简单回归模型 过原点回归 简单回归模型的定义 普通最小二乘法的推导 OLS的操作技巧 度量单位和函数形式 OLS估计量的期望值和方差

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1 简单回归模型 过原点回归 简单回归模型的定义 普通最小二乘法的推导 OLS的操作技巧 度量单位和函数形式 OLS估计量的期望值和方差
计量经济学导论 刘愿

2 简单回归模型 计量经济学导论：刘愿

3 简单回归模型的定义 在简单线性回归模型y = b0 + b1x + u中, 我们一般称y为： Dependent Variable（因变量）
Left-Hand Side Variable Explained Variable（被解释变量） Regressand（回归子） 计量经济学导论 刘愿

4 在简单线性回归模型y = b0 + b1x + u中, 我们一般称x为
Independent Variable（自变量） Right-Hand Side Variable Explanatory Variable（解释变量） Regressor（回归元） Covariate（协变量） Control Variables（控制变量） 计量经济学导论 刘愿

5 简单回归的术语 y x 因变量 自变量 被解释变量 解释变量 响应变量 控制变量 被预测变量 预测变量 回归子 回归元 计量经济学导论 刘愿

6 A Simple Assumption（一个简单假设）
变量u称为 error term（误差项） 或者 disturbance（扰动项） 代表除了x之外影响y的其它因素。计量研究关注的是x而非u对y的影响，但u与x的关系至关重要。 如果u中的其他因素保持不变，则u的变动为零，x对y存在线性效应，可得2.2，其中b1为斜率参数。 总体中u的均值为零，意味着： E(u) = 0 既然我们可以用b0 将E(u)标准化为零， E(u) = 0 并非一个限制性条件。 计量经济学导论 刘愿

7 零条件均值假定 u和x的相关性假定至关重要。
相关关系只度量了u和x之间的线性关系，u和x不相关，但却可能与x的函数比如x2相关。一种更好的方法是，对给定x时u的期望做出假定： u的平均值与x值无关，即 E(u|x) = E(u) = 0 E(y|x) = b0 + b1x ——population regression function（总体回归函数） 计量经济学导论 刘愿

8 E(y|x) 是x的一个线性函数，对任何给定的x值， y的分布都以 E(y|x)为中心。
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9 2.2普通最小二乘法的推导 回归的基本思想是利用样本估计总体参数
令 {(xi,yi): i=1, …,n} 表示从总体中抽取的一个容量为n的随机样本。 对于样本中的每一个观测，我们都可以写作 yi = b0 + b1xi + ui 计量经济学导论 刘愿

10 . . . . 总体回归线、样本数据点集和相关的误差项 { y E(y|x) = b0 + b1x y4 u4 { y3 u3 y2 u2
} . y2 u2 { u1 . y1 } x1 x2 x3 x4 x 计量经济学导论 刘愿

11 OLS估计值的推导 E(u|x) = E(u) = 0 意味着x和u之间的协方差也为零，即 Cov(x,u) = E(xu) = 0
因为：Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y) 计量经济学导论 刘愿

12 OLS推导续 既然u = y – b0 – b1x我们可以将上述两个限制条件改写为由 x, y, b0 and b1 表达的式子
E(y – b0 – b1x) = 0 E[x(y – b0 – b1x)] = 0 这被称为矩条件。 计量经济学导论 刘愿

13 运用矩法推导OLS 运用矩法进行估计意味着将总体的矩条件应用于样本矩条件. 计量经济学导论 刘愿

14 OLS推导续 给定样本均值的定义和求和的性质，条件一可改写为： 计量经济学导论 刘愿

15 See page 623 in Chinese Edition.
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17 OLS估计的斜率参数 x 和 y之间的样本协方差 x的样本方差 计量经济学导论 刘愿

18 OLS斜率估计值的相关总结 斜率估计值等于x和y之间的样本协方差除以x的样本方差。
斜率估计值的符号取决于x和y的正负相关性：x和y正相关，斜率估计值为正；x和y负相关，斜率估计值为负。 得到斜率估计值的必要条件是，x在样本中是有变异的。 计量经济学导论 刘愿

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20 OLS通过样本点来拟合曲线，使得残差平方和尽可能小，故称为“最小二乘”法。
残差û是误差项u的估计值, 等于实际观察值与拟合值（样本回归函数）之差。 计量经济学导论 刘愿

21 拟合值和残差 . y4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 } { û1 û2 û3 û4 x y 计量经济学导论 刘愿

22 推导的另一思路 根据拟合曲线的直观思想，我们可以通过建立最小化问题，即我们选择可使残差平方和最小化的参数： 计量经济学导论 刘愿

23 推导的另一思路（续） 利用微积分优化，我们可得到OLS估计值的一阶条件： 计量经济学导论 刘愿

24 例子 CEO 薪酬和股本回报率 计量经济学导论 刘愿

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26 2.3 OLS的操作技巧 拟合值和残差 计量经济学导论 刘愿

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28 OLS的代数性质 OLS残差之和等于零。 OLS残差的样本均值为零。 x与û 的样本协方差为零。 OLS回归线总是通过样本均值：
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30 相关术语 计量经济学导论 刘愿

31 证明: SST = SSE + SSR 计量经济学导论 刘愿

32 拟合优度 计算总平方和被模型解释的比例，有助于了解样本回归线对样本数据的拟合是否良好? R2 = SSE/SST = 1 – SSR/SST
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33 计量经济学导论 刘愿

34 Units of Measurement and Functional Form
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35 Units of Measurement and Functional Form (cont)
The goodness-of-fit of the model should not depend on the units of measurement of our variables. 计量经济学导论 刘愿

36 Incorporating Nonlinearities in Sample Regression
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37 Example 2.11 CEO Salary and Firm Sales
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39 Units of Measurement and Functional Form (cont)
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40 OLS估计的期望值和方差 OLS的无偏性 OLS估计的方差 估计误差项的方差 计量经济学导论 刘愿

41 Unbiasedness of OLS: four assumptions
Assumption SLR.1: the population model is linear in parameters as y = b0 + b1x + u Assumption SLR.2: we can use a random sample of size n, {(xi, yi): i=1, 2, …, n}, from the population model. Thus we can write the sample model yi = b0 + b1xi + ui Assumption SLR.3: E(u|x) = 0 Assumption SLR.4: there is variation in the xi 计量经济学导论 刘愿

42 Unbiasedness of OLS: Four Assumptions
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46 OLS无偏性 考虑无偏性，需要用总体参数重写参数估计值： 计量经济学导论 刘愿

47 OLS无偏性（续） 计量经济学导论 刘愿

48 OLS无偏性（续） 计量经济学导论 刘愿

49 OLS无偏性：证明 计量经济学导论 刘愿

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51 关于无偏性的一个总结 OLS estimates of b1 和 b0 的OLS估计是无偏的，如果
无偏性是对参数估计值的无偏性：给定一个样本，参数估计值与真实的总体参数或远或近。 当u包含了影响y同时又与x相关的因素，简单回归将导致虚假相关（spurious correlation）. 计量经济学导论 刘愿

52 例子2.12 学生数学成绩和学校免费午餐计划 math10：10分制考试中及格学生的比例
lnchprg : 符合资格享受免费午餐计划的学生的比例 计量经济学导论 刘愿

53 OLS估计值的方差 参数估计值的样本分布是以真实总体参数为中心的。 了解这个分布的分散程度是很重要的。
增加一个假设条件，更容易了解这个方差的性质： Assumption SLR.5: Var(u|x) = s2 （同方差假设） 计量经济学导论 刘愿

54 OLS方差（续） Var(u|x) = E(u2|x)-[E(u|x)]2
E(u|x) = 0, so s2 = E(u2|x) = E(u2) = Var(u) s2 是无条件方差，称为误差方差。 s称为误差标准差。 E(y|x)=b0 + b1x ：给定x, y的条件期望是x的线性函数； Var(y|x) = s2 意味着：给定x，y的方差是一个常数。 计量经济学导论 刘愿

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56 如Var(u|x) 依赖于x, 误差项显示出异质性。
既然Var(u|x)=Var(y|x), 当Var(y|x) 是x的一个函数，误差项存在异质性。 例子：工资方程中异方差性 工资依赖于教育水平。但教育水平越高，工资的变异性越大，反之亦然。 计量经济学导论 刘愿

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58 OLS方差（续） 计量经济学导论 刘愿

59 证明: 计量经济学导论 刘愿

60 关于OLS方差的小结 误差方差s2越大，斜率估计值的方差越大。 xi 的变异性越大，斜率估计值的方差越小。
因此，增加样本容量可以减少斜率参数估计值得方差。 问题是，误差项的方差是未知的。 计量经济学导论 刘愿

61 The proof can be seen at Li Zinai,2009, p.37.
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62 估计误差方差 因为无法观测误差项ui，所以我们无法知道误差项方差s2。 我们能够观测的是残差项ûi。 我们可以用残差项来估计误差方差。
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63 误差方差估计（续） 计量经济学导论 刘愿

64 用OLS残差代替误差，有偏误但真实，因未考虑OLS残差满足的两个限制条件
无偏估计量，但不真实， 因为我们观察不到ui 用OLS残差代替误差，有偏误但真实，因未考虑OLS残差满足的两个限制条件 计量经济学导论 刘愿

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67 误差方差估计（续） 计量经济学导论 刘愿

68 过原点回归 计量经济学导论 刘愿