多元线性回归分析

古典线性回归模型的假定 为了得到OLS估计量的良好性质，“古典线性回归模型”(Classical Linear Regression Model) 作了如下假定。

假设1：给定X1i， X2i，… Xki时，εi的条件分布均值为零。 即：随机误差项具有零均值。

假设2 随机误差项彼此之间不相关 假定3 球型扰动项(spherical disturbance)， 即对于解释变量的所有观测值，随机误差项有相同的方差。扰动项满足“同方差”、“无自相关”的性质

假定4： 不存在“严格多重共线性”(strict multicolinearity)，即数据矩阵满列秩(full column rank)。 这意味着，数据矩阵的各列向量为线性无关，即不存在某个解释变量为另一解释变量的倍数，或可由其他解释变量线性表出的情形。 解释变量Xi之间不存在精确的线形关系，即解释变量的样本观测值矩阵X是满秩矩阵，应满足关系式： rank(X)=k+1<n 可以理解为各X之间互不相关（无多重共线性）

假设5 随机误差项服从正态分布，Y也服从正态分布。

多元回归中OLS估计量的分布 每抽取一组样本就会有一组相应的回归系数 ，因此， 一定不是常数，而是随机变量，并且具有一定的概率分布。 每抽取一组样本就会有一组相应的回归系数 ，因此， 一定不是常数，而是随机变量，并且具有一定的概率分布。 同样，在多元线性回归方程中， 也是随机变量。

最小二乘估计量的性质 在满足基本假设的情况下，最小二乘估计量具有：线性性、无偏性、有效性（最小方差性）(BLUE特性)。 高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在满足基本经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的最优线性无偏估计量。

最小二乘估计量的性质 在满足基本假设的情况下，最小二乘估计量具有：线性性、无偏性、有效性（最小方差性）。 1、线性性 其中,A=(X’X)-1 X’ 为一仅与固定的X有关的常数矩阵。

2、无偏性 3、有效性（最小方差性）

部分F检验 有时我们会考虑知道部分回归方程系数是否整体显著，即除常数项以外，部分解释变量的回归系数是否都为零。例如：

还有其他各种灵活的检验 这些就需要部分F检验。

s为回归方程的标准误差

部分约束的F统计量 当检验被解释变量yt与一组解释变量x1, x2 , ... , x q是否存在回归关系时，给出的零假设与备择假设分别是 H0：1 = 2 = ... = q = 0 ； H1：i ， i = 1, ..., q不全为零。

检验思路：（部分参数联合检验） 无约束模型为：方程（a） yt = 0 +1x1t + 2x2t +…+ kx k t + ut 假设约束为：有q个回归系数同时为0，方程 包含k-q个变量 受约束模型为：方程（b）： yt = 0 +1x1t + 2x2t +…+ k-qx k-q t + vt

关于上述原假设的检验很简单。若从模型中去掉这q个变量，对受约束模型方程进行估计的话，得到的误差平方和RSSR肯定会比相应的无约束模型的误差平方和RSSU 大，这一点和给回归模型添加解释变量总会引起R2的增加一样。如果原假设正确，去掉这q个变量将对方程的解释能力影响不大，RSSR将比RSSU 略有增加。当然，原假设的检验依赖于限制条件的数目，即被设定为零的系数个数，以及无条件回归模型的自由度。

如果原假设成立，那么模型（b）中的q个变量的系数均不显著，模型（a）与模型（b）的残差平方和近似相等。如果备择假设成立，那么q个变量中至少有一个变量是显著的，而模型（b）中的随机扰动项vt包含了这些显著性的变量，因此模型（b）的残差平方和会明显高于模型（a）的残差平方和。

模型（a）的残差平方和表示为RSSU（其中U表示没有约束（Unrestricted））。 模型（b）的残差平方和表示为RSSR（其中R表示带有约束（Restricted））。

因此，可以根据残差项方差的变化来检验假设是否是正确的。如果（RSSR - RSSU）比较大（小），则倾向于拒绝（接受）原假设。正式的统计检验是通过构建如下F 统计量来完成的。

在H0成立条件下，有 F  F (q, n – k – 1) 由检验思路可以看出，F统计量越大（小），我们越倾向于拒绝（接受）原假设。因此，这是右单端检验。检验可以临界值方法和构建p值的方法来完成。设检验水平为，检验规则如下。 临界值法：若F  F (q, n – k – 1)，则接受H0；若F > F (q, n – k – 1)，则拒绝H0。 P值法：若P(x > F ) > α，接受H0；若P(x > F ) < α，拒绝H0。

拒绝H0意味着q个约束中肯定有解释变量与yt存在回归关系。若F检验的结论是接受H0，则说明q个解释变量都不与yt存在回归关系。此时，假设检验应该到此为止。当F检验的结论是拒绝H0时，应该进一步做t检验，从而确定模型中哪些是重要解释变量，哪些是非重要解释变量。

两个回归方程具有相同的因变量，因此TSSU=TSSR

F检验的例子 test命令 例一 sysuse auto, clear reg price mpg weight length 1。检验参数的联合显著性 2。分别检验各参数的显著性

例二： use wage2, clear reg lnwage educ tenure exper exper2 1。教育（educ）和工作时间（tenure）对工资的影响相同。 2。工龄（exper）对工资没有影响 3。检验 educ和 tenure的联合显著性

例三：打开数据production，完成道格拉斯生产函数的估计。 use production,clear reg lny lnl lnk

1. 检验lnL(a)和lnL(b)的联合显著性 2. 劳动占比a为0.8，资本占比b为0.2。 3. 生产过程规模报酬不变。

总体回归模型： 总体回归函数： 样本回归模型： 样本回归函数：