第七章 数学物理方程及其定解问题 数学物理方程的导出 定解条件 数学物理方程的分类 达朗贝尔公式 定解问题.

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1 第七章 数学物理方程及其定解问题 数学物理方程的导出 定解条件 数学物理方程的分类 达朗贝尔公式 定解问题

2 3.数学物理方程的分类 1.基本概念 a. 二阶偏微分方程: 若 ,如果方程可以表为: ,即方程中偏导数的阶数是2次的,则称为二阶偏微分方程
若　　　　　　　　 ,如果方程可以表为: ,即方程中偏导数的阶数是2次的,则称为二阶偏微分方程 b. 二阶线性偏微分方程: 若其中的系数只是自变量的函数，即　　　　　只是　 　　　　的函数，则称为是线性的方程

3 c. 齐次二阶线性偏微分方程: 若　　　　则称方程是齐次的 2.叠加原理 当泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作 几个部分的解的线性叠加.

4 7.4 达朗贝尔公式 定解问题 无限长的自由振动 端点的反射 半无限长弦的自由振动 3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的数学物理方程)
7.4 达朗贝尔公式 定解问题 无限长的自由振动 端点的反射 半无限长弦的自由振动 半无限长杆的自由振动 3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的数学物理方程) 4.定解问题的适定性 满足达朗贝尔公式 延拓,利用达朗贝尔公式

5 一. 无界弦的自由振动 1. 无界弦的自由振动 (1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关
心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦的两端提出边界条件。 定解问题 初值问题 (2)自由振动：弦不受强迫力的作用，振动是自由的 方程是齐次的

6 定解问题： 2. 求无界弦的自由振动方程 ⑴求偏微分方程的通解 分析范定方程的形式, 为表示的简化对称做变量代换: 得方程的通解 通解的物理意义: 正行波, 反行波

7 ⑵ 利用定解条件来确定函数 由初始条件得 解得 ——达朗贝尔公式

8 例一.求解初值问题

9 讨论：达朗贝尔解的物理意义 I.只有初始位移时: 代表以速度a沿x轴正向传播的波 代表以速度a沿x轴负向传播的波 II.只有初始速度时： 令 ,则 结论：达朗贝尔解表示沿x轴正、反向传播的两列波的叠加。

10 练习: 初位移

11 二. 端点的反射 1. 半无界弦的自由振动 半无界的弦只有一个端点,设端点在坐标原点 定解问题:
分析: 端点固定。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义， 考虑端点固定，作奇延拓

12 由达朗贝尔公式得到解，其中x≥0的部分即所讨论问题的解。

13 在初速为0的情况下， 如右图所示 右半边实线:左右两方向移动 的波 左半边细线:其奇延拓 端点的影响表现为反射波 反射波的相位跟入射波相反,形成半波损失

14 2. 半无限长杆的自由振动 杆的端点自由 定解问题: 分析: 端点自由。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义， 考虑端点自由，作偶延拓

15 由达朗贝尔公式得到解，其中x≥0的部分即所讨论问题的解。

16 三. 一般情况下的数学物理方程 四 . 定解问题的适定性 一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件求特解。
定解问题的整体性 物理问题 数学问题 定解问题是一个整体 四 . 定解问题的适定性 如定解问题满足 (1) 有解 (2) 解是唯一的 (3) 解是稳定的 则称此定解问题是适定的。 因为定解问题来自实际。

17 作业:P179,1.,5.