12.1 轴 对 称（2） 线段的垂直平分线
探索并证明线段垂直平分线的性质 P1 A B 猜想：线段垂直平分线上的点 与这条线段两个端点距离相等. P2 P3 l 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距 离之间的数量关系． P1 A B 猜想：线段垂直平分线上的点 与这条线段两个端点距离相等. P2 P3 l
探索并证明线段垂直平分线的性质 试证明： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 已知：直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB， 点P 是直线l 上任一点． 求证：PA =PB． l P A B C
AC=BC（已知） ∴△PCA≌△PCB(SAS) 探索并证明线段垂直平分线的性质 A B P C l 证明： ∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB=90 ° 在△APC与△BPC中 PC=PC（公共边） ∠PCA=∠PCB（已证） AC=BC（已知） ∴△PCA≌△PCB(SAS) ∴ PA =PB．
探索并证明线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． l 用数学语言表示为： 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． A B P C l 用数学语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB，点P在l上， ∴ PA =PB． 或： ∵ 直线l 是线段AB的垂直平分线， 点P在l上 ∴ PA =PB．
例题 若∠BAC=100°则∠DAE=______. 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线DM交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 与E，则△ADE 的周长等于______． 8 A B C D E 2 1 M N 20° 若∠BAC=100°则∠DAE=______.
变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90 °, DE是AB的垂直平分线，连接AE， ∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数 . C E
变式2.如下图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线， △BCE的周长为26cm，求BC的长。
变式3：如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ 解： AB+BD=DE ,理由如下： ∵ AD⊥BC ，BD =DC， ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上 ∴ AC =CE． A B C D E E ∴ AB =AC =CE． ∴ AB +BD =CD +CE． 即 AB +BD =DE ．
探索并证明线段垂直平分线的判定 反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？ 已知：如图，PA =PB． P 证明： 过点P 作 PC⊥ AB ，垂足为C． …… C 以下由“HL”证 Rt△PCA ≌Rt△PCB 即可……
探索并证明线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的判定定理 与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上． P A B 用数学语言表示为： ∵ PA =PB， ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
探索并证明线段垂直平分线的判定 P1 A B P2 P3 l （1）你能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ （2）这些点能组成什么几何图形？ P1 A B P2 P3 l
课堂练习 练习2 下列说法不正确的是（ ） D,E是线段AB垂直平分线上两点，则 AD=BD,AE=BE. (B)若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上. (C)若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的 垂直平分线. C
如图,在ΔABC中, AB，BC的垂直平分线交于P点. 求证：点P也在AC的垂直平分线上,且PA=PB=PC 例题 如图,在ΔABC中, AB，BC的垂直平分线交于P点. 求证：点P也在AC的垂直平分线上,且PA=PB=PC 证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB . 同理 PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P也在边AC的垂直平分线上， 且PA=PB=PC A M M’ P N B C N’
变式：如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？ 解：直线AM 是线段BC 的垂直平分线,证明如下： ∵ AB =AC， ∴ 点A 在BC 的垂直平分线． ∵ MB =MC， ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上， ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 平分线． A B C M
练习 ：如图，E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D .求证：OE为CD的垂直平分线。 3 1 4 2
变式：△ABC中,AB＞AC ,∠A的平分线与 BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE ⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求证：BE=CF
课堂小结 （1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定,两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？