平面向量

定义： 运算律： 复 习 引 入 新课讲解 例题讲解 设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a 复 习 引 入 新课讲解 例题讲解 运算律： 设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb 性质讲解 课堂练习 小结回顾

我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图） 复 习 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图） 引 入 F 新课讲解 θ S 例题讲解 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 性质讲解 课堂练习 从力所做的功出发，我们引入 向量数量积的概念。 小结回顾

θ=0° θ=180° θ =90° 向量的夹角 特殊情况 复 习 复 习 向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。 引 入 新课讲解 B 例题讲解 θ O 性质讲解 A 特殊情况 课堂练习 θ=0° θ=180° θ =90° 小结回顾

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b 复 习 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b a·b=|a| |b| cosθ 引 入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 课堂练习 小结回顾

解：a·b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120° 复 习 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。 引 入 解：a·b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10。 新课讲解 例题讲解 例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。 性质讲解 解： |a| =√2 , |b|=2 , θ=45 ° ∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° = 2 课堂练习 小结回顾 练习:P117 1

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。 复 习 OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=|b|cosθ。 |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。 引 入 新课讲解 θ为锐角时 θ为钝角时 θ=90° θ=0° θ=180° 例题讲解 性质讲解 我们得到a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。 课堂练习 小结回顾

特别地，a·a =|a|2或|a|=√a·a 。 重要性质: 复 习 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 （1）e·a=a·e = |a| cosθ 引 入 （2）a⊥b a·b=0 新课讲解 （3）当a与b同向时，a·b=|a||b| 当a与b反向时，a·b=－|a| |b| 例题讲解 特别地，a·a =|a|2或|a|=√a·a 。 性质讲解 a·b |a||b| （4）cosθ= 课堂练习 （5）|a·b|≤|a||b| 小结回顾

运算律 已知向量a、b、c和实数λ，则： (1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); 复 习 运算律 引 入 已知向量a、b、c和实数λ，则： (1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); (3)(a+b)·c=a·c+b·c 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾

复 习 对任意a,b∈R，恒有 （a+b)2=a2+2ab+b2 , (a+b)(a-b)=a2-b2 引 入 对任意向量是否也有类似结论？ 新课讲解 (1)（a+b)2=a2+2a·b+b2 ； (2) (a+b)·(a-b)=a2-b2 例题讲解 解:(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b) =a·a+a·b+b·a+b·b =a2+2a·b+b2; 性质讲解 课堂练习 (2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b =a2-b2 小结回顾

解： (a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b 复 习 例：已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为600，求(a+2b)·(a-3b). 引 入 解： (a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b =|a|2-a·b-6|b|2 =|a|2-|a|·|b|cosθ-6|b|2 =62-6×4×cos600-6×42 =-72 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾

复 习 例：已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？ 引 入 解： a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （a+kb）·（a-kb）=0， 即 a2-k2b2=0. ∵a2=32=9，b2=42=16， ∴9-16k2=0 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾 向量a+kb与a-kb互相垂直

P117 练习 2 ，3 复 习 引 入 新课讲解 例题讲解 已知△ABC的顶点A（1，1），B（4，1），C（4，5）。 性质讲解 复 习 引 入 P117 练习 2 ，3 新课讲解 例题讲解 已知△ABC的顶点A（1，1），B（4，1），C（4，5）。 计算cosA, cosB, cosC. 性质讲解 课堂练习 小结回顾

小结回顾 1 . a·b=|a| |b| cosθ 2. 数量积几何意义 3. 重要性质 复 习 引 入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 复 习 小结回顾 引 入 1 . a·b=|a| |b| cosθ 2. 数量积几何意义 3. 重要性质 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾

复 习 作业布置： 引 入 新课讲解 课本 : 第 3题 P119 第 4题 第 5题 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾

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当θ=0°时，a与b同向 O B A 返回

当θ=180°时，a与b反向。 O B A 返回

O B A θ θ =90°，a与b垂直，记作a⊥b。 返回

当θ=0°时，它是|b| O B A 返回

O B A 当θ=180°时，它是－|b|。 返回

O B A θ 当θ=90°，它是0。 返回

O B A θ B1 a b 当θ为锐角时，它是正值； 返回

O B A θ B1 当θ为钝角时，它是负值； 返回