ ++++++ 直线电流的磁感线 圆电流的磁感线 通电螺线管的磁感线 无限长均匀带电直线的电场 电偶极子的电场 无限大均匀带电平面电场

2、磁场的高斯定理 磁场为涡旋场，无源场 磁力线（磁感应线）为无头无尾的闭合曲线 尾 首 不从封闭曲面中出来是不能和“尾”会合的 磁力线

例： 求均匀磁场中 半球面的磁通量 解： 分析： 1、球面上各点的磁场强度是相等的。 2、球面各点处的法线方向与磁感强度方向的夹角是不同的。 结论：直接进行上述积分的运算是有一定难度的。 方法：考虑半球面和它的底面一起构成的一个封闭曲面。 特点：1、该封闭曲面的磁通量使用高斯定理很容易求出。 2、底面为一个平面，在匀强磁场中的磁通量也容易求出。

§5-2：毕奥 – 沙伐尔定律及其应用 一、毕奥 – 沙伐尔定律： 电流元 大小 方向 真空中的磁导率 位置矢量方向由电流元指向场点

讨论 库仑定律与毕奥 – 沙伐尔定律的比较 恒定磁场 静电场 稳恒电流 产生原因 静止电荷 电流元磁场 点电荷场强 基本公式 大小 方向 电流产生磁场的有关实验 库仑的实验 系数确定

二、毕奥 – 沙伐尔定律的应用： y x 例1 直线电流（L，I）的磁场 1）选电流元 l 的方向 I

y x I 讨论 1.无限长载流直导线 当 L   （ x<<L) 1  0 2   2.场点在直电流延长线上

例2.真空中一无限长载流直导线LL在A点处折成直角,在LAL平面内, 求R、S两点处的磁感应强度的大小. 解:对于R点, LA的两端相对于R点所对应的 所以LA在R点的磁感应强度B1的大小为 方向：

AL 两端相对于R点所对应的 AL 在R点的磁感应强度大小为 方向： 故R点的磁感应强度大小为： 方向：

对于S点: LA在S点产生的磁感应强度 LA 两端相对于S点所对应的 方向： AL 两端相对于S点所对应的

AL在S点产生的磁感应强度 方向： S点磁感应强度 直线电流的磁场公式： 如何确定θ1和θ2的取值？ 方向：

磁场方向 例3 求圆电流中心的磁感强度 解：任取电流元 在场点O的磁感强度方向垂直纸面向外大小为 各电流元的磁场方向相同 大小直接相加 该式可帮助确定 的值 若写

应用举例: 已知氢原子中的电子作圆周运动。 e v r O 求：轨道中心处磁场的磁感强度。 解： 方向如图

讨论：一段圆弧圆电流在其曲率中心处的磁场。 I dl I a b R 方向  当圆弧长度为2R时圆电流在其圆心处的磁场为：

宽度为 a 的无限长金属平板，均匀通电流I。 例4: 宽度为 a 的无限长金属平板，均匀通电流I。 求：图中P点的磁感应强度。（P与板共面） 解：建立坐标系 I 将板细分为许多无限长直导线 每根导线宽度为 d x 通过的电流为dI,则有： d x P x 所有dB 的方向都一样： 

§5-3 安培环路定理及其应用 一、安培环路定理： I 1、无限长直线电流的情况： 环路在垂直于直导线的平面内时 (1)电流从环路中穿过： a) 环路为同心圆 b) 任意形状环路

电流反向 B反向 (2)电流不从环路中穿过: M N

磁感应强度沿任一闭合回路积分一周，等于穿过以该闭合回路为周界的曲面的所有电流代数和的 倍 2、安培环路定理： I2 （1）安培环路定理： I1 磁感应强度沿任一闭合回路积分一周，等于穿过以该闭合回路为周界的曲面的所有电流代数和的 倍 I3 L1 （2）电流正负号的规定： L2 穿过以闭合回路为周界的曲面的电流的正、负按右手螺旋法则规定：

3、讨论 （1） 是空间全部电流产生的磁场 但对环流有贡献只有包围在内(套连）的电流 （2） 环流为零时，磁感应强度不一定为零 （3）稳恒磁场性质的基本方程 无源场 涡旋场

二、安培环路定理的应用： I B L 例2: ——用来求解具有对称性的电流分布所产生的的磁场 例1 求：无限长直线电流的磁场 解：对称性分析——磁感应线是与电流垂直平面上的同心圆。 选环路 B L 例2: 求：均匀密绕螺线环的磁场（总匝数N，电流强度I） 解：对称性分析：管内以r 为半径的圆上各点所处的物理环 境完全相同 ——磁感应线是一组同心圆

) ( 2 1 R r -R<<r R 2 + = » 有 讨论：若 0 （r = 其它） r 与环的横截面形状无关 （其它）  0 （r = 其它） · r 与环的横截面形状无关 （其它） ) ( 2 1 R r -R<<r R 2 + = » 有 讨论：若

§5-4：磁场对载流导线的作用 一、一段载流导线上的力——安培力 1)电流元受磁场的作用力 -----安培力公式: I 2 电流元 2)一段载流导线受磁场的作用力: 1 电流元所在处的磁场

二、匀强磁场中载流导线的受力： 直导线 I 任意导线 I 2 1 说明： 1、 —— 长度矢量 2、均匀磁场中的闭合线圈 F = 0

例1: 解： 均匀磁场中放置一半径为R的半圆形导线，电流强度为I，导线两端连线与磁感强度方向夹角  = 30°，求此段圆弧电流受的磁力。 长度矢量 2R 方向 

I 例2: 求图示半圆在均匀磁场中所受的磁场力 解:方法一：取电流元如图所示,则有: I 大小: 方向如图所示 由对称性: 方法二：利用前面给出的公式： F 的方向沿y轴正方向。F的大小为： 方向沿y轴正向. 与方法一的结果完全相同。

三、非匀强磁场的情况： 例3: 一长直电流I旁边垂直放一长度为L的直线电流i，其近端与长直电流相距为a ,求：电流i受的力。 解: I 各dF的方向是相同的 i a dx x X 力F的方向是向上的。

例4: 载有电流I1的长直导线边有一与之共面的载有电流为I2的三角形导线，求I1作用于三角形各边的磁场力？ X Y O x 解：电流I1在三角形区域产生的磁场为： 方向：垂直纸面向里 AB边受力为: 故:

I1 I2 X Y O x BC受力: AC边受到的力: AC上各电流元受力方向一致 取微元 则:

方向斜向下方与X轴的夹角为(θ+π/2) 合力是否为零?是否与前面的讨论的结论矛盾?

四、平行电流间的相互作用力 安培的定义: I1 I2 方向 方向 B12  B21 方向  r 方向  电流强度安培的定义： 四、平行电流间的相互作用力 安培的定义: I1 I2 方向 方向 B12  B21 方向  r 方向  电流强度安培的定义： 同流向，相吸引；逆流向，相排斥。 r =1m =2×10-7Nm-1 =1A

§5-5：洛伦兹力公式与霍尔效应 电势差 = U 一、导体中的电流 dl v q 载流子电量 n 载流子数密度 v 载流子飘移速度 s 导线的横截面积 电流元中的载流子数

二、洛伦兹力公式： 电流元受磁场的作用力 -----安培力公式: 洛仑兹力公式

三、霍尔效应： d I 霍耳电压UH - - - - - / V d I / - - - - - V v v 金属导体的（载流子带负电荷） 载流子带正电荷时的情况

§5-6：恒 定 磁 场 习 题 课 一、安培环路定理的应用： ——用来求解具有对称性的电流分布所产生的的磁场 例1 求：无限长直线电流的磁场 I 解：对称性分析——磁感应线是与电流垂直平面上的同心圆。 选环路 B L r B

r 例 2:无限长直圆柱形载流导线（R，I 均匀 分布）的磁场 电流分布的对称性 磁场分布的对称性 解：对称性分析 I 结论： r 结论： 磁场是轴对称分布： 1）磁感应线为垂直于对称轴的同心圆。 2）同一条磁感应线上各点的磁感应强度的大小相等。

选回路为同心圆 r R B

a b c d 二、磁场作用在载流线圈上的力矩 1.均匀磁场 l2 向前 I 向下 l1 向后 向上

线圈磁矩 磁力矩力图使磁矩转向磁场的方向 稳定平衡 非稳定平衡 以上结论对任意形状平面线圈成立