φ=c1cosωt+c2sinωt=Asin(ωt+θ). 4.2.4 质点振动 1.自由振动 （1）无阻尼自由振动 例如,数学摆的无阻尼微小自由振动方程 记 则通解为 φ=c1cosωt+c2sinωt=Asin(ωt+θ). 这种运动称为简谐运动:周期 频率 圆频率ω=2πv,它们都只依赖于 ,与初值无关.而振幅A,初位相θ都依赖初值.
(2)有阻尼自由振动 记 则 φ″+2nφ′+ω2φ=0. 特征根
1)小阻尼(如空气介质):n<ω,记 则通解为
2)大阻尼(如液体介质):n>ω,此时λ2<λ1<0, 通解为 φ(t)=0至多一个解.
3)临界阻尼:n=ω , λ1=λ2=-n,通解为 与2)类似.称n=ω为阻尼的临界值.
2.强迫振动 数学摆的强迫振动方程是 设 并记 则 无阻尼强迫振动:μ=0
φ=Asin(ωt+θ). φ0=Mcospt+Nsinpt, 对应齐次方程φ″+ω2φ′=0的通解是 φ=Asin(ωt+θ). 1)p≠ω时,设非齐次方程有特解 φ0=Mcospt+Nsinpt, 代入方程求得 所以非齐次方程的通解是 它由两部分组成：Asin(ωt+θ)代表固有振动； 外力引起的强迫振动 其频率与外力频率相同，而振幅不同．
２)p＝ω时,将 φ0=t(Mcospt+Nsinpt) 代入方程求得 所以非齐次方程的通解是 结果表明：随 t 增大，摆的偏离将无限增大．但实际上，随着偏离增加到一定程度，原方程不能描述摆的运动状态．