相似三角形的判定(3) 泰兴市马甸初中赵扣琴 www.1230.org 初中数学资源网

知识回顾 我们学习了哪些判定三角形相似的方法，请你用几何语言叙述。 ∴△ABC∽△DEF （2）∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC （3）∵ ∴△ABC∽△DEF （1）∵∠A=∠D, ∠B= ∠E, ∠C= ∠F （4） ∵ （2）∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△ABC∽△DEF ∠A=∠D www.1230.org 初中数学资源网 ∴△ABC∽△DEF

问题引入： 观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？ 探究： 作△ABC 和△DEF，使得∠A=∠D, ∠B= ∠E，这时它们的第三个角满足∠C= ∠F吗？分别度量这两个三角形的边长，计算 ，你有什么发现？ 把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？ 猜想： △ABC 和△DEF相似吗？ 请你证明： www.1230.org 初中数学资源网

判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角 在△ABC 和△DEF中,若∠A=∠D，∠B=∠E，求证△ABC∽△ DEF A B C D F E 判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角 形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 用几何语言表示： ∵ ∠A=∠D， ∠B=∠E ∴ ΔABC ∽ ΔDEF www.1230.org 初中数学资源网

基础演练 1、下列图形中两个三角形是否相似？ (2) (1) (4) (3) B A’ A C A D C’ B C B’ E A A A’ www.1230.org 初中数学资源网

思考题 在ΔABC中，AB›AC，D为AB边上的一点，过D点作直线DE，交边AC于E点，使ΔADE和ΔABC相似，这样的直线可以作 条 2 A B C D E E' www.1230.org 初中数学资源网

× √ √ × 基础演练 2、判断题： ⑴ 所有的直角三角形都相似 . （ ） ⑵ 所有的等边三角形都相似. （ ） ⑴ 所有的直角三角形都相似 . （ ） ⑵ 所有的等边三角形都相似. （ ） ⑶ 所有的等腰直角三角形都相似. （ ） ⑷ 有一个角相等的两等腰三角形相似 . （ ） 基础演练 × √ √ × 顶角相等 顶角与底角相等 底角相等 www.1230.org 初中数学资源网 www.1230.org 初中数学资源网

第一种情况 ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C' B C A 顶角相等 A' B' C' www.1230.org 初中数学资源网

底角相等 B C A 第二种情况 A' B' C' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C' www.1230.org 初中数学资源网

顶角与底角相等 A B C 第三种情况 A' B' C' 两三角形不相似 www.1230.org 初中数学资源网

思考题 已知DE ∥BC 且∠1=∠B ，则图中共有 对相似三角形。 4 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∵ ∠EDC=∠DCB， ∵ ∠1=∠B ，∠A=∠A 又∵ ∠1=∠B ∴△ACD∽△ABC ∴△DEC∽△CDB ∴△ADE ∽△ACD www.1230.org 初中数学资源网

例题讲解 如图,弦AB和CD相交于OO内一点P, 求证:PA ▪ PB = PC▪PD ▪ A D P ▪ O B C www.1230.org 初中数学资源网 www.1230.org 初中数学资源网

练习 1、已知如图直线BE、DC交于A ， ∠E= ∠C 求证：DA·AC=AB·AE 证明： ∵ ∠E=∠C ∠DAE=∠BAC ∴ △ABC ∽ △ADE ∴ AC :AE=AB :AD ∴ DA · AC=AB · AE E D A C B www.1230.org 初中数学资源网

如何证明∠DEA＝∠C？ 2.如图直线BE、DC交于A, AD·AC=AE·BA， 求证：∠E=∠C E D B C A A B C E D 将△DAE绕A点旋转 如何证明∠DEA＝∠C？ www.1230.org 初中数学资源网

A A D D E C B C B 3.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 ， AC=8，求AB 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4 www.1230.org 初中数学资源网

4、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 问：图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ 解： 图中有三个直角三角形，分别是： △ ABC、 △ ADB、 △ BDC △ ABC ∽ △ ADB ∽ △ BDC www.1230.org 初中数学资源网

5.已知：如图, Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高. 求证（1）△ABC ∽ △CBD ∽ △ACD 求证（2）AC2=AD · AB CD2=AD · DB C D A B www.1230.org 初中数学资源网 www.1230.org 初中数学资源网

本节课你有收获吗？ www.1230.org 初中数学资源网

总结： 1、化归思想，将未知问题转化为已知问题。 2、相似三角形的判定：有两个角相等的两个三角形相似。 3、题目中已知等积式，往往是将其写成比例式，再找出相应的 夹角相等，就可以证得两个三角形相似。 4、证明线段的乘积问题可转化为线段的比例问题 。 www.1230.org 初中数学资源网

思考 如图,直线a、直线b相交于点A,点B、C分别在直线a、直线b上,在直线a、直线b上分别找两点D、E,使∆BAC与∆DAE相似,请尽量多地画出点D、E的位置. a b A B C www.1230.org 初中数学资源网